WISKUNDIGE LOGICA: OORSPRONG, WAT HET BESTUDEERT, TYPEN - WISKUNDE - 2026

De wiskundige logica of symbolische logica is een wiskundige taal die de instrumenten omvat waarmee men een wiskundige redenering kan bevestigen of ontkennen.

Het is algemeen bekend dat er in de wiskunde geen onduidelijkheden bestaan. Gegeven een wiskundig argument, is het geldig of simpelweg niet. Het kan niet tegelijkertijd vals en waar zijn.

Een bijzonder aspect van wiskunde is dat het een formele en rigoureuze taal heeft waarmee de geldigheid van een argument kan worden bepaald. Wat maakt een bepaalde redenering of enig wiskundig bewijs onweerlegbaar? Dat is waar wiskundige logica om draait.

Logica is dus de discipline van de wiskunde die verantwoordelijk is voor het bestuderen van wiskundig redeneren en bewijzen, en het verschaffen van de tools om een ​​juiste conclusie te kunnen afleiden uit eerdere uitspraken of proposities.

Hiervoor worden axioma's en andere wiskundige aspecten gebruikt die later zullen worden ontwikkeld.

Oorsprong en geschiedenis

De exacte data met betrekking tot veel aspecten van wiskundige logica zijn onzeker. De meeste bibliografieën over dit onderwerp gaan echter terug tot het oude Griekenland.

Aristoteles

Het begin van de rigoureuze behandeling van logica wordt gedeeltelijk toegeschreven aan Aristoteles, die een reeks logische werken schreef, die later werden samengesteld en ontwikkeld door verschillende filosofen en wetenschappers, tot in de middeleeuwen. Dit zou kunnen worden beschouwd als "de oude logica".

Later, in wat bekend staat als de hedendaagse tijd, Leibniz, gedreven door een diep verlangen om een ​​universele taal te vestigen om wiskundig te redeneren, en andere wiskundigen zoals Gottlob Frege en Giuseppe Peano, beïnvloedden met name de ontwikkeling van wiskundige logica met grote bijdragen waaronder de Peano Axioma's, die onmisbare eigenschappen van natuurlijke getallen formuleren.

Wiskundigen George Boole en Georg Cantor waren in die tijd ook van grote invloed, met belangrijke bijdragen in de verzamelingenleer en waarheidstabellen, waarbij onder meer de nadruk werd gelegd op de Booleaanse algebra (door George Boole) en het Keuze-axioma. (door George Cantor).

Er is ook Augustus De Morgan met de bekende Morgan-wetten, die negaties, conjuncties, disjuncties en conditionals tussen proposities beschouwen, sleutels tot de ontwikkeling van symbolische logica, en Jhon Venn met de beroemde Venn-diagrammen.

In de 20e eeuw, ongeveer tussen 1910 en 1913, vallen Bertrand Russell en Alfred North Whitehead op met hun publicatie van Principia mathematica, een reeks boeken die een reeks axioma's en resultaten van logica verzamelt, ontwikkelt en postuleert.

Wat bestudeert wiskundige logica?

Stellingen

Wiskundige logica begint met de studie van proposities. Een propositie is een uitspraak die zonder enige dubbelzinnigheid kan worden gezegd of het waar is of niet. Hier volgen enkele voorbeelden van proposities:

• 2 + 4 = 6.
• 5 ² = 35.
• In 1930 was er een aardbeving in Europa.

De eerste is een echte verklaring en de tweede is een valse verklaring. De derde, hoewel de persoon die het leest misschien niet weet of het waar is of onmiddellijk, is een bewering die kan worden getest en kan worden vastgesteld of het echt is gebeurd.

Hieronder volgen voorbeelden van uitdrukkingen die geen proposities zijn:

• Ze is blond.
• 2x = 6.
• Laten we gaan spelen!
• Hou je van films

In de eerste stelling wordt niet gespecificeerd wie "zij" is, daarom kan niets worden bevestigd. In de tweede propositie is niet gespecificeerd wat "x" vertegenwoordigt. Als in plaats daarvan zou worden gezegd dat 2x = 6 voor een of ander natuurlijk getal x, in dit geval zou het overeenkomen met een propositie, in feite waar, aangezien voor x = 3 het is vervuld.

De laatste twee uitspraken komen niet overeen met een voorstel, aangezien er geen manier is om ze te ontkennen of te bevestigen.

Twee of meer proposities kunnen worden gecombineerd (of verbonden) met behulp van bekende logische verbindingen (of connectoren). Dit zijn:

• Ontkenning: "Het regent niet."
• Disjunctie: "Luisa kocht een witte of grijze tas."
• Combinatie: "4 ² = 16 en 2 × 5 = 10".
• Voorwaardelijk: "Als het regent, ga ik vanmiddag niet naar de sportschool."
• Biconditional: "Ik ga vanmiddag naar de sportschool als, en alleen als, het niet regent."

Een propositie die geen van de voorgaande connectieven heeft, wordt een eenvoudige (of atomaire) propositie genoemd. "2 is minder dan 4" is bijvoorbeeld een eenvoudige propositie. De proposities die enig verbindend zijn, worden samengestelde proposities genoemd, zoals "1 + 3 = 4 en 4 is een even getal".

Uitspraken die door middel van proposities worden gedaan, zijn meestal lang, dus het is vervelend om ze altijd te schrijven zoals we tot nu toe hebben gezien. Om deze reden wordt een symbolische taal gebruikt. Stellingen worden meestal weergegeven met hoofdletters zoals P, Q, R, S, etc. En de symbolische connectieven als volgt:

Zodat

Het omgekeerde van een voorwaardelijke propositie

is het voorstel

En de contra-wederkerigheid (of contrapositieve) van een voorstel

is het voorstel

Waarheidstabellen

Een ander belangrijk concept in de logica is dat van waarheidstabellen. De waarheidswaarden van een propositie zijn de twee mogelijkheden voor een propositie: waar (wat wordt aangegeven met V en er wordt gezegd dat de waarheidswaarde V is) of onwaar (wat wordt aangegeven met F en er zal worden gezegd dat de waarde is echt F).

De waarheidswaarde van een samengestelde propositie hangt uitsluitend af van de waarheidswaarden van de eenvoudige proposities die erin voorkomen.

Om op een meer algemene manier te werken, zullen we geen specifieke proposities beschouwen, maar propositionele variabelen p, q, r, s, enz., Die alle proposities zullen vertegenwoordigen.

Met deze variabelen en de logische connectieven worden de bekende propositionele formules gevormd, net zoals samengestelde proposities worden gebouwd.

Als elk van de variabelen die in een propositionele formule voorkomen, wordt vervangen door een propositie, wordt een samengestelde propositie verkregen.

Hieronder staan ​​de waarheidstabellen voor logische connectieven:

Er zijn propositionele formules die alleen de waarde V ontvangen in hun waarheidstabel, dat wil zeggen dat de laatste kolom van hun waarheidstabel alleen de waarde V heeft. Dit soort formules staan ​​bekend als tautologieën. Bijvoorbeeld:

Het volgende is de waarheidstabel van de formule

Een formule α zou logischerwijs een andere formule β impliceren, als α waar is elke keer dat β waar is. Dat wil zeggen, in de waarheidstabel van α en β, de rijen waar α een V heeft, β ook een V. We zijn alleen geïnteresseerd in de rijen waarin α de waarde V heeft. De notatie voor logische implicatie is als volgt :

De volgende tabel geeft een overzicht van de eigenschappen van logische implicatie:

Twee propositionele formules zouden logisch equivalent zijn als hun waarheidstabellen identiek zijn. De volgende notatie wordt gebruikt om de logische equivalentie uit te drukken:

De volgende tabellen vatten de eigenschappen van logische equivalentie samen:

Soorten wiskundige logica

Er zijn verschillende soorten logica, vooral als men rekening houdt met de pragmatische of informele logica die onder meer verwijst naar de filosofie.

Wat de wiskunde betreft, kunnen de soorten logica worden samengevat als:

• Formele of aristotelische logica (oude logica).
• Propositionele logica: het is verantwoordelijk voor de studie van alles wat te maken heeft met de geldigheid van argumenten en proposities in formele en symbolische taal.
• Symbolische logica: gericht op de studie van verzamelingen en hun eigenschappen, ook met een formele en symbolische taal, en is diep verbonden met propositielogica.
• Combinatorische logica: een van de meest recent ontwikkelde, betreft resultaten die kunnen worden ontwikkeld met behulp van algoritmen.
• Logisch programmeren: gebruikt in de verschillende pakketten en programmeertalen.

Gebieden

Onder de gebieden die op een onmisbare manier gebruik maken van wiskundige logica bij de ontwikkeling van hun redeneringen en argumenten, vallen filosofie, verzamelingenleer, getaltheorie, algebraïsche constructieve wiskunde en programmeertalen op.

Referenties

1. Aylwin, CU (2011). Logica, sets en cijfers. Mérida - Venezuela: Publications Council, Universidad de Los Andes.
2. Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Inleiding tot de getaltheorie. EUNED.
3. Castañeda, S. (2016). Basiscursus getaltheorie. Northern University.
4. Cofré, A., & Tapia, L. (1995). Hoe wiskundig logisch redeneren te ontwikkelen. University Publishing House.
5. Zaragoza, AC (sf). Nummer theorie Redactionele Visie Libros.