De lineaire interpolatie is een methode die de algemene Newton-interpolatie en benadering voortbrengt om een onbekende waarde te bepalen die tussen twee gegeven getallen ligt; dat wil zeggen, er wordt een tussenliggende waarde gevonden. Het wordt ook toegepast op benaderende functies, waarbij de waarden f (a) en f (b) bekend zijn en we het tussenproduct van f (x) willen weten .
Er zijn verschillende soorten interpolatie, zoals lineair, kwadratisch, kubisch en van hogere graden, de eenvoudigste is de lineaire benadering. De prijs die moet worden betaald met lineaire interpolatie is dat het resultaat niet zo nauwkeurig zal zijn als bij benaderingen met functies van hogere graden.
Definitie
Lineaire interpolatie is een proces waarmee u een waarde kunt afleiden tussen twee goed gedefinieerde waarden, die zich in een tabel of in een lijngrafiek kunnen bevinden.
Als je bijvoorbeeld weet dat 3 liter melk $ 4 waard is en dat 5 liter $ 7 waard is, maar je wilt weten wat de waarde van 4 liter melk is, dan interpoleer je om die tussenwaarde te bepalen.
Methode
Om een tussenwaarde van een functie te schatten, wordt de functie f (x) benaderd door middel van een lijn r (x) , wat betekent dat de functie lineair varieert met «x» voor een sectie «x = a» en «x = b "; dat wil zeggen, voor een waarde "x" in het interval (x 0 , x 1 ) en (y 0 , y 1 ), wordt de waarde van "y" gegeven door de lijn tussen de punten en uitgedrukt door de volgende relatie:
(y - y 0 ) ÷ (x - x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )
Om een interpolatie lineair te laten zijn, moet het interpolatiepolynoom van graad één zijn (n = 1), zodat het past bij de waarden van x 0 en x 1.
Lineaire interpolatie is gebaseerd op gelijkenis van driehoeken, zodanig dat, geometrisch afgeleid uit de vorige uitdrukking, de waarde van "y" kan worden verkregen, die de onbekende waarde voor "x" vertegenwoordigt.
Op die manier moet je:
a = tan Ɵ = (tegenoverliggende been 1 ÷ aangrenzende been 1 ) = (tegenovergestelde been 2 ÷ aangrenzende been 2 )
Op een andere manier uitgedrukt, is het:
(y - y 0 ) ÷ (x - x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )
Oplossend voor «en» uit de uitdrukkingen, hebben we:
(y - y 0 ) * (x 1 - x 0 ) = (x - x 0 ) * (y 1 - y 0 )
(y - y 0 ) = (y 1 - y 0 ) *
Aldus wordt de algemene vergelijking voor lineaire interpolatie verkregen:
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) *
Over het algemeen geeft lineaire interpolatie een kleine fout over de werkelijke waarde van de ware functie, hoewel de fout minimaal is in vergelijking met wanneer u intuïtief een getal kiest dat dicht bij het nummer ligt dat u wilt vinden.
Deze fout treedt op wanneer u de waarde van een curve probeert te benaderen met een rechte lijn; In deze gevallen moet de grootte van het interval worden verkleind om de benadering nauwkeuriger te maken.
Voor betere resultaten met betrekking tot de benadering, is het raadzaam om functies van graad 2, 3 of zelfs hogere graden te gebruiken om de interpolatie uit te voeren. Voor deze gevallen is de Taylor-stelling een zeer nuttig hulpmiddel.
Opgeloste oefeningen
Oefening 1
Het aantal bacteriën per volume-eenheid dat na x uur in een incubatie aanwezig is, wordt in de volgende tabel weergegeven. Je wilt weten wat het volume bacteriën is voor de tijd van 3,5 uur.
Oplossing
De referentietabel stelt geen waarde vast die de hoeveelheid bacteriën aangeeft voor een tijd van 3,5 uur, maar er zijn boven- en onderwaarden die overeenkomen met een tijd van respectievelijk 3 en 4 uur. Op die manier:
x 0 = 3 en 0 = 91
x = 3,5 y =?
x 1 = 4 en 1 = 135
Nu wordt de wiskundige vergelijking toegepast om de geïnterpoleerde waarde te vinden, wat de volgende is:
Y = Y 0 + (Y 1 - Y 0 ) * .
Vervolgens worden de bijbehorende waarden vervangen:
y = 91 + (135 - 91) *
y = 91 + (44) *
y = 91 + 44 * 0,5
y = 113.
Aldus wordt verkregen dat voor een tijd van 3,5 uur het aantal bacteriën 113 is, wat een tussenliggend niveau vertegenwoordigt tussen het volume bacteriën dat bestaat in de tijden van 3 en 4 uur.
Oefening 2
Luis heeft een ijsfabriek en hij wil een onderzoek doen om aan de hand van de gemaakte kosten het inkomen te bepalen dat hij in augustus had. De beheerder van het bedrijf maakt een grafiek die deze relatie uitdrukt, maar Luis wil weten:
Wat is het inkomen voor augustus als er een uitgave van $ 55.000 is gemaakt?
Oplossing
Er wordt een grafiek gegeven met waarden van inkomsten en uitgaven. Luis wil weten wat het inkomen voor augustus is als de fabriek een uitgave van $ 55.000 had. Deze waarde wordt niet direct in de grafiek weergegeven, maar de waarden zijn hoger en lager dan dit.
Er wordt eerst een tabel gemaakt waar u de waarden gemakkelijk kunt relateren:
Nu wordt de interpolatieformule gebruikt om zo de waarde van y te bepalen
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) *
Vervolgens worden de bijbehorende waarden vervangen:
y = 56.000 + (78.000 - 56.000) *
y = 56.000 + (22.000) *
y = 56.000 + (22.000) * (0,588)
y = 56.000 + 12.936
y = $ 68.936.
Als er in augustus een uitgave van $ 55.000 werd gedaan, was het inkomen $ 68.936.
Referenties
- Arthur Goodman, LH (1996). Algebra en trigonometrie met analytische meetkunde. Pearson Education.
- Harpe, P. d. (2000). Onderwerpen in geometrische groepentheorie. University of Chicago Press.
- Hazewinkel, M. (2001). Lineaire interpolatie ", Encyclopedia of Mathematics.
- , JM (1998). Elementen van numerieke methoden voor engineering. UASLP.
- , E. (2002). Een chronologie van interpolatie: van oude astronomie tot moderne signaal- en beeldverwerking. Proceedings van de IEEE.
- numeriek, I. a. (2006). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.