- Wat zijn de eigenschappen van magnetische inductie of magnetische fluxdichtheid?
- De wet van Biot-Savart
- Formules
- Hoe wordt het berekend?
- Voorbeeld
- Referenties
De magnetische inductie of magnetische fluxdichtheid verandert de omgeving veroorzaakt door de aanwezigheid van elektrische stromen. Ze wijzigen de aard van de ruimte die hen omringt en creëren een vectorveld.
De vector magnetische inductie, magnetische fluxdichtheid of gewoon magnetisch veld B, heeft drie onderscheidende kenmerken: een intensiteit uitgedrukt door een numerieke waarde, een richting en ook een gevoel gegeven op elk punt in de ruimte. Het is vetgedrukt om het te onderscheiden van puur numerieke of scalaire grootheden.
Regel van de rechterduim om de richting en het gevoel van de magnetische inductievector te bepalen. Bron: Jfmelero
De rechter duimregel wordt gebruikt om de richting en richting van het magnetische veld te bepalen dat wordt veroorzaakt door een stroomvoerende draad, zoals weergegeven in de bovenstaande afbeelding.
De duim van de rechterhand moet in de richting van de stroom wijzen. Vervolgens geeft de rotatie van de vier overgebleven vingers de vorm van B aan , die in de figuur wordt weergegeven door de concentrische rode cirkels.
In dat geval is de richting van B tangentiaal aan de omtrek concentrisch met de draad en is de richting tegen de klok in.
De magnetische inductie B in het internationale systeem wordt Tesla (T) gemeten, maar het komt vaker voor om deze te meten in een andere eenheid genaamd Gauss (G). Beide eenheden werden respectievelijk genoemd ter ere van Nikola Tesla (1856-1943) en Carl Friedrich Gauss (1777-1855) vanwege hun buitengewone bijdragen aan de wetenschap van elektriciteit en magnetisme.
Wat zijn de eigenschappen van magnetische inductie of magnetische fluxdichtheid?
Een kompas dat in de buurt van een spanningvoerende draad wordt geplaatst, zal altijd in lijn zijn met B. De Deense natuurkundige Hans Christian Oersted (1777-1851) was de eerste die dit fenomeen in het begin van de 19e eeuw opmerkte.
En als de stroming stopt, wijst het kompas weer naar het geografische noorden, zoals altijd. Door voorzichtig de positie van het kompas te veranderen, krijg je een kaart met de vorm van het magnetische veld.
Deze kaart heeft altijd de vorm van cirkels concentrisch met de draad, zoals aan het begin beschreven. Op deze manier B.
Zelfs als de draad niet recht is, vormt vector B er concentrische cirkels omheen. Om de vorm van het veld te bepalen, stelt u zich zeer kleine draadsegmenten voor, zo klein dat ze rechtlijnig lijken en omgeven door concentrische cirkels.
Magnetische veldlijnen geproduceerd door een stroomvoerende draadlus. Bron: Pixabay.com
Dit wijst op een belangrijke eigenschap van magnetische veldlijnen B : ze hebben geen begin of einde, het zijn altijd gesloten curven.
De wet van Biot-Savart
De 19e eeuw markeerde het begin van het tijdperk van elektriciteit en magnetisme in de wetenschap. 1820 in de buurt van de Franse natuurkundigen Jean Marie Biot (1774-1862) en Felix Savart (1791-1841) ontdekten de wet die zijn naam draagt en die de vector B berekent .
Ze maakten de volgende opmerkingen over de bijdrage aan het magnetische veld geproduceerd door een draadsegment met een differentiële lengte dl dat een elektrische stroom I draagt:
- De grootte van B neemt af met het omgekeerde van het kwadraat van de afstand tot de draad (dit is logisch: weg van de draad moet de intensiteit van B minder zijn dan op nabijgelegen punten).
- De grootte van B is evenredig met de intensiteit van de stroom I die door de draad gaat.
- De richting van B is tangentiaal aan de cirkel met straal r gecentreerd op de draad en de richting van B wordt, zoals we al zeiden, gegeven door de regel van de rechterduim.
Het kruisproduct of het kruisproduct is het geschikte wiskundige hulpmiddel om het laatste punt uit te drukken. Om een vectorproduct tot stand te brengen, zijn twee vectoren nodig, die als volgt worden gedefinieerd:
- d l is de vector waarvan de grootte de lengte is van het differentiële segment dl
- r is de vector die van de draad naar het punt gaat waar u het veld wilt vinden
Formules
Dit alles kan worden gecombineerd tot een wiskundige uitdrukking:
De evenredigheidsconstante die nodig is om gelijkheid vast te stellen, is de magnetische permeabiliteit van de vrije ruimte μ o = 4π 10-7 Tm / A
Deze uitdrukking is de wet van Biot en Savart, waarmee we het magnetische veld van een huidig segment kunnen berekenen.
Zo'n segment moet op zijn beurt deel uitmaken van een groter en meer gesloten circuit: een stroomverdeling.
De voorwaarde dat het circuit gesloten is, is nodig om een elektrische stroom te laten stromen. Elektrische stroom kan niet stromen in open circuits.
Om het totale magnetische veld van de stroomverdeling te vinden, worden tenslotte alle bijdragen van elk differentieel segment dl opgeteld . Dit staat gelijk aan integratie over de gehele distributie:
Om de wet van Biot-Savart toe te passen en de magnetische inductievector te berekenen, is het noodzakelijk om enkele zeer belangrijke belangrijke punten in overweging te nemen:
- Het kruisproduct tussen twee vectoren resulteert altijd in een andere vector.
- Het is handig om het vectorproduct te vinden voordat u verdergaat met de resolutie van de integraal, waarna de integraal van elk van de afzonderlijk verkregen componenten wordt opgelost.
- Het is noodzakelijk om een beeld van de situatie te maken en een geschikt coördinatensysteem op te zetten.
- Telkens wanneer het bestaan van enige symmetrie wordt waargenomen, moet deze worden gebruikt om rekentijd te besparen.
- Als er driehoeken zijn, zijn de stelling van Pythagoras en de cosinusstelling behulpzaam bij het vaststellen van de geometrische relatie tussen de variabelen.
Hoe wordt het berekend?
Met een praktisch voorbeeld van de berekening van B voor een rechte draad, zijn deze aanbevelingen van toepassing.
Voorbeeld
Bereken de magnetische veldvector die een zeer lange rechtlijnige draad produceert op een punt P in de ruimte, volgens de weergegeven afbeelding.
Geometrie die nodig is om het magnetische veld op punt P van een oneindig lange stroomdraad te berekenen. Bron: zelf gemaakt.
Van de figuur moet je:
- De draad is in verticale richting gericht, met stroom I naar boven. Deze richting is + y in het coördinatensysteem, waarvan de oorsprong is in punt O.
- In dit geval, volgens de regel van de rechterduim, is B op punt P naar de binnenkant van het papier gericht, daarom wordt het in de figuur aangeduid met een kleine cirkel en een "x". Dit adres wordt beschouwd als -z.
- De rechthoekige driehoek waarvan de benen y en R zijn, relateert beide variabelen volgens de stelling van Pythagoras: r 2 = R 2 + y 2
Dit alles wordt vervangen door de integraal. Het uitwendige product of kruis wordt aangegeven door zijn grootte plus zijn richting en zijn betekenis:
De voorgestelde integraal wordt gevonden in een tabel met integralen of wordt opgelost door een geschikte trigonometrische substitutie (de lezer kan het resultaat controleren met y = Rtg θ):
Het resultaat komt overeen met wat werd verwacht: de grootte van het veld neemt af met afstand R en neemt evenredig toe met de intensiteit van stroom I.
Hoewel een oneindig lange draad een idealisatie is, is de verkregen uitdrukking een zeer goede benadering voor het veld van een lange draad.
Met de wet van Biot en Savart is het mogelijk om het magnetische veld van andere zeer symmetrische distributies te vinden, zoals een cirkelvormige lus die stroom voert, of gebogen draden die rechtlijnige en kromlijnige segmenten combineren.
Om de voorgestelde integraal analytisch op te lossen, moet het probleem natuurlijk een hoge mate van symmetrie hebben. Anders is het alternatief om de integraal numeriek op te lossen.
Referenties
- Serway, R., Jewett, J. (2008). Physics for Science and Engineering. Deel 2. Mexico. Cengage Learning Editors. 367-372.