- Wat zijn de afmetingen?
- Driedimensionale ruimte
- De vierde dimensie en tijd
- De coördinaten van een hyperkubus
- Uitvouwen van een hyperkubus
- Referenties
Een hyperkubus is een kubus met dimensie n. Het specifieke geval van de vierdimensionale hyperkubus wordt een tesseract genoemd. Een hyperkubus of n-kubus bestaat uit rechte segmenten, allemaal van gelijke lengte die orthogonaal zijn op hun hoekpunten.
Mensen nemen driedimensionale ruimte waar: breedte, hoogte en diepte, maar het is voor ons niet mogelijk om een hyperkubus te visualiseren met een dimensie groter dan 3.
Figuur 1. Een 0-kubus is een punt, als dat punt zich uitstrekt in een richting een afstand a vormt een 1-kubus, als die 1-kubus zich uitstrekt over een afstand a in de orthogonale richting hebben we een 2-kubus (van zijden x tot a), als de 2-kubus zich uitstrekt over een afstand a in de orthogonale richting, hebben we een 3-kubus. Bron: F. Zapata.
We kunnen er hoogstens projecties van maken in een driedimensionale ruimte om het weer te geven, op dezelfde manier als hoe we een kubus op een vlak projecteren om het weer te geven.
In dimensie 0 is het enige cijfer het punt, dus een 0-kubus is een punt. Een 1-kubus is een recht segment, dat wordt gevormd door een punt in één richting te verplaatsen over een afstand a.
Een 2-kubus van zijn kant is een vierkant. Het wordt geconstrueerd door de 1-kubus (het segment met lengte a) in de y-richting te verschuiven, die loodrecht staat op de x-richting, een afstand a.
De 3-kubus is de gemeenschappelijke kubus. Het wordt vanaf het vierkant opgebouwd door het in de derde richting (z) te verplaatsen, die loodrecht staat op de x- en y-richtingen, een afstand a.
Figuur 2. Een 4-kubus (tesseract) is de uitbreiding van een 3-kubus in de orthogonale richting ten opzichte van de drie conventionele ruimtelijke richtingen. Bron: F. Zapata.
De 4-kubus is de tesseract, die is opgebouwd uit een 3-kubus die deze orthogonaal beweegt, een afstand a, naar een vierde dimensie (of vierde richting), die we niet kunnen waarnemen.
Een tesseract heeft al zijn rechte hoeken, het heeft 16 hoekpunten en al zijn randen (18 in totaal) hebben dezelfde lengte a.
Als de lengte van de randen van een n-kubus of hyperkubus van dimensie n 1 is, dan is het een eenheid hyperkubus, waarbij de langste diagonaal √n meet.
Figuur 3. Een n-kubus wordt verkregen uit een (n-1) -kubus die deze orthogonaal uitstrekt in de volgende dimensie. Bron: Wikimedia Commons.
Wat zijn de afmetingen?
Afmetingen zijn de vrijheidsgraden, of de mogelijke richtingen waarin een object kan bewegen.
In dimensie 0 is er geen mogelijkheid om te vertalen en het enige mogelijke geometrische object is het punt.
Een dimensie in de Euclidische ruimte wordt weergegeven door een georiënteerde lijn of as die die dimensie definieert, de X-as. De scheiding tussen twee punten A en B is de Euclidische afstand:
d = √.
In twee dimensies wordt de ruimte weergegeven door twee loodrecht op elkaar georiënteerde lijnen, de X-as en de Y-as genoemd.
De positie van elk punt in deze tweedimensionale ruimte wordt gegeven door zijn paar cartesiaanse coördinaten (x, y) en de afstand tussen twee willekeurige punten A en B zal zijn:
d = √
Omdat het een ruimte is waar de geometrie van Euclides wordt vervuld.
Driedimensionale ruimte
Driedimensionale ruimte is de ruimte waarin we ons bewegen. Het heeft drie richtingen: breedte, hoogte en diepte.
In een lege ruimte geven de loodrechte hoeken deze drie richtingen aan en aan elk daarvan kunnen we een as associëren: X, Y, Z.
Deze ruimte is ook Euclidisch en de afstand tussen twee punten A en B wordt als volgt berekend:
d = √
Mensen kunnen niet meer dan drie ruimtelijke (of Euclidische) dimensies waarnemen.
Vanuit strikt wiskundig oogpunt is het echter mogelijk om een n-dimensionale Euclidische ruimte te definiëren.
In deze ruimte heeft een punt coördinaten: (x1, x2, x3,… .., xn) en de afstand tussen twee punten is:
d = √.
De vierde dimensie en tijd
In de relativiteitstheorie wordt tijd inderdaad als nog een dimensie behandeld en wordt er een coördinaat aan gekoppeld.
Maar het moet duidelijk zijn dat deze coördinaat die met tijd is geassocieerd een denkbeeldig getal is. Daarom is de scheiding van twee punten of gebeurtenissen in de ruimte-tijd niet Euclidisch, maar volgt eerder de Lorentz-metriek.
Een vierdimensionale hyperkubus (het tesseract) leeft niet in ruimte-tijd, maar behoort tot een vierdimensionale Euclidische hyperruimte.
Figuur 4. 3D-projectie van een vierdimensionale hyperkubus in eenvoudige rotatie rond een vlak dat de figuur van voor naar links, van achter naar rechts en van boven naar beneden verdeelt. Bron: Wikimedia Commons.
De coördinaten van een hyperkubus
De coördinaten van de hoekpunten van een n-kubus gecentreerd op de oorsprong worden verkregen door alle mogelijke permutaties van de volgende uitdrukking uit te voeren:
(a / 2) (± 1, ± 1, ± 1,…., ± 1)
Waar a de lengte van de rand is.
-Het volume van een n-kubus van rand a is: (a / 2) n (2 n ) = a n .
-De langste diagonaal is de afstand tussen tegenoverliggende hoekpunten.
-De volgende zijn tegenovergestelde hoekpunten in een vierkant : (-1, -1) en (+1, +1).
-En in een kubus : (-1, -1, -1) en (+1, +1, +1).
-De langste diagonaal van een n-kubus meet:
d = √ = √ = 2√n
In dit geval werd aangenomen dat de zijde a = 2 is. Voor een n-kubus van zijde naar elk zal het zijn:
d = a√n.
-Een tesseract heeft elk van zijn 16 hoekpunten verbonden met vier randen. De volgende afbeelding laat zien hoe hoekpunten in een tesseract zijn verbonden.
Figuur 5. De 16 hoekpunten van een vierdimensionale hyperkubus en hoe ze met elkaar verbonden zijn, worden getoond. Bron: Wikimedia Commons.
Uitvouwen van een hyperkubus
Een regelmatige geometrische figuur, bijvoorbeeld een veelvlak, kan worden uitgevouwen tot meerdere figuren met een kleinere dimensionaliteit.
In het geval van een 2-kubus (een vierkant) kan deze worden verdeeld in vier segmenten, dat wil zeggen vier 1-kubus.
Op dezelfde manier kan een 3-kubus worden uitgevouwen in zes 2-kubussen.
Figuur 6. Een n-kubus kan worden uitgevouwen in meerdere (n-1) -blokjes. Bron: Wikimedia Commons.
Een 4-kubus (tesseract) kan worden uitgevouwen in acht 3-kubussen.
De volgende animatie toont het ontvouwen van een tesseract.
Figuur 7. Een 4-dimensionale hyperkubus kan worden uitgevouwen in acht driedimensionale kubussen. Bron: Wikimedia Commons.
Figuur 8. Driedimensionale projectie van een vierdimensionale hyperkubus die een dubbele rotatie uitvoert rond twee orthogonale vlakken. Bron: Wikimedia Commons.
Referenties
- Wetenschappelijke cultuur. Hypercube, die de vierde dimensie visualiseert. Hersteld van: culturacientifica.com
- Epsilons. Vierdimensionale hyperkubus of tesseract. Hersteld van: epsilones.com
- Perez R, Aguilera A. Een methode om een tesseract te verkrijgen uit de ontwikkeling van een hyperkubus (4D). Hersteld van: researchgate.net
- Wikibooks. Wiskunde, veelvlakken, hyperkubussen. Hersteld van: es.wikibooks.org
- Wikipedia. Hypercube. Hersteld van: en.wikipedia.com
- Wikipedia. Tesseract. Hersteld van: en.wikipedia.com