- Voorbeelden van de graad van een polynoom
- Tabel 1. Voorbeelden van polynomen en hun graden
- Procedure voor het werken met polynomen
- Bestel, verminder en voltooi een polynoom
- Belang van de graad van een polynoom bij optellen en aftrekken
- Opgeloste oefeningen
- - Oefening opgelost 1
- Oplossing
- - Oefening opgelost 2
- Oplossing
- Referenties
De graad van een polynoom in een variabele wordt gegeven door de term met de grootste exponent, en als de polynoom twee of meer variabelen heeft, wordt de graad bepaald door de som van de exponenten van elke term, waarbij de grootste som de graad is van het polynoom.
Laten we eens kijken hoe we de graad van de polynoom op een praktische manier kunnen bepalen.
Figuur 1. Einsteins beroemde vergelijking voor energie E is een monomiaal van absolute graad 1 voor de variabele massa, aangeduid met m, aangezien de lichtsnelheid c als constant wordt beschouwd. Bron: Piqsels.
Stel dat het polynoom P (x) = -5x + 8x 3 + 7 - 4x 2 . Dit polynoom is één variabele, in dit geval is het de variabele x. Dit polynoom bestaat uit verschillende termen, die de volgende zijn:
En wat is nu de exponent? Het antwoord is 3. Daarom is P (x) een polynoom van graad 3.
Als de betreffende polynoom meer dan één variabele heeft, kan de graad zijn:
Absoluut
-Met betrekking tot een variabele
De absolute graad wordt gevonden zoals uitgelegd aan het begin: de exponenten van elke term optellen en de grootste selecteren.
In plaats daarvan is de graad van de polynoom met betrekking tot een van de variabelen of letters de grootste waarde van de exponent die die letter heeft. Het punt wordt duidelijker met de voorbeelden en opgeloste oefeningen in de volgende secties.
Voorbeelden van de graad van een polynoom
Veeltermen kunnen worden ingedeeld op graad, en kunnen eerste graad, tweede graad, derde graad enzovoort zijn. Voor het voorbeeld in figuur 1 is energie een eerstegraads monomiaal voor massa.
Het is ook belangrijk op te merken dat het aantal termen dat een polynoom heeft gelijk is aan graad plus 1. Dus:
- Eerste graads veeltermen hebben 2 termen: a 1 x + a o
-De tweedegraads polynoom heeft 3 termen: a 2 x 2 + a 1 x + a o
-Een derde graads polynoom heeft 4 termen: a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a of
Enzovoort. De oplettende lezer zal hebben opgemerkt dat de polynomen in de voorgaande voorbeelden in afnemende vorm zijn geschreven, dat wil zeggen dat de term met de grootste graad bovenaan wordt geplaatst.
De volgende tabel toont verschillende polynomen, zowel van één als van meerdere variabelen en hun respectieve absolute graden:
Tabel 1. Voorbeelden van polynomen en hun graden
| Polynoom | Mate |
|---|---|
| 3x 4 + 5x 3 -2x + 3 | 4 |
| 7x 3 -2x 2 + 3x-6 | 3 |
| 6 | 0 |
| x-1 | een |
| x 5 -bx 4 + abx 3 + ab 3 x 2 | 6 |
| 3x 3 en 5 + 5x 2 en 4 - 7xy 2 + 6 | 8 |
De laatste twee polynomen hebben meer dan één variabele. Hiervan is de term met de hoogste absolute graad vetgedrukt weergegeven, zodat de lezer snel de graad kan controleren. Het is belangrijk om te onthouden dat wanneer de variabele geen geschreven exponent heeft, deze exponent gelijk is aan 1.
In de gemarkeerde term ab 3 x 2 zijn er bijvoorbeeld drie variabelen, namelijk: a, b en x. In deze term wordt a verhoogd tot 1, dat wil zeggen:
a = een 1
Dus ab 3 x 2 = a 1 b 3 x 2
Aangezien de exponent van b 3 is en die van x 2, volgt daar direct uit dat de graad van deze term is:
1 + 3 + 2 = 6
Y is de absolute graad van de polynoom, aangezien geen enkele andere term een hogere graad heeft.
Procedure voor het werken met polynomen
Wanneer u met polynomen werkt, is het belangrijk om op de mate ervan te letten, aangezien het eerst en voordat u een bewerking uitvoert, handig is om deze stappen te volgen, waarbij de mate zeer belangrijke informatie biedt:
-Orde de polynoom van voorkeur in afnemende richting. De term met de hoogste graad staat dus aan de linkerkant en de term met de laagste graad aan de rechterkant.
-Verminder soortgelijke termen, een procedure die bestaat uit het algebraïsch toevoegen van alle termen van dezelfde variabele en graad die in de uitdrukking worden gevonden.
-Indien nodig worden de polynomen ingevuld door termen in te voegen waarvan de coëfficiënt 0 is, voor het geval er termen ontbreken met een exponent.
Bestel, verminder en voltooi een polynoom
Gegeven de polynoom P (x) = 6x 2 - 5x 4 - 2x + 3x + 7 + 2x 5 - 3 x 3 + x 7 -12, wordt verzocht volgorde in aflopende volgorde, beperken dergelijke voorwaarden als die er zijn, en de ontbrekende voorwaarden indien nauwkeurig.
Het eerste waar u naar moet zoeken, is de term met de grootste exponent, de graad van de polynoom, die blijkt te zijn:
x 7
Daarom is P (x) van graad 7. Vervolgens wordt de polynoom geordend, beginnend met deze term aan de linkerkant:
P (x) = x 7 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 - 2x + 3x + 7-12
Nu worden de soortgelijke termen verminderd, namelijk de volgende: - 2x en 3x enerzijds. En 7 en -12 aan de andere kant. Om ze te verkleinen worden de coëfficiënten algebraïsch toegevoegd en blijft de variabele ongewijzigd (als de variabele niet naast de coëfficiënt verschijnt, onthoud dan dat x 0 = 1):
-2x + 3x = x
7-12 = -5
Vervang deze resultaten in P (x):
P (x) = x 7 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 + x -5
En tenslotte wordt het polynoom onderzocht om te zien of er een exponent ontbreekt en inderdaad, een term waarvan de exponent 6 is, ontbreekt, daarom wordt het aangevuld met nullen zoals deze:
P (x) = x 7 + 0x 6 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 + x - 5
Nu wordt opgemerkt dat het polynoom overbleef met 8 termen, aangezien zoals eerder gezegd het aantal termen gelijk is aan graad + 1.
Belang van de graad van een polynoom bij optellen en aftrekken
Met polynomen kun je optel- en aftrekbewerkingen uitvoeren, waarbij alleen dezelfde termen worden opgeteld of afgetrokken, namelijk die met dezelfde variabele en dezelfde graad. Als er geen soortgelijke termen zijn, wordt het optellen of aftrekken eenvoudig aangegeven.
Als het optellen of aftrekken eenmaal is uitgevoerd, waarbij de laatste de som is van het tegenovergestelde, is de graad van het resulterende polynoom altijd gelijk aan of kleiner dan de graad van het polynoom dat de hoogste graad optelt.
Opgeloste oefeningen
- Oefening opgelost 1
Zoek de volgende som en bepaal de absolute graad:
een 3 - 8ax 2 + x 3 + 5a 2 x - 6ax 2 - x 3 + 3a 3 - 5a 2 x - x 3 + a 3 + 14ax 2 - x 3
Oplossing
Het is een polynoom met twee variabelen, dus het is handig om soortgelijke termen te verminderen:
een 3 - 8ax 2 + x 3 + 5a 2 x - 6ax 2 - x 3 + 3a 3 - 5a 2 x - x 3 + een 3 + 14ax 2 - x 3 =
= een 3 + 3a 3 + een 3 - 8ax 2 - 6ax 2 + 14ax 2 + 5a 2 x - 5a 2 x + x 3 - x 3 - x 3 - x 3 =
= 5a 3 - 2x 3
Beide termen zijn van graad 3 in elke variabele. Daarom is de absolute graad van de polynoom 3.
- Oefening opgelost 2
Druk de oppervlakte van de volgende vlakke geometrische figuur uit als een polynoom (figuur 2 links). Wat is de graad van de resulterende polynoom?
Figuur 2. Links het cijfer voor de opgeloste opgave 2 en rechts hetzelfde cijfer uiteengevallen in drie gebieden waarvan de uitdrukking bekend is. Bron: F. Zapata.
Oplossing
Omdat het een gebied is, moet de resulterende polynoom graad 2 zijn in de variabele x. Om een geschikte uitdrukking voor het gebied te bepalen, wordt de figuur opgesplitst in bekende gebieden:
De oppervlakte van een rechthoek en een driehoek zijn respectievelijk: basis x hoogte en basis x hoogte / 2
Een 1 = x. 3x = 3x 2 ; A 2 = 5. x = 5x; A 3 = 5. (2x / 2) = 5x
Let op : de basis van de driehoek is 3x - x = 2x en de hoogte is 5.
Nu worden de drie verkregen uitdrukkingen opgeteld, hiermee hebben we de oppervlakte van de figuur als functie van x:
3x 2 + 5x + 5x = 3x 2 + 10x
Referenties
- Baldor, A. 1974. Elementaire algebra. Culturele Venezolana SA
- Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
- Wikibooks. Veeltermen. Hersteld van: es. wikibooks.org.
- Wikipedia. Graad (polynoom). Hersteld van: es.wikipedia.org.
- Zill, D. 1984. Algebra en trigonometrie. Mac Graw Hill.