EUCLIDISCHE MEETKUNDE: GESCHIEDENIS, BASISCONCEPTEN EN VOORBEELDEN - WISKUNDE - 2026

De Euclidische meetkunde komt overeen met de studie van de eigenschappen van geometrische ruimtes waar aan de axioma's van Euclides wordt voldaan. Hoewel deze term soms wordt gebruikt om geometrieën te dekken die hogere afmetingen hebben met vergelijkbare eigenschappen, is het over het algemeen synoniem met klassieke geometrie of vlakke geometrie.

In de IIIe eeuw a. C. Euclides en zijn discipelen schreven The Elements, een werk dat de wiskundige kennis van de tijd omvatte, begiftigd met een logisch-deductieve structuur. Sindsdien is geometrie een wetenschap geworden, aanvankelijk om klassieke problemen op te lossen, en is geëvolueerd tot een vormende wetenschap die helpt bij het redeneren.

Geschiedenis

Om over de geschiedenis van de Euclidische meetkunde te praten, is het essentieel om te beginnen met Euclides van Alexandrië en de Elementen.

Toen Egypte na de dood van Alexander de Grote in handen van Ptolemaeus I werd achtergelaten, begon hij zijn project op een school in Alexandrië.

Een van de wijzen die op de school lesgaven, was Euclides. Er wordt gespeculeerd dat zijn geboorte dateert uit ongeveer 325 voor Christus. C. en zijn dood van 265 a. C. We kunnen met zekerheid weten dat hij naar Plato's school ging.

Euclides gaf meer dan dertig jaar les in Alexandrië en bouwde zijn beroemde elementen op: hij begon een uitputtende beschrijving te schrijven van de wiskunde van zijn tijd. Euclides 'leringen brachten uitstekende discipelen voort, zoals Archimedes en Apollonius van Perga.

Euclides had de leiding over het structureren van de ongelijksoortige ontdekkingen van de oude Grieken in de Elementen, maar in tegenstelling tot zijn voorgangers beperkt hij zich niet tot de bevestiging dat een stelling waar is; Euclid biedt een demonstratie aan.

The Elements is een compendium van dertien boeken. Na de Bijbel is het het meest gepubliceerde boek, met meer dan duizend edities.

Euclides elementen

The Elements is Euclides meesterwerk op het gebied van geometrie, en biedt een definitieve behandeling van de geometrie van twee dimensies (het vlak) en drie dimensies (ruimte), dit is de oorsprong van wat we nu kennen als Euclidische meetkunde .

Basisconcepten

De elementen zijn opgebouwd uit definities, gangbare begrippen en postulaten (of axioma's) gevolgd door stellingen, constructies en bewijzen.

- Een punt is datgene dat geen onderdelen heeft.

- Een lijn is een lengte die geen breedte heeft.

- Een rechte lijn is er een die in gelijke mate ligt in verhouding tot de punten die erin staan.

- Als twee lijnen worden gesneden zodat de aangrenzende hoeken gelijk zijn, worden de hoeken rechte lijnen genoemd en de lijnen loodrecht.

- Parallelle lijnen zijn lijnen die, omdat ze in hetzelfde vlak liggen, elkaar nooit kruisen.

Na deze en andere definities presenteert Euclides ons een lijst van vijf postulaten en vijf begrippen.

Veel voorkomende begrippen

- Twee dingen die gelijk zijn aan een derde zijn gelijk aan elkaar.

- Als dezelfde dingen aan dezelfde dingen worden toegevoegd, zijn de resultaten hetzelfde.

- Als gelijke dingen worden afgetrokken van gelijke dingen, zijn de resultaten gelijk.

- Dingen die bij elkaar passen, zijn gelijk aan elkaar.

- Het totaal is groter dan een deel.

Postulaten of axioma's

- Er loopt maar één lijn door twee verschillende punten.

- Rechte lijnen kunnen oneindig worden verlengd.

- U kunt een cirkel tekenen met elk middelpunt en elke straal.

- Alle rechte hoeken zijn gelijk.

- Als een rechte lijn twee rechte lijnen kruist, zodat de binnenhoeken van dezelfde zijde samen minder dan twee rechte hoeken vormen, zullen de twee lijnen elkaar aan die zijde kruisen.

Dit laatste postulaat staat bekend als het parallelle postulaat en werd op de volgende manier geherformuleerd: "Voor een punt buiten een lijn kan een enkele parallel aan de gegeven lijn worden getrokken."

Voorbeelden

Vervolgens zullen enkele stellingen van de elementen dienen om eigenschappen van geometrische ruimtes te laten zien waar de vijf postulaten van Euclides vervuld zijn; Bovendien illustreren ze de logisch-deductieve redenering die deze wiskundige gebruikt.

Eerste voorbeeld

Stelling 1.4. (LAL)

Als twee driehoeken twee zijden hebben en de hoek ertussen is gelijk, dan zijn de andere zijden en de andere hoeken gelijk.

Demonstratie

Stel dat ABC en A'B'C 'twee driehoeken zijn met AB = A'B', AC = A'C 'en de hoeken BAC en B'A'C' gelijk zijn. Laten we driehoek A'B'C 'verplaatsen zodat A'B' samenvalt met AB en dat hoek B'A'C 'samenvalt met hoek BAC.

Dus lijn A'C 'valt samen met lijn AC, dus C' valt samen met C. Dan, door postulaat 1, moet lijn BC samenvallen met lijn B'C '. Daarom vallen de twee driehoeken samen en bijgevolg zijn hun hoeken en zijden gelijk.

Tweede voorbeeld

Stelling 1.5. (

Stel dat driehoek ABC gelijke zijden AB en AC heeft.

De driehoeken ABD en ACD hebben dus twee gelijke zijden en de hoeken ertussen zijn gelijk. Dus volgens Proposition 1.4 zijn de hoeken ABD en ACD gelijk.

Derde voorbeeld

Stelling 1.31

U kunt een lijn construeren die parallel loopt aan een lijn die wordt gegeven door een bepaald punt.

Gebouw

Gegeven een lijn L en een punt P, wordt een lijn M door P getrokken en snijdt L.Daarna wordt een lijn N getrokken door P die L snijdt. Nu wordt een lijn N getrokken door P, die M snijdt, een hoek vormen die gelijk is aan degene die L vormt met M.

Bevestiging

N is parallel aan L.

Demonstratie

Stel dat L en N niet evenwijdig zijn en elkaar snijden in een punt A. Laat B een punt zijn in L voorbij A.Laten we de lijn O bekijken die door B en P loopt. Dan snijdt O M met hoeken die samen kleiner zijn dan twee rechte.

Dan moet lijn O met 1,5 lijn L aan de andere kant van M snijden, dus L en O snijden elkaar op twee punten, wat in tegenspraak is met Postulaat 1. Daarom moeten L en N parallel zijn.

Referenties

1. Euclides. Elementen van geometrie. Nationale Autonome Universiteit van Mexico
2. Euclides. De eerste zes boeken en de elfde en twaalfde van Euclides 'elementen
3. Eugenio Filloy Yague. Didactiek en geschiedenis van Euclidische meetkunde, Grupo Editorial Iberoamericano
4. K. Ribnikov. Geschiedenis van de wiskunde. Mir Redactioneel
5. Viloria, N., & Leal, J. (2005) Plane Analytical Geometry. Redactioneel Venezolana CA