- Wat is een homografische functie?
- Gemengde homografische functie
- Zelfs de zoveelste wortel van de homografische functie
- Logaritme van de homografische functie
- Hoe een homografische functie te tekenen?
- Landgoed
- Verticale asymptoot
- Horizontale asymptoot
- Groei-interval
- Verlaag het interval
- Y kruising
- Voorbeelden
- Oefening 1
- Oefening 1.2
- Oefening 2
- Referenties
De functie homografische of rationele ng is een soort wiskundige functie die bestaat uit polynoomverdeling van twee componenten. Het gehoorzaamt de vorm P (x) / Q (x), waarbij Q (x) geen nulvorm kan aannemen.
De uitdrukking (2x - 1) / (x + 3) komt bijvoorbeeld overeen met een homografische functie met P (x) = 2x - 1 en Q (x) = x + 3.
Bron: pixabay.com
De homografische functies vormen een studiegedeelte van de analytische functies en worden behandeld vanuit de grafische benadering en vanuit de studie van het domein en het bereik. Dit komt door de beperkingen en gronden die op uw besluiten moeten worden toegepast.
Wat is een homografische functie?
Het zijn rationele uitdrukkingen van een enkele variabele, hoewel dit niet betekent dat er geen vergelijkbare uitdrukking is voor twee of meer variabelen, waar het al zou zijn in de aanwezigheid van lichamen in de ruimte die dezelfde patronen volgen als de homografische functie in het vlak.
Ze hebben in sommige gevallen echte wortels, maar het bestaan van verticale en horizontale asymptoten wordt altijd gehandhaafd, evenals intervallen van groei en afname. Gewoonlijk is slechts een van deze trends aanwezig, maar er zijn uitdrukkingen die beide in hun ontwikkeling kunnen laten zien.
Het domein wordt beperkt door de wortels van de noemer, aangezien er geen deling door nul is van reële getallen.
Gemengde homografische functie
Ze komen zeer vaak voor bij de berekening, vooral differentieel en integraal, omdat ze nodig zijn om onder bepaalde formules af te leiden en anti-afgeleid te zijn. Enkele van de meest voorkomende worden hieronder vermeld.
Zelfs de zoveelste wortel van de homografische functie
Sluit alle elementen van het domein uit die het argument negatief maken. De wortels die in elk polynoom aanwezig zijn, geven bij evaluatie een waarde van nul.
Deze waarden worden door de radicaal geaccepteerd, hoewel de fundamentele beperking van de homografische functie moet worden overwogen. Waar Q (x) geen null-waarden kan ontvangen.
De oplossingen van de intervallen moeten worden onderschept:
Om de oplossing van de kruispunten te bereiken, kan onder meer de tekenmethode worden gebruikt.
Logaritme van de homografische functie
Het is ook gebruikelijk om beide uitdrukkingen in één te vinden, naast andere mogelijke combinaties.
Hoe een homografische functie te tekenen?
Homografische functies komen grafisch overeen met hyperbolen in het vlak. Die horizontaal en verticaal worden getransporteerd volgens de waarden die de polynomen definiëren.
Er zijn verschillende elementen die we moeten definiëren om een rationele of homografische functie te tekenen.
Landgoed
De eerste zijn de wortels of nullen van de functies P en Q.
De bereikte waarden worden weergegeven op de x-as van de grafiek. Geeft de snijpunten van de grafiek met de as aan.
Verticale asymptoot
Ze komen overeen met verticale lijnen, die de grafiek afbakenen volgens de trends die ze presenteren. Ze raken de x-as bij de waarden die de noemer nul maken en zullen nooit worden aangeraakt door de grafiek van de homografische functie.
Horizontale asymptoot
Vertegenwoordigd door een horizontale steeklijn, markeert het een limiet waarvoor de functie niet op het exacte punt zal worden gedefinieerd. Trends zullen voor en na deze lijn worden waargenomen.
Om het te berekenen, moeten we onze toevlucht nemen tot een methode die vergelijkbaar is met de methode van L'Hopital, die wordt gebruikt om limieten van rationele functies op te lossen die naar oneindig neigen. We moeten de coëfficiënten van de hoogste machten nemen in de teller en noemer van de functie.
De volgende uitdrukking heeft bijvoorbeeld een horizontale asymptoot op y = 2/1 = 2.
Groei-interval
Bij de ordinaatwaarden zijn trends in de grafiek gemarkeerd vanwege de asymptoten. In het geval van groei zal de functie in waarden toenemen naarmate de elementen van het domein van links naar rechts worden geëvalueerd.
Verlaag het interval
De ordinaatwaarden zullen afnemen naarmate de domeinelementen van links naar rechts worden geëvalueerd.
De sprongen die in de waarden worden gevonden, worden niet in aanmerking genomen als stijgingen of dalingen. Dit gebeurt wanneer de grafiek dicht bij een verticale of horizontale asymptoot staat, waarbij de waarden kunnen variëren van oneindig tot negatief oneindig en vice versa.
Y kruising
Door de waarde van x op nul te zetten, vinden we het snijpunt met de ordinaatas. Dit zijn zeer nuttige gegevens om de grafiek van de rationale functie te verkrijgen.
Voorbeelden
Definieer de grafiek van de volgende uitdrukkingen, zoek hun wortels, verticale en horizontale asymptoten, intervallen van toename en afname en snijpunt met de ordinaatas.
Oefening 1
De uitdrukking heeft geen wortels, omdat deze een constante waarde heeft in de teller. De toe te passen beperking is x verschillend van nul. Met horizontale asymptoot op y = 0 en verticale asymptoot op x = 0. Er zijn geen snijpunten met de y-as.
Er wordt opgemerkt dat er geen groei-intervallen zijn, zelfs niet met de sprong van minus naar plus oneindig op x = 0.
Het verlagingsinterval is
ID: (-∞; o) U (0, ∞)
Oefening 1.2
Er worden 2 polynomen waargenomen zoals in de oorspronkelijke definitie, dus we gaan verder volgens de vastgestelde stappen.
De gevonden wortel is x = 7/2, wat resulteert uit het instellen van de functie gelijk aan nul.
De verticale asymptoot bevindt zich op x = - 4, de waarde die door de rationele functieconditie van het domein wordt uitgesloten.
De horizontale asymptoot bevindt zich op y = 2, dit na 2/1 delen, de coëfficiënten van de variabelen van graad 1.
Het heeft een y-snijpunt = - 7/4. Waarde gevonden na het gelijkstellen van x aan nul.
De functie groeit constant, met een sprong van plus naar min oneindig rond de wortel x = -4.
Het groei-interval is (-∞, - 4) U (- 4, ∞).
Wanneer de waarde van x min oneindig nadert, neemt de functie waarden dicht bij 2. Hetzelfde gebeurt wanneer x meer oneindig nadert.
De uitdrukking nadert plus oneindig bij evaluatie naar - 4 van links, en minus oneindig bij evaluatie naar - 4 vanaf rechts.
Oefening 2
De grafiek van de volgende homografische functie wordt waargenomen:
Beschrijf zijn gedrag, wortels, verticale en horizontale asymptoten, groei- en afname-intervallen en kruising met de ordinaatas.
De noemer van de uitdrukking vertelt ons door het verschil in kwadraten (x + 1) (x - 1) de waarden van de wortels te ontbinden. Op deze manier kunnen beide verticale asymptoten worden gedefinieerd als:
x = -1 en x = 1
De horizontale asymptoot komt overeen met de abscis-as omdat het hoogste vermogen in de noemer zit.
De enige root wordt gedefinieerd door x = -1/3.
De uitdrukking neemt altijd af van links naar rechts. Het nadert nul wanneer het oneindig nadert. Min oneindig als u -1 van links nadert. Een plus oneindig als het -1 nadert van rechts. Minder oneindig als je 1 van links nadert en meer oneindig als je 1 van rechts nadert.
Referenties
- Benadering met rationele functies. Donald J. Newman. American Mathematical Soc., 31 december. 1979
- Orthogonale rationele functies. UNIVERSIDAD DE LA LAGUNA TENERIFE ADHEMAR BULTHEEL, Adhemar Bultheel, Pablo Gonzalez-Vera, Erik Hendriksen, Olav Njastad. Cambridge University Press, 13 februari. 1999
- Rationele benadering van werkelijke functies. PP Petroesjev, Vasil Atanasov Popov. Cambridge University Press, 3 maart. 2011
- Algebraïsche functies. Gilbert Ames Bliss. Courier Corporation, 1 januari 2004
- Journal of the Spanish Mathematical Society, Volumes 5-6. Spaanse Mathematical Society, Madrid 1916