- Definitie
- Gevallen
- Zaak 1
- Voorbeeld
- Geval 2
- Voorbeeld
- Geval 3
- Voorbeeld
- Geval 4
- Voorbeeld
- Toepassingen
- Integrale calculus
- voorbeeld 1
- Voorbeeld 2
- Voorbeeld 3
- Wet van massa-actie
- Voorbeeld
- Differentiaalvergelijkingen: logistieke vergelijking
- Voorbeeld
- Referenties
De deelfracties zijn fracties gevormd door polynomen, waarbij de noemer een lineaire of kwadratische polynoom kan zijn en ook kan worden verhoogd tot een macht. Soms, als we rationale functies hebben, is het erg handig om deze functie te herschrijven als een som van deelfracties of enkelvoudige breuken.
Dit komt omdat we op deze manier deze functies op een betere manier kunnen manipuleren, vooral in gevallen waarin het nodig is om de genoemde applicatie te integreren. Een rationele functie is gewoon het quotiënt tussen twee polynomen, en ze kunnen juist of onjuist zijn.
Als de graad van de polynoom van de teller kleiner is dan de noemer, wordt dit een rationele eigen functie genoemd; anders staat het bekend als een onjuiste rationele functie.
Definitie
Als we een onjuiste rationale functie hebben, kunnen we de polynoom van de teller delen door de polynoom van de noemer en zo de breuk p (x) / q (x) herschrijven, volgens het deelalgoritme als t (x) + s (x) / q (x), waarbij t (x) een polynoom is en s (x) / q (x) een juiste rationale functie.
Een deelfractie is elke eigenlijke functie van polynomen, waarvan de noemer de vorm heeft (ax + b) n of (ax 2 + bx + c) n , als de polynoom ax 2 + bx + c geen echte wortels heeft en n een getal is natuurlijk.
Om een rationale functie in partiële breuken te herschrijven, is het eerste wat je moet doen de noemer q (x) factoriseren als een product van lineaire en / of kwadratische factoren. Zodra dit is gebeurd, worden de deelfracties bepaald, die afhankelijk zijn van de aard van deze factoren.
Gevallen
We beschouwen verschillende gevallen afzonderlijk.
Zaak 1
De factoren van q (x) zijn allemaal lineair en geen enkele wordt herhaald. Het is te zeggen:
q (X) = (een 1 X + b 1 ) (een 2 X + b 2 )… (een s X + b s )
Geen enkele lineaire factor is identiek aan een andere. Wanneer dit geval zich voordoet, zullen we schrijven:
p (X) / q (X) = EEN 1 / (een 1 X + b 1 ) + A 2 / (een 2 X + b 2 )… + EEN s / (een s X + b s ).
Waar A 1 , A 2 ,…, A s de constanten zijn die gevonden kunnen worden.
Voorbeeld
We willen de rationele functie ontleden in eenvoudige breuken:
(x - 1) / (x 3 + 3x 2 + 2x)
We gaan verder met het ontbinden van de noemer, dat wil zeggen:
x 3 + 3x 2 + 2x = x (x + 1) (x + 2)
Vervolgens:
(x - 1) / (x 3 + 3x 2 + 2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)
(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)
Door het kleinste gemene veelvoud toe te passen, kan worden verkregen dat:
X - 1 = EEN (X + 1) (X + 2) + B (X + 2) X + C (X + 1) X.
We willen de waarden van de constanten A, B en C verkrijgen, die kunnen worden gevonden door de wortels te vervangen die elk van de termen annuleren. Als we 0 vervangen door x, hebben we:
0 - 1 = EEN (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.
- 1 = 2A
A = - 1/2.
Vervanging - 1 voor x hebben we:
- 1-1 = A (- 1 + 1) (- 1 + 2) + B (- 1 + 2) (- 1) + C (- 1 + 1) (- 1).
- 2 = - B
B = 2.
Vervanging - 2 voor x hebben we:
- 2 - 1 = EEN (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1) (- 2).
–3 = 2C
C = –3/2.
Op deze manier worden de waarden A = –1/2, B = 2 en C = –3/2 verkregen.
Er is een andere methode om de waarden van A, B en C te verkrijgen. Als aan de rechterkant van de vergelijking x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x we combineren termen, we hebben:
X - 1 = (EEN + B + C) x 2 + (3A + 2B + C) x + 2A.
Aangezien dit een gelijkheid is van veeltermen, moeten de coëfficiënten aan de linkerkant gelijk zijn aan die aan de rechterkant. Dit resulteert in het volgende stelsel vergelijkingen:
A + B + C = 0
3A + 2B + C = 1
2A = - 1
Als we dit stelsel vergelijkingen oplossen, krijgen we de resultaten A = –1/2, B = 2 en C = -3/2.
Ten slotte, als we de verkregen waarden vervangen, hebben we dat:
(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2)).
Geval 2
De factoren van q (x) zijn allemaal lineair en sommige worden herhaald. Stel dat (ax + b) een factor is die "s" tijden herhaalt; dan komt met deze factor de som van de partiële breuken van «s» overeen.
A s / (ax + b) s + A s-1 / (ax + b) s-1 +… + A 1 / (ax + b).
Waarbij A s , A s-1 ,…, A 1 de te bepalen constanten zijn. Met het volgende voorbeeld laten we zien hoe we deze constanten kunnen bepalen.
Voorbeeld
Ontleden in partiële breuken:
(x - 1) / (x 2 (x - 2) 3 )
We schrijven de rationale functie als een som van deelfracties als volgt:
(x - 1) / (x 2 (x - 2) 3 ) = A / x 2 + B / x + C / (x - 2) 3 + D / (x - 2) 2 + E / (x - 2 ).
Vervolgens:
X - 1 = EEN (x - 2) 3 + B (x - 2) 3 x + Cx 2 + D (x - 2) x 2 + E (x - 2) 2 x 2
Als we x vervangen door 2, hebben we dat:
7 = 4C, dat wil zeggen C = 7/4.
Als we 0 vervangen door x, hebben we:
- 1 = –8A of A = 1/8.
Als we deze waarden in de vorige vergelijking vervangen en ontwikkelen, hebben we dat:
x - 1 = 1/8 (x 3 - 6x 2 + 12x - 8) + Bx (x 3 - 6x 2 + 12x - 8) + 7 / 4x 2 + Dx 3 - 2Dx 2 + Ex 2 (x 2 - 4x + 4)
x - 1 = (B + E) x 4 + (1/8 - 6B + D - 4E) x 3 + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x 2 + (3/2 - 8B) x - 1.
Door coëfficiënten te vergelijken, verkrijgen we het volgende stelsel vergelijkingen:
B + E = 0;
1 / 8-6B + D-4E = 1;
- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0
3/2 - 8B = 0.
Om het systeem op te lossen, hebben we:
B = 3/16; D = 5/4; E = - 3/16.
Hiervoor moeten we:
(x - 1) / (x 2 (x - 2) 3 ) = (1/8) / x 2 + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2) 3 + (5 / 4) / (x - 2) 2 - (3/16) / (x - 2).
Geval 3
De factoren van q (x) zijn lineair kwadratisch, zonder enige herhaalde kwadratische factoren. In dit geval komt de kwadratische factor (ax 2 + bx + c) overeen met de deelfractie (Ax + B) / (ax 2 + bx + c), waarbij de constanten A en B de te bepalen constanten zijn.
Het volgende voorbeeld laat zien hoe u in dit geval verder moet
Voorbeeld
Ontleed in eenvoudige breuken a (x + 1) / (x 3-1 ).
Eerst gaan we verder met het ontbinden van de noemer, wat ons als resultaat geeft:
(x - 1) = (x - 1) (x + x +1).
We kunnen waarnemen dat (x 2 + x + 1) een onherleidbaar kwadratisch polynoom is; dat wil zeggen, het heeft geen echte wortels. De ontleding in deelfracties is als volgt:
(x + 1) / (x - 1) (x 2 + x +1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x 2 + x +1)
Hieruit verkrijgen we de volgende vergelijking:
X + 1 = (A + B) x 2 + (A - B + C) x + (A - C)
Door gelijkheid van polynomen te gebruiken, verkrijgen we het volgende systeem:
A + B = 0;
A-B + C = 1;
A-C = 1;
Uit dit systeem hebben we dat A = 2/3, B = - 2/3 en C = 1/3. Als vervanging hebben we dat:
(x + 1) / (x - 1) (x 2 + x +1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x 2 + x +1).
Geval 4
Ten slotte is geval 4 het geval waarin de factoren van q (x) lineair en kwadratisch zijn, waarbij enkele van de lineaire kwadratische factoren worden herhaald.
In dit geval, als (ax 2 + bx + c) een kwadratische factor is die "s" keer herhaalt, dan is de deelfractie die overeenkomt met de factor (ax 2 + bx + c):
(A 1 x + B) / (ax 2 + bx + c) +… + (A s-1 x + B s-1 ) / (ax 2 + bx + c) s-1 + (A s x + B s ) / (bijl 2 + bx + c) s
Waarbij de A s , A s-1 ,…, A en B s , B s-1 ,…, B de te bepalen constanten zijn.
Voorbeeld
We willen de volgende rationele functie ontleden in partiële breuken:
(x - 2) / (x (x 2 - 4x + 5) 2 )
Omdat x 2 - 4x + 5 een onherleidbare kwadratische factor is, hebben we dat de ontleding ervan in deelfracties wordt gegeven door:
(x - 2) / (x (x 2 - 4x + 5) 2 ) = A / x + (Bx + C) / (x 2 - 4x +5) + (Dx + E) / (x 2 - 4x + 5) 2
We vereenvoudigen en ontwikkelen:
X - 2 = EEN (x 2 - 4x + 5) 2 + (Bx + C) (x 2 - 4x + 5) x + (Dx + E) x
X - 2 = (A + B) x 4 + (- 8A - 4B + C) x 3 + (26A + 5B - 4C + D) x 2 + (- 40A + 5C + E) x + 25A.
Uit het bovenstaande hebben we het volgende stelsel vergelijkingen:
A + B = 0;
- 8A - 4B + C = 0;
26A + 5B - 4C + D = 0;
- 40A + 5C + E = 1;
25A = 2.
Bij het oplossen van het systeem blijven we over met:
A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 en E = - 3/5.
Door de verkregen waarden te vervangen, hebben we:
(x - 2) / (x (x 2 - 4x + 5) 2 ) = -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (x 2 - 4x +5) + (2x - 3) / 5 (x 2 - 4x + 5) 2
Toepassingen
Integrale calculus
Deelfracties worden voornamelijk gebruikt voor de studie van integraalrekening. Hier zijn enkele voorbeelden van hoe u integralen uitvoert met partiële breuken.
voorbeeld 1
We willen de integraal berekenen van:
We kunnen zien dat de noemer q (x) = (t + 2) 2 (t + 1) bestaat uit lineaire factoren waarbij een van deze wordt herhaald; Dit is waarom we zijn in case 2.
We moeten:
1 / (t + 2) 2 (t + 1) = A / (t + 2) 2 + B / (t + 2) + C / (t + 1)
We herschrijven de vergelijking en we hebben:
1 = EEN (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2) 2
Als t = - 1, hebben we:
1 = EEN (0) + B (1) (0) + C (1)
1 = C
Als t = - 2, geeft het ons:
1 = EEN (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)
A = - 1
Dan, als t = 0:
1 = EEN (1) + B (2) (1) + C (2)
De waarden van A en C vervangen:
1 = - 1 + 2B + 4
1 = 3 + 2B
2B = - 2
Uit het bovenstaande hebben we dat B = - 1.
We herschrijven de integraal als:
We gaan verder met het oplossen door de substitutiemethode:
Dit is het resultaat:
Voorbeeld 2
Los de volgende integraal op:
In dit geval kunnen we aq (x) = x 2 - 4 factoriseren als q (x) = (x - 2) (x + 2). We zijn duidelijk in geval 1. Daarom:
(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)
Het kan ook worden uitgedrukt als:
5x - 2 = EEN (x + 2) + B (x - 2)
Als x = - 2, hebben we:
- 12 = A (0) + B (- 4)
B = 3
En als x = 2:
8 = EEN (4) + B (0)
A = 2
We blijven dus achter met het oplossen van de gegeven integraal is gelijk aan het oplossen van:
Dit geeft ons als resultaat:
Voorbeeld 3
Los de integraal op:
We hebben q (x) = 9x 4 + x 2 , die we kunnen ontbinden in q (x) = x 2 (9x 2 + 1).
Deze keer hebben we een herhaalde lineaire factor en een kwadratische factor; dat wil zeggen, we zijn in geval 3.
We moeten:
1 / x 2 (9x 2 + 1) = A / x 2 + B / x + (Cx + D) / (9x 2 + 1)
1 = EEN (9x 2 + 1) + Bx (9x 2 + 1) + Cx 2 + Dx 2
Door gelijke polynomen te groeperen en te gebruiken, hebben we:
1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + EEN
A = 1;
B = 0;
9A + D = 0;
9B + C = 0
Van dit stelsel vergelijkingen hebben we:
D = - 9 en C = 0
Op deze manier hebben we:
Door het bovenstaande op te lossen, hebben we:
Wet van massa-actie
Een interessante toepassing van de partiële breuken toegepast op de integraalrekening is te vinden in de chemie, meer bepaald in de wet van massaactie.
Stel dat we twee stoffen hebben, A en B, die samenkomen en een stof C vormen, zodat de afgeleide van de hoeveelheid C naar tijd evenredig is met het product van de hoeveelheden A en B op een bepaald moment.
We kunnen de wet van massa-actie als volgt uitdrukken:
In deze uitdrukking is α het aanvankelijke aantal gram dat overeenkomt met A en β het aanvankelijke aantal gram dat overeenkomt met B.
Verder staan r en s voor het aantal grammen van A en B dat samengaat om r + s gram van C te vormen. X staat voor het aantal gram van stof C op tijdstip t, en K is de evenredigheidsconstante. De bovenstaande vergelijking kan worden herschreven als:
De volgende wijziging aanbrengen:
We hebben dat de vergelijking wordt:
Uit deze uitdrukking kunnen we verkrijgen:
Waar als a ≠ b, partiële breuken kunnen worden gebruikt voor integratie.
Voorbeeld
Neem bijvoorbeeld een stof C die ontstaat door het combineren van een stof A met een B, zodanig dat aan de massawet wordt voldaan waarbij de waarden van a en b respectievelijk 8 en 6 zijn. Geef een vergelijking die ons de waarde van grammen C geeft als functie van de tijd.
Als we de waarden in de gegeven massawet vervangen, hebben we:
Bij het scheiden van variabelen hebben we:
Hier kan 1 / (8 - x) (6 - x) als volgt worden geschreven als de som van deelfracties:
Dus 1 = A (6 - x) + B (8 - x)
Als we x vervangen door 6, hebben we B = 1/2; en als we x vervangen door 8, hebben we A = - 1/2.
Integreren door partiële breuken hebben we:
Dit geeft ons als resultaat:
Differentiaalvergelijkingen: logistieke vergelijking
Een andere toepassing die aan partiële breuken kan worden gegeven, is in de logistieke differentiaalvergelijking. In eenvoudige modellen hebben we dat de groeisnelheid van een populatie evenredig is met de grootte; Het is te zeggen:
Dit geval is een ideaal en wordt als realistisch beschouwd totdat het gebeurt dat de beschikbare middelen in een systeem onvoldoende zijn om de bevolking te ondersteunen.
In deze situaties is het redelijkste om te denken dat er een maximale capaciteit is, die we L zullen noemen, die het systeem kan ondersteunen, en dat de groeisnelheid evenredig is met de omvang van de bevolking vermenigvuldigd met de beschikbare omvang. Dit argument leidt tot de volgende differentiaalvergelijking:
Deze uitdrukking wordt de logistische differentiaalvergelijking genoemd. Het is een scheidbare differentiaalvergelijking die kan worden opgelost met de partiële breukintegratiemethode.
Voorbeeld
Een voorbeeld zou zijn om een populatie te beschouwen die groeit volgens de volgende logistische differentiaalvergelijking y '= 0,0004y (1000 - y), waarvan de initiële gegevens 400 zijn. We willen de grootte van de populatie op tijdstip t = 2 weten, waarbij t wordt gemeten in jaren.
Als we y 'schrijven met de notatie van Leibniz als een functie die afhangt van t, hebben we:
De integraal aan de linkerkant kan worden opgelost met behulp van de partiële breukintegratiemethode:
We kunnen deze laatste gelijkheid als volgt herschrijven:
- Als we y = 0 vervangen, hebben we dat A gelijk is aan 1/1000.
- Als je y = 1000 vervangt, hebben we dat B gelijk is aan 1/1000.
Met deze waarden is de integraal als volgt:
De oplossing is:
Met behulp van de initiële gegevens:
Bij het opruimen en we hebben:
Dan hebben we dat op t = 2:
Concluderend, na 2 jaar is de populatiegrootte ongeveer 597,37.
Referenties
- A, RA (2012). Wiskunde 1. Universidad de los Andes. Publicaties Raad.
- Cortez, I., & Sanchez, C. (zd). 801 Opgeloste integralen. Nationale experimentele universiteit van Tachira.
- Leithold, L. (1992). De berekening met analytische meetkunde. HARLA, SA
- Purcell, EJ, Varberg, D., en Rigdon, SE (2007). Berekening. Mexico: Pearson Education.
- Saenz, J. (nd). Integrale calculus. Hypotenusa.