FACTORING: METHODEN EN VOORBEELDEN - WISKUNDE - 2025

De factorisatie is een methode waarmee een polynoom wordt uitgedrukt als vermenigvuldigingsfactoren, die kunnen bestaan ​​uit cijfers of letters of beide. Om te factoriseren, worden de factoren die gemeenschappelijk zijn voor de termen gegroepeerd, en op deze manier wordt het polynoom opgesplitst in verschillende polynomen.

Dus als de factoren met elkaar worden vermenigvuldigd, is het resultaat het oorspronkelijke polynoom. Factoring is een zeer nuttige methode wanneer u algebraïsche uitdrukkingen heeft, omdat het kan worden omgezet in de vermenigvuldiging van verschillende eenvoudige termen; bijvoorbeeld: 2a ² + 2ab = 2a _* (a + b).

Er zijn gevallen waarin een polynoom niet kan worden meegerekend omdat er geen gemeenschappelijke factor is tussen de termen; dus deze algebraïsche uitdrukkingen zijn alleen deelbaar door zichzelf en door 1. Bijvoorbeeld: x + y + z.

In een algebraïsche uitdrukking is de gemene deler de grootste gemene deler van de termen waaruit het bestaat.

Factoring-methoden

Er zijn verschillende factormethoden die afhankelijk van het geval worden toegepast. Enkele hiervan zijn als volgt:

Factoring door gemeenschappelijke factor

Bij deze methode worden de gemeenschappelijke factoren geïdentificeerd; dat wil zeggen, degenen die worden herhaald in de termen van de uitdrukking. Vervolgens wordt de distributieve eigenschap toegepast, wordt de grootste gemene deler genomen en is de factoring voltooid.

Met andere woorden, de gemeenschappelijke factor van de uitdrukking wordt geïdentificeerd en elke term wordt erdoor gedeeld; De resulterende termen worden vermenigvuldigd met de grootste gemene deler om de factorisatie uit te drukken.

voorbeeld 1

Factor (b ² x) + (b ² y).

Oplossing

Zoek eerst de gemeenschappelijke factor van elke term, in dit geval b ² , en deel de termen vervolgens als volgt door de gemeenschappelijke factor:

(b ² x) / b ² = x

(b ² y) / b ² = y.

De factorisatie wordt uitgedrukt door de gemeenschappelijke factor te vermenigvuldigen met de resulterende termen:

(b ² X) + (b ² Y) = b ² (X + Y).

Voorbeeld 2

Factor (2a ² b ³ ) + (3ab ² ).

Oplossing

In dit geval hebben we twee factoren die in elke term worden herhaald, namelijk "a" en "b", en die worden verheven tot een macht. Om ze te ontbinden, worden de twee termen eerst in hun lange vorm ontleed:

2 _* a _* a _* b _* b _* b + 3a _* b _* b

Het is duidelijk dat factor "a" slechts één keer wordt herhaald in de tweede term, en factor "b" wordt hierin twee keer herhaald; dus in de eerste term blijft er slechts 2 over, een factor "a" en een factor "b"; terwijl er in de tweede termijn nog maar 3 over zijn.

Daarom worden de keren dat "a" en "b" worden herhaald, geschreven en vermenigvuldigd met de resterende factoren van elke term, zoals weergegeven in de afbeelding:

Factoring groeperen

Omdat niet in alle gevallen de grootste gemene deler van een polynoom duidelijk wordt uitgedrukt, is het nodig om andere stappen te ondernemen om de polynoom en dus factor te kunnen herschrijven.

Een van die stappen is om de termen van het polynoom in verschillende groepen te groeperen en vervolgens de gemeenschappelijke factor-methode te gebruiken.

voorbeeld 1

Factor ac + bc + ad + bd.

Oplossing

Er zijn 4 factoren waarvan er twee gemeenschappelijk zijn: in de eerste term is het «c» en in de tweede is het «d». Op deze manier worden de twee termen gegroepeerd en gescheiden:

(ac + bc) + (ad + bd).

Nu is het mogelijk om de gemeenschappelijke-factormethode toe te passen, elke term te delen door zijn gemeenschappelijke factor en die gemeenschappelijke factor vervolgens te vermenigvuldigen met de resulterende termen, als volgt:

(ac + bc) / c = a + b

(ad + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

Nu krijgen we een binominale waarde die voor beide termen gebruikelijk is. Om het te factoriseren, wordt het vermenigvuldigd met de resterende factoren; op die manier moet je:

ac + bc + ad + bd = (c + d) _* (a + b).

Inspectie factoring

Deze methode wordt gebruikt om kwadratische veeltermen te factoreren, ook wel trinomen genoemd; dat wil zeggen, degenen die gestructureerd zijn als ax ² ± bx + c, waarbij de waarde van "a" verschilt van 1. Deze methode wordt ook gebruikt wanneer de trinominale vorm x ² ± bx + c heeft en de waarde van "a" = 1.

voorbeeld 1

Factor x ² + 5x + 6.

Oplossing

We hebben een kwadratische trinominale vorm van x ² ± bx + c. Om het te factoriseren, moet je eerst twee getallen vinden die, wanneer ze worden vermenigvuldigd, als resultaat de waarde van «c» geven (dat wil zeggen, 6) en dat hun som gelijk is aan de coëfficiënt «b», die 5 is. Die getallen zijn 2 en 3 :

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

Op deze manier wordt de uitdrukking als volgt vereenvoudigd:

(x ² + 2x) + (3x + 6)

Elke term wordt in rekening gebracht:

- Voor (x ² + 2x) wordt de algemene term genomen: x (x + 2)

- Voor (3x + 6) = 3 (x + 2)

De uitdrukking is dus:

x (x +2) + 3 (x +2).

Omdat we een binominaal gemeen hebben, vermenigvuldigen we dit met de resterende termen om de uitdrukking te verminderen en moeten we:

x ² + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3).

Voorbeeld 2

Factor 4a ² + 12a + 9 = 0.

Oplossing

We hebben een kwadratisch trinominaal van de vorm ax ² ± bx + cy om het te factoreren, vermenigvuldig de hele uitdrukking met de coëfficiënt van x ² ; in dit geval 4.

4a ² + 12a +9 = 0

4a ² (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 een ² + 12a (4) + 36 = 0

4 ² een ² + 12a (4) + 36 = 0

Nu moeten we twee getallen vinden die, wanneer ze met elkaar worden vermenigvuldigd, als resultaat de waarde "c" geven (die 36 is) en die, wanneer ze worden opgeteld, als resultaat de coëfficiënt van de term "a" geven, die 6 is.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

Op deze manier wordt de uitdrukking herschreven, rekening houdend met het feit dat 4 ² a ² = 4a _* 4a. Daarom is de distributieve eigenschap van toepassing op elke term:

(4a + 6) _* (4a + 6).

Ten slotte wordt de uitdrukking gedeeld door de coëfficiënt van a ² ; dat wil zeggen, 4:

(4e + 6) _* (4e + 6) / 4 = ((4e + 6) / 2) _* ((4e + 6) / 2).

De uitdrukking is als volgt:

4a ² + 12a +9 = (2a +3) _* (2a + 3).

Factoring met opmerkelijke producten

Er zijn gevallen waarin het een zeer lang proces wordt om de polynomen volledig te ontbinden met de bovenstaande methoden.

Dat is de reden waarom een ​​uitdrukking kan worden ontwikkeld met de formules van de opmerkelijke producten en zo wordt het proces eenvoudiger. Tot de meest gebruikte opmerkelijke producten behoren:

- Verschil van twee vierkanten: (a ² - b ² ) = (a - b) _* (a + b)

- Perfect kwadraat van een som: a ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

- Perfect kwadraat van een verschil: a ² - 2ab + b ² = (a - b) ²

- Verschil van twee kubussen: a ³ - b ³ = (ab) _* (a ² + ab + b ² )

- Som van twee blokjes: a ³ - b ³ = (a + b) _* (a ² - ab + b ² )

voorbeeld 1

Factor (5 ² - x ² )

Oplossing

In dit geval is er een verschil van twee vierkanten; daarom is de opmerkelijke productformule van toepassing:

(een ² - b ² ) = (a - b) _* (a + b)

(5 ² - x ² ) = (5 - x) _* (5 + x)

Voorbeeld 2

Factor 16x ² + 40x + 25 ²

Oplossing

In dit geval heb je een perfect kwadraat van een som, omdat je twee termen in het kwadraat kunt identificeren, en de term die overblijft is het resultaat van het vermenigvuldigen van twee met de vierkantswortel van de eerste term, met de vierkantswortel van de tweede term.

een ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

Om alleen de vierkantswortels van de eerste en derde termen te ontbinden, worden berekend:

√ (16x ² ) = 4x

√ (25 ² ) = 5.

Vervolgens worden de twee resulterende termen uitgedrukt, gescheiden door het teken van de bewerking, en wordt het hele polynoom in het kwadraat:

16x ² + 40x + 25 ² = (4x + 5) ² .

Voorbeeld 3

Factor 27a ³ - b ³

Oplossing

De uitdrukking vertegenwoordigt een aftrekking waarin twee factoren in blokjes worden gebracht. Om ze te factoriseren, wordt de formule voor het opmerkelijke product van het verschil in kubussen toegepast, namelijk:

een ³ - b ³ = (ab) _* (een ² + ab + b ² )

Dus om te factoriseren, wordt de kubuswortel van elke term van de binominale term genomen en vermenigvuldigd met het kwadraat van de eerste term, plus het product van de eerste met de tweede term, plus de tweede term in het kwadraat.

27a ³ - b ³

³√ (27a ³ ) = 3a

³√ (-b ³ ) = -b

27a ³ - b ³ = (3a - b) _*

27a ³ - b ³ = (3a - b) _* (9a ² + 3ab + b ² )

Factoring met de regel van Ruffini

Deze methode wordt gebruikt als je een polynoom hebt met een graad groter dan twee, om de uitdrukking te vereenvoudigen tot meerdere veeltermen van mindere graad.

voorbeeld 1

Factor Q (x) = x ⁴ - 9x ² + 4x + 12

Oplossing

Eerst zoeken we naar de getallen die delers zijn van 12, wat de onafhankelijke term is; Dit zijn ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 en ± 12.

Dan wordt de x vervangen door deze waarden, van laag naar hoog, en zo wordt bepaald met welke van de waarden de deling exact zal zijn; dat wil zeggen, de rest moet 0 zijn:

x = -1

Q (-1) = (-1) ⁴ - 9 (-1) ² + 4 (-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 1 ⁴ - 9 (1) ² + 4 (1) + 12 = 8 ≠ 0.

x = 2

Q (2) = 2 ⁴ - 9 (2) ² + 4 (2) + 12 = 0.

En zo verder voor elke deler. In dit geval zijn de gevonden factoren voor x = -1 en x = 2.

Nu wordt de Ruffini-methode toegepast, volgens welke de coëfficiënten van de uitdrukking worden gedeeld door de gevonden factoren, zodat de deling exact is. De polynomiale termen zijn gerangschikt van hoogste naar laagste exponent; in het geval dat een term met de volgende graad ontbreekt in de reeks, wordt daarvoor een 0 geplaatst.

De coëfficiënten bevinden zich in een schema zoals weergegeven in de volgende afbeelding.

De eerste coëfficiënt wordt verlaagd en vermenigvuldigd met de deler. In dit geval is de eerste deler -1 en wordt het resultaat in de volgende kolom geplaatst. Vervolgens wordt de waarde van de coëfficiënt met dat verkregen resultaat verticaal opgeteld en wordt het resultaat eronder geplaatst. Op deze manier wordt het proces herhaald tot de laatste kolom.

Vervolgens wordt dezelfde procedure opnieuw herhaald, maar met de tweede deler (die 2 is) omdat de uitdrukking nog steeds kan worden vereenvoudigd.

Dus voor elke verkregen wortel heeft de polynoom een ​​term (x - a), waarbij "a" de waarde is van de wortel:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

Aan de andere kant moeten deze termen worden vermenigvuldigd met de rest van Ruffini's regel 1: 1 en -6, die factoren zijn die een graad vertegenwoordigen. Op deze manier is de uitdrukking die wordt gevormd: (x ² + x - 6).

Het verkrijgen van het resultaat van de factorisatie van het polynoom door de Ruffini-methode is:

x ⁴ - 9x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x ² + x - 6)

Ten slotte kan de polynoom van graad 2 die in de vorige uitdrukking voorkomt, worden herschreven als (x + 3) (x-2). Daarom is de laatste factorisatie:

x ⁴ - 9x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x + 3) _* (x-2).

Referenties

1. Arthur Goodman, LH (1996). Algebra en trigonometrie met analytische meetkunde. Pearson Education.
2. J, V. (2014). Kinderen leren over het in factoren in kaart brengen van een polynoom.
3. Manuel Morillo, AS (sf). Basis wiskunde met toepassingen.
4. Roelse, PL (1997). Lineaire methoden voor polynoomfactorisatie over eindige velden: theorie en implementaties. Universität Essen.
5. Sharpe, D. (1987). Ringen en ontbinding.