GEMEENSCHAPPELIJKE FACTOR DOOR GROEPERING VAN TERMEN: VOORBEELDEN, OEFENINGEN - WISKUNDE - 2026

De gemeenschappelijke factor bij het groeperen van termen is een algebraïsche procedure waarmee u enkele algebraïsche uitdrukkingen in de vorm van factoren kunt schrijven. Om dit doel te bereiken, moet u de uitdrukking eerst goed groeperen en opmerken dat elke aldus gevormde groep in feite een gemeenschappelijke factor heeft.

Het correct toepassen van de techniek vereist enige oefening, maar binnen de kortste keren heb je het onder de knie. Laten we eerst eens kijken naar een illustratief voorbeeld dat stap voor stap wordt beschreven. Vervolgens kan de lezer toepassen wat hij heeft geleerd in elk van de oefeningen die later zullen verschijnen.

Figuur 1. Door termen te groeperen wordt het werken met algebraïsche uitdrukkingen eenvoudiger. Bron: Pixabay.

Stel dat u de volgende uitdrukking moet ontbinden:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

Deze algebraïsche uitdrukking bestaat uit 4 monomials of termen, gescheiden door + en - tekens, namelijk:

2x ² , 2xy, -3zx, -3zy

Als je goed kijkt, is x gemeenschappelijk voor de eerste drie, maar niet voor de laatste, terwijl y gemeenschappelijk is voor de tweede en vierde, en z voor de derde en vierde.

Dus in principe is er geen gemeenschappelijke factor voor de vier termen tegelijkertijd, maar als ze gegroepeerd zijn zoals in de volgende sectie zal worden getoond, is het mogelijk dat er een verschijnt die helpt om de uitdrukking te schrijven als het product van twee of meer factoren.

Voorbeelden

Factor de uitdrukking: 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

Stap 1 : Groep

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² + 2xy) + (-3zx - 3zy)

Stap 2: Zoek de gemeenschappelijke factor van elke groep

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy =

= (2x ² + 2xy) - (3zx + 3zy) =

= 2x (x + y) - 3z (x + y)

Ik B elangrijke : het minteken is ook een gemeenschappelijke factor waarmee rekening moet worden gehouden.

Merk nu op dat de haakjes (x + y) worden herhaald in de twee termen die zijn verkregen door groepering. Dat is de gemeenschappelijke factor waarnaar werd gezocht.

Stap 3: Factor de hele uitdrukking

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (x + y) (2x - 3z)

Met het vorige resultaat is het doel van factoring bereikt, wat niets anders is dan het transformeren van een algebraïsche uitdrukking op basis van optellingen en aftrekkingen van termen, in het product van twee of meer factoren, in ons voorbeeld, van: (x + y) en (2x - 3z).

Belangrijke vragen over de gemeenschappelijke factor door te groeperen

Vraag 1 : Hoe weet je of het resultaat correct is?

Antwoord : De distributieve eigenschap wordt toegepast op het verkregen resultaat en na verkleining en vereenvoudiging moet de aldus verkregen uitdrukking overeenkomen met het origineel, zo niet, dan is er een fout.

In het vorige voorbeeld werken we omgekeerd met het resultaat, om te controleren of het correct is:

(x + y) (2x - 3z) = 2x ² -3zx + 2xy - 3zy

Aangezien de volgorde van de toevoegingen de som niet verandert, worden na het toepassen van de distributieve eigenschap alle oorspronkelijke termen geretourneerd, inclusief tekens, en daarom is de factorisatie correct.

Vraag 2: Zou het op een andere manier kunnen zijn gegroepeerd?

Antwoord: Er zijn algebraïsche uitdrukkingen die meer dan één groepering mogelijk maken en andere die dat niet doen. In het geselecteerde voorbeeld kan de lezer zelf andere mogelijkheden proberen, bijvoorbeeld als volgt groeperen:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² - 3zx) + (2xy - 3zy)

En u kunt controleren of het resultaat hetzelfde is als hier is verkregen. Het vinden van de optimale groepering is een kwestie van oefenen.

Vraag 3: Waarom is het nodig om een ​​gemeenschappelijke factor uit een algebraïsche uitdrukking te halen?

Antwoord : Omdat er toepassingen zijn waarbij de uitdrukking in factoren berekeningen gemakkelijker maakt. Stel dat u 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy gelijk wilt stellen aan 0. Wat zijn de mogelijkheden?

Om deze vraag te beantwoorden, is de gefactureerde versie qua termen veel nuttiger dan de oorspronkelijke ontwikkeling. Het staat als volgt:

(x + y) (2x - 3z) = 0

Een mogelijkheid dat de uitdrukking 0 waard is, is dat x = -y, ongeacht de waarde van z. En de andere is dat x = (3/2) z, ongeacht de waarde van y.

Opdrachten

- Oefening 1

Extraheer de gemeenschappelijke factor van de volgende uitdrukking door termen te groeperen:

ax + ay + bx + door

Oplossing

De eerste twee zijn gegroepeerd, met de gemeenschappelijke factor "a" en de laatste twee met de gemeenschappelijke factor "b":

ax + ay + bx + door = a (x + y) + b (x + y)

Zodra dit is gebeurd, wordt een nieuwe gemeenschappelijke factor onthuld, namelijk (x + y), zodat:

ax + ay + bx + door = a (x + y) + b (x + y) = (x + y) (a + b)

Een andere manier om te groeperen

Deze uitdrukking ondersteunt een andere manier van groeperen. Laten we eens kijken wat er gebeurt als de termen opnieuw worden gerangschikt en een groep wordt gemaakt met de termen die x bevatten en een andere met de termen die y bevatten:

ax + ay + bx + door = ax + bx + ay + door = x (a + b) + y (a + b)

Op deze manier is de nieuwe gemeenschappelijke factor (a + b):

ax + ay + bx + door = ax + bx + ay + door = x (a + b) + y (a + b) = (x + y) (a + b)

Wat leidt tot hetzelfde resultaat van de eerste groep die werd getest.

- Oefening 2

De volgende algebraïsche uitdrukking moet worden geschreven als het product van twee factoren:

3a ³ - 3a ² b + 9ab ² -a ² + ab-3b ²

Oplossing

Deze uitdrukking bevat 6 termen. Laten we proberen de eerste en vierde, tweede en derde en tenslotte vijfde en zesde te groeperen:

3a ³ - 3a ² b + 9ab ² -a ² + ab-3b ² = (3a ³ -a ² ) + (- 3a ² b + 9ab ² ) + (ab-3b ² )

Nu wordt elk haakje meegerekend:

= (3a ³ -a ² ) + (- 3a ² b + 9ab ² ) + (ab -3b ² ) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b –a) + b (a-3b)

Op het eerste gezicht lijkt het erop dat de situatie gecompliceerd is geweest, maar de lezer moet niet worden ontmoedigd, aangezien we de laatste term gaan herschrijven:

a ² (3a - 1) + 3ab (3b –a) + b (a-3b) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a)

De laatste twee termen hebben nu een gemeenschappelijke factor, namelijk (3b-a), dus ze kunnen worden meegerekend. Het is erg belangrijk om de eerste term a ² (3a - 1) niet uit het oog te verliezen , die als toevoeging alles moet blijven begeleiden, ook als je er niet mee bezig bent:

een ² (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a) = een ² (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b)

De uitdrukking is teruggebracht tot twee termen en een nieuwe gemeenschappelijke factor wordt ontdekt in de laatste, namelijk "b". Nu blijft het:

een ² (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b) = een ² (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1)

De volgende gemeenschappelijke factor die verschijnt is 3a - 1:

een ² (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1) = (3a - 1)

Of als u liever zonder haakjes wilt:

(3a - 1) = (3a - 1) (a ² –ab + 3b ² )

Kan de lezer een andere manier van groeperen vinden die tot hetzelfde resultaat leidt?

Figuur 2. Voorgestelde factoringoefeningen. Bron: F. Zapata.

Referenties

1. Baldor, A. 1974. Elementaire algebra. Culturele Venezolana SA
2. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
3. Belangrijkste gevallen van factoring. Hersteld van: julioprofe.net.
4. UNAM. Basis wiskunde: Factorisatie door termen te groeperen. Faculteit Boekhouding en Administratie.
5. Zill, D. 1984. Algebra en trigonometrie. MacGraw Hill.