DOMEIN EN CONTRA-DOMEIN VAN EEN FUNCTIE (MET VOORBEELDEN) - WISKUNDE - 2026

De begrippen domein en contra-domein van een functie worden vaak onderwezen in calculuscursussen die aan het begin van universitaire graden worden gegeven.

Voordat u het domein en het contra-domein definieert, moet u weten wat een functie is. Een functie f is een wet (regel) van correspondentie tussen de elementen van twee sets.

De set waaruit de elementen worden gekozen, wordt het domein van de functie genoemd, en de set waarnaar deze elementen via f worden verzonden, wordt het contra-domein genoemd.

In de wiskunde wordt een functie met domein A en tellerdomein B aangeduid met de uitdrukking f: A → B.

De vorige uitdrukking zegt dat de elementen van set A naar set B worden gestuurd volgens de correspondentiewet f.

Een functie kent aan elk element van set A een enkel element van set B toe.

Domein en contra-domein

Gegeven een reële functie van een reële variabele f (x), hebben we dat het domein van de functie al die reële getallen zal zijn, zodat, wanneer geëvalueerd in f, het resultaat een reëel getal is.

Over het algemeen is het tegendomein van een functie de verzameling reële getallen R. Het tegendomein wordt ook wel de aankomstset of codomein van de functie f genoemd.

Is het contra-domein van een functie altijd R?

Nee. Zolang de functie niet in detail wordt bestudeerd, wordt de reeks reële getallen R meestal als een contra-domein genomen.

Maar als de functie eenmaal is bestudeerd, kan een geschiktere set als een tegendomein worden genomen, wat een subset van R zal zijn.

De juiste set die in de vorige paragraaf werd genoemd, komt overeen met de afbeelding van de functie.

De definitie van de afbeelding of het bereik van een functie f verwijst naar alle waarden die afkomstig zijn van het evalueren van een element van het domein in f.

Voorbeelden

De volgende voorbeelden illustreren hoe u het domein van een functie en zijn afbeelding kunt berekenen.

voorbeeld 1

Laat f een reële functie zijn, gedefinieerd door f (x) = 2.

Het domein van f is alle reële getallen, zodat, bij evaluatie op f, het resultaat een reëel getal is. Het contra-domein is voorlopig gelijk aan R.

Omdat de gegeven functie constant is (altijd gelijk aan 2), maakt het niet uit welk reëel getal wordt gekozen, aangezien bij het evalueren ervan in f het resultaat altijd gelijk zal zijn aan 2, wat een reëel getal is.

Daarom is het domein van de gegeven functie allemaal reële getallen; dat wil zeggen, A = R.

Nu bekend is dat het resultaat van de functie altijd gelijk is aan 2, hebben we dat de afbeelding van de functie alleen het getal 2 is, daarom kan het tegendomein van de functie opnieuw worden gedefinieerd als B = Img (f) = {twee}.

Daarom f: R → {2}.

Voorbeeld 2

Laat g een reële functie zijn, gedefinieerd door g (x) = √x.

Zolang de afbeelding van g niet bekend is, is het contra-domein van g B = R.

Bij deze functie moet er rekening mee worden gehouden dat de vierkantswortels alleen worden gedefinieerd voor niet-negatieve getallen; dat wil zeggen, voor getallen groter dan of gelijk aan nul. √-1 is bijvoorbeeld geen reëel getal.

Daarom moet het domein van de functie g alle getallen groter dan of gelijk aan nul zijn; dat wil zeggen x ≥ 0.

Daarom A = [0, + ∞).

Om het bereik te berekenen, moet worden opgemerkt dat elk resultaat van g (x), omdat het een vierkantswortel is, altijd groter dan of gelijk aan nul zal zijn. Dat wil zeggen, B = [0, + ∞).

Tot slot g: [0, + ∞) → [0, + ∞).

Voorbeeld 3

Als we de functie h (x) = 1 / (x-1) hebben, hebben we dat deze functie niet gedefinieerd is voor x = 1, omdat we in de noemer nul zouden krijgen en de deling door nul niet gedefinieerd is.

Aan de andere kant zal voor elke andere reële waarde het resultaat een reëel getal zijn. Daarom is het domein allemaal reëel behalve één; dat wil zeggen A = R \ {1}.

Op dezelfde manier kan worden opgemerkt dat de enige waarde die als resultaat niet kan worden verkregen 0 is, aangezien voor een breuk gelijk aan nul de teller nul moet zijn.

Daarom is de afbeelding van de functie de verzameling van alle reële getallen behalve nul, dus wordt B = R \ {0} als een contra-domein genomen.

Tot slot h: R \ {1} → R \ {0}.

Observaties

Het domein en de afbeelding hoeven niet dezelfde set te zijn, zoals aangetoond in voorbeelden 1 en 3.

Wanneer een functie op het cartesische vlak wordt getekend, wordt het domein weergegeven door de X-as en het tegendomein of bereik wordt weergegeven door de Y-as.

Referenties

1. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus wiskunde. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus-wiskunde: een probleemoplossende benadering (2, geïllustreerde red.). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Algebra en trigonometrie met analytische meetkunde. Pearson Education.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 red.). Cengage leren.
5. Leal, JM en Viloria, NG (2005). Plane analytische meetkunde. Mérida - Venezuela: Redactie Venezolana CA
6. Pérez, CD (2006). Voorberekening. Pearson Education.
7. Purcell, EJ, Varberg, D., en Rigdon, SE (2007). Calculus (negende ed.). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Differentiaalrekening met vroege transcendente functies voor Science and Engineering (tweede editie red.). Hypotenusa.
9. Scott, CA (2009). Cartesian Plane Geometry, Part: Analytical Conics (1907) (herdruk red.). Bliksembron.
10. Sullivan, M. (1997). Voorberekening. Pearson Education.