SYNTHETISCHE INDELING: METHODE EN OPGELOSTE OEFENINGEN - WISKUNDE - 2026

De synthetische deling is een eenvoudige manier om een ​​polynoom P (x) te delen in een van de vormen d (x) = x - c. Bijvoorbeeld het polynoom P (x) = (x ⁵ + 3 x ⁴ -7x de normale weergavesnelheid ³ + 2 x ² -8x + 1) kan worden weergegeven als de vermenigvuldiging van twee polynomen eenvoudigste (x + 1) en (x ⁴ + 2 x ³ ).

Het is een erg handig hulpmiddel omdat het ons niet alleen in staat stelt polynomen te delen, maar ook een polynoom P (x) op elk getal c kan evalueren, wat ons op zijn beurt precies vertelt of dat getal een nul is of niet van het polynoom.

Dankzij het deelalgoritme weten we dat als we twee niet-constante veeltermen P (x) en d (x) hebben, er unieke veeltermen q (x) en r (x) zijn zodat het waar is dat P (x) = q (x) d (x) + r (x), waarbij r (x) nul of kleiner is dan q (x). Deze polynomen staan ​​bekend als respectievelijk quotiënt en rest of rest.

In de gevallen dat de polynoom d (x) de vorm x- c heeft, geeft synthetische deling ons een korte manier om uit te vinden wie q (x) en r (x) zijn.

Synthetische verdelingsmethode

Stel dat P (x) = a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 +… + a ₁ x + a ₀ het polynoom dat we willen delen en d (x) = xc de deler. Om te delen door de synthetische deelmethode gaan we als volgt te werk:

1- We schrijven de coëfficiënten van P (x) in de eerste rij. Als een macht van X niet verschijnt, plaatsen we nul als coëfficiënt.

2- In de tweede rij, links van a _{n plaatsen} we c, en we tekenen scheidingslijnen zoals weergegeven in de volgende afbeelding:

3- We verlagen de leidende coëfficiënt naar de derde rij.

In deze uitdrukking b _n-1 = a _n

4- We vermenigvuldigen c met de leidende coëfficiënt b _n-1 en we schrijven het resultaat in de tweede rij, maar één kolom naar rechts.

5- We voegen de kolom toe waar we het vorige resultaat schrijven en we plaatsen het resultaat onder die som; dat wil zeggen, in dezelfde kolom, derde rij.

Bij het optellen hebben we als resultaat _n-1 + c * b _n-1 , die we gemakshalve b _n-2 zullen noemen

6- We vermenigvuldigen c met het vorige resultaat en schrijven het resultaat rechts daarvan in de tweede rij.

7- We herhalen stap 5 en 6 totdat we de coëfficiënt op ₀ hebben bereikt .

8- We schrijven het antwoord; dat wil zeggen, het quotiënt en de rest. Omdat we een polynoom van graad n delen door een polynoom van graad 1, is het quotiënt van graad n-1.

De coëfficiënten van het quotiëntpolynoom zijn de getallen in de derde rij behalve de laatste, die het residuale polynoom of de rest van de deling zijn.

Opgeloste oefeningen

- Voorbeeld 1

Voer de volgende deling uit volgens de synthetische delingsmethode:

(x ⁵ + 3 x ⁴ -7x de normale weergavesnelheid ³ + 2 x ² -8x + 1): (x + 1).

Oplossing

We schrijven eerst de coëfficiënten van het dividend als volgt:

Vervolgens schrijven we c aan de linkerkant, in de tweede rij, samen met de scheidslijnen. In dit voorbeeld c = -1.

We verlagen de leidende coëfficiënt (in dit geval b _n-1 = 1) en vermenigvuldigen deze met -1:

We schrijven het resultaat naar rechts in de tweede rij, zoals hieronder weergegeven:

We voegen de nummers toe in de tweede kolom:

We vermenigvuldigen 2 met -1 en schrijven het resultaat in de derde kolom, tweede rij:

We voegen in de derde kolom toe:

We gaan op dezelfde manier verder totdat we de laatste kolom bereiken:

We hebben dus dat het laatst verkregen getal de rest van de deling is, en de resterende getallen zijn de coëfficiënten van het quotiëntpolynoom. Dit is als volgt geschreven:

Als we willen controleren of het resultaat correct is, volstaat het om te controleren of de volgende vergelijking waar is:

P (x) = q (x) * d (x) + r (x)

We kunnen dus controleren of het verkregen resultaat correct is.

- Voorbeeld 2

Voer de volgende verdeling van polynomen uit door de methode van synthetische delen

(7x ³ -x + 2): (x + 2)

Oplossing

In dit geval hebben we dat de term x ² niet voorkomt, dus schrijven we 0 als de coëfficiënt. Het polynoom zou dus 7x ³ + 0x ² -x + 2 zijn.

We schrijven hun coëfficiënten op een rij, dit is:

We schrijven de waarde van C = -2 aan de linkerkant van de tweede rij en tekenen de scheidingslijnen.

We verlagen de leidende coëfficiënt b _n-1 = 7 en vermenigvuldigen deze met -2, waarbij we het resultaat in de tweede rij naar rechts schrijven.

We voegen toe en gaan verder zoals eerder uitgelegd, totdat we de laatste term bereiken:

In dit geval is de rest r (x) = - 52 en het verkregen quotiënt is q (x) = 7x ² -14x + 27.

- Voorbeeld 3

Een andere manier om synthetische deling te gebruiken is als volgt: stel dat we een polynoom P (x) van graad n hebben en we willen weten wat de waarde is door deze te evalueren op x = c.

Door het deelalgoritme kunnen we de polynoom P (x) op de volgende manier schrijven:

In deze uitdrukking zijn q (x) en r (x) respectievelijk het quotiënt en de rest. Als d (x) = x- c, krijgen we bij het evalueren van c in het polynoom het volgende:

Daarom blijft het alleen om ar (x) te vinden, en we kunnen dit doen dankzij de synthetische verdeling.

Zo hebben we het polynoom P (x) = x ⁷ -9x ⁶ + 19x ⁵ + 12x ⁴ -3x ³ + 19x ² -37x-37 en we weten wat de waarde is door het evalueren van het op x = 5. Hiertoe voeren we de verdeling tussen P (x) en d (x) = x -5 door de synthetische deelmethode:

Zodra de bewerkingen zijn voltooid, weten we dat we P (x) op de volgende manier kunnen schrijven:

P (x) = (x ⁶ -4x ⁵ –x ⁴ + 7x ³ + 32x ² + 179x + 858) * (x-5) + 4253

Daarom moeten we bij het evalueren ervan:

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253

P (5) = 0 + 4253 = 4253

Zoals we kunnen zien, is het mogelijk om synthetische deling te gebruiken om de waarde van een polynoom te vinden door deze te evalueren op c in plaats van simpelweg c te vervangen door x.

Als we P (5) op de traditionele manier zouden proberen te evalueren, zouden we genoodzaakt zijn enkele berekeningen uit te voeren die vaak vervelend worden.

- Voorbeeld 4

Het deelalgoritme voor veeltermen geldt ook voor veeltermen met complexe coëfficiënten en als gevolg daarvan hebben we dat de synthetische deelmethode ook werkt voor dergelijke veeltermen. We zullen hieronder een voorbeeld zien.

We zullen de synthetische delingsmethode gebruiken om aan te tonen dat z = 1+ 2i een nul is van de polynoom P (x) = x ³ + (1 + i) x ² - (1 + 2i) x + (15 + 5i); dat wil zeggen, de rest van de deling P (x) door d (x) = x - z is gelijk aan nul.

We gaan verder zoals eerder: in de eerste rij schrijven we de coëfficiënten van P (x), in de tweede schrijven we z en tekenen we de scheidingslijnen.

We voeren de divisie uit zoals voorheen; dit is:

We kunnen zien dat de rest nul is; daarom concluderen we dat z = 1+ 2i een nul is van P (x).

Referenties

1. Baldor Aurelio. Algebra Grupo Redactie Patria.
2. Demana, Waits, Foley & Kennedy. Precalculus: Graphical, Numerical, Algebraic 7e Ed. Pearson Education.
3. Flemming W & Varserg D. Algebra en trigonometrie met analytische meetkunde. Prentice hal
4. Michael Sullivan. Precalculus 4e Ed. Pearson Education.
5. Rood. Armando O. Algebra 1 6e Ed. Het Atheneum.