DISCRETE KANSVERDELINGEN: KENMERKEN, OEFENINGEN - WISKUNDE - 2025

De discrete kansverdelingen zijn een functie die aan elk element X (S) = {x1, x2, …, xi, …} toekent, waarbij X een discrete willekeurige variabele is gegeven en S de steekproefruimte is, de kans dat genoemde gebeurtenis vindt plaats. Deze functie f van X (S) gedefinieerd als f (xi) = P (X = xi) wordt ook wel de waarschijnlijkheidsmassafunctie genoemd.

Deze massa kansen wordt doorgaans in tabelvorm weergegeven. Omdat X een discrete willekeurige variabele is, heeft X (S) een eindig aantal gebeurtenissen of een telbare oneindigheid. Onder de meest voorkomende discrete kansverdelingen hebben we de uniforme verdeling, de binominale verdeling en de Poisson-verdeling.

kenmerken

De kansverdelingsfunctie moet aan de volgende voorwaarden voldoen:

Bovendien, als X slechts een eindig aantal waarden aanneemt (bijvoorbeeld x1, x2, …, xn), dan wordt p (xi) = 0 als i> ny, daarom wordt de oneindige reeks van voorwaarde b a eindige reeks.

Deze functie vervult ook de volgende eigenschappen:

Laat B een gebeurtenis zijn die is gekoppeld aan de willekeurige variabele X. Dit betekent dat B is opgenomen in X (S). Stel in het bijzonder dat B = {xi1, xi2, …}. Dus:

Met andere woorden, de kans op een gebeurtenis B is gelijk aan de som van de waarschijnlijkheden van de individuele uitkomsten geassocieerd met B.

Hieruit kunnen we concluderen dat als a <b, de gebeurtenissen (X ≤ a) en (a <X ≤ b) elkaar uitsluiten en bovendien is hun vereniging de gebeurtenis (X ≤ b), dus hebben we:

Soorten

Uniforme verdeling over n punten

Er wordt gezegd dat een willekeurige variabele X een verdeling volgt die wordt gekenmerkt door uniform te zijn op n punten als aan elke waarde dezelfde kans wordt toegekend. Zijn waarschijnlijkheidsmassafunctie is:

Stel dat we een experiment hebben dat twee mogelijke uitkomsten heeft, dan kan het de worp zijn van een munt waarvan de mogelijke uitkomsten kop of munt zijn, of de keuze van een geheel getal waarvan het resultaat een even of een oneven getal kan zijn; dit type experiment staat bekend als Bernoulli-tests.

Over het algemeen worden de twee mogelijke uitkomsten succes en mislukking genoemd, waarbij p de kans op succes is en 1-p de kans op mislukking. We kunnen de kans op x successen bepalen in n Bernoulli-tests die onafhankelijk van elkaar zijn met de volgende verdeling.

Binominale distributie

Het is de functie die de kans op het behalen van x successen in n onafhankelijke Bernoulli-tests vertegenwoordigt, waarvan de kans op succes p is. Zijn waarschijnlijkheidsmassafunctie is:

De volgende grafiek geeft de kans-massa-functie weer voor verschillende waarden van de parameters van de binominale verdeling.

De volgende verdeling dankt zijn naam aan de Franse wiskundige Simeon Poisson (1781-1840), die het als limiet van de binominale verdeling verkreeg.

Poisson-verdeling

Een willekeurige variabele X zou een Poisson-verdeling van parameter λ hebben wanneer deze de positieve gehele getallen 0,1,2,3 kan aannemen, … met de volgende waarschijnlijkheid:

In deze uitdrukking is λ het gemiddelde aantal dat overeenkomt met het aantal keren dat de gebeurtenis voorkomt voor elke tijdseenheid, en x is het aantal keren dat de gebeurtenis plaatsvindt.

Zijn waarschijnlijkheidsmassafunctie is:

Hier is een grafiek die de kans-massafunctie voor verschillende waarden van de Poisson-verdelingsparameters weergeeft.

Merk op dat, zolang het aantal successen laag is en het aantal tests uitgevoerd op een binominale verdeling hoog is, we deze verdelingen altijd kunnen benaderen, aangezien de Poisson-verdeling de limiet is van de binominale verdeling.

Het belangrijkste verschil tussen deze twee verdelingen is dat, hoewel de binominale waarde afhangt van twee parameters, namelijk n en p, de Poisson alleen afhangt van λ, wat ook wel de intensiteit van de verdeling wordt genoemd.

Tot dusver hebben we het alleen gehad over kansverdelingen voor gevallen waarin de verschillende experimenten onafhankelijk van elkaar zijn; dat wil zeggen, wanneer het resultaat van het ene niet wordt beïnvloed door een ander resultaat.

Wanneer het voorkomt dat er experimenten zijn die niet onafhankelijk zijn, is de hypergeometrische verdeling erg handig.

Hypergeometrische distributie

Laat N het totale aantal objecten van een eindige verzameling zijn, waarvan we k op de een of andere manier kunnen identificeren, en zo een deelverzameling K vormen, waarvan het complement wordt gevormd door de resterende Nk-elementen.

Als we willekeurig n objecten kiezen, heeft de willekeurige variabele X die het aantal objecten vertegenwoordigt dat in die keuze tot K behoort een hypergeometrische verdeling van parameters N, n en k. Zijn waarschijnlijkheidsmassafunctie is:

De volgende grafiek geeft de kans-massafunctie weer voor verschillende waarden van de parameters van de hypergeometrische verdeling.

Opgeloste oefeningen

Eerste oefening

Stel dat de kans dat een radiobuis (geplaatst in een bepaald type apparatuur) meer dan 500 uur zal werken 0,2 is. Als er 20 buizen worden getest, wat is dan de kans dat precies k hiervan meer dan 500 uur zullen draaien, k = 0, 1,2,…, 20?

Oplossing

Als X het aantal buisjes is dat meer dan 500 uur werkt, gaan we ervan uit dat X een binominale verdeling heeft. Zo

En dus:

Voor k≥11 zijn de kansen kleiner dan 0,001

Zo kunnen we zien hoe de kans dat k van deze meer dan 500 uur werken toeneemt, totdat het zijn maximale waarde bereikt (met k = 4) en dan begint af te nemen.

Tweede oefening

Een munt wordt 6 keer gegooid. Als het resultaat duur is, zullen we zeggen dat het een succes is. Hoe groot is de kans dat er precies twee koppen naar boven komen?

Oplossing

Voor dit geval geldt dat n = 6 en zowel de kans op succes als op falen is p = q = 1/2

Daarom is de kans dat twee koppen worden gegeven (dat wil zeggen, k = 2)

Derde oefening

Wat is de kans om ten minste vier hoofden te vinden?

Oplossing

Voor dit geval hebben we dat k = 4, 5 of 6

Derde oefening

Stel dat 2% van de artikelen die in een fabriek worden geproduceerd, defect is. Zoek de kans P dat er drie defecte items zijn in een steekproef van 100 items.

Oplossing

Voor dit geval zouden we de binominale verdeling voor n = 100 en p = 0,02 kunnen toepassen, met als resultaat:

Omdat p echter klein is, gebruiken we de Poisson-benadering met λ = np = 2. Zo,

Referenties

1. Kai Lai Chung. Elementaire waarschijnlijkheidstheorie met stochastische processen. Springer-Verlag New York Inc.
2. Kenneth.H. Rosen Discrete wiskunde en haar toepassingen. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Paul L. Meyer. Waarschijnlijkheid en statistische toepassingen. SA ALHAMBRA MEXICANA.
4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 opgeloste problemen van discrete wiskunde. McGRAW-HILL.
5. Seymour Lipschutz Ph.D. Theorie en waarschijnlijkheidsproblemen. McGRAW-HILL.