VERSCHIL VAN KUBUSSEN: FORMULES, VERGELIJKINGEN, VOORBEELDEN, OEFENINGEN - WISKUNDE

Het verschil tussen kubussen is een binominale algebraïsche uitdrukking van de vorm a ³ - b ³ , waarbij de termen a en b reële getallen of algebraïsche uitdrukkingen van verschillende typen kunnen zijn. Een voorbeeld van een verschil in kubussen is: 8 - x ³ , aangezien 8 kan worden geschreven als 2 ³ .

Geometrisch kunnen we denken aan een grote kubus, met zijde a, waarvan de kleine kubus met zijde b wordt afgetrokken, zoals geïllustreerd in figuur 1:

Figuur 1. Een verschil in blokjes. Bron: F. Zapata.

Het volume van de resulterende figuur is precies een verschil in kubussen:

V = een ³ - b ³

Om een alternatieve uitdrukking te vinden, wordt opgemerkt dat deze figuur kan worden opgesplitst in drie prisma's, zoals hieronder weergegeven:

Figuur 2. Het verschil in kubussen (links van de gelijkheid) is gelijk aan de som van de deelvolumes (rechts). Bron: F. Zapata.

Een prisma heeft een volume dat wordt bepaald door het product van zijn drie afmetingen: breedte x hoogte x diepte. Op deze manier is het resulterende volume:

V = een ³ - b ³ = een ² .b + b ³ + ab ²

Factor b is gemeenschappelijk aan de rechterkant. Bovendien is het in de bovenstaande afbeelding bijzonder waar dat:

b = (a / 2) ⇒ a = b + b

Daarom kan worden gezegd dat: b = a - b. Dus:

Deze manier om het verschil in kubussen uit te drukken, zal in veel toepassingen zeer nuttig blijken te zijn en zou op dezelfde manier zijn verkregen, zelfs als de zijde van de ontbrekende kubus in de hoek anders was dan b = a / 2.

Merk op dat het tweede haakje sterk lijkt op het opmerkelijke product van het kwadraat van de som, maar de kruisterm wordt niet vermenigvuldigd met 2. De lezer kan de rechterkant uitbreiden om te verifiëren dat een ³ - b ³ inderdaad is verkregen .

Voorbeelden

Er zijn verschillende verschillen in kubussen:

1 - m ⁶

a ⁶ b ³ - 8z ¹² en ⁶

(1/125) .x ⁶ - 27.y ⁹

Laten we ze allemaal eens bekijken. In het eerste voorbeeld kan de 1 worden geschreven als 1 = 1 ³ en wordt de term m ⁶ : (m ² ) ³ . Beide termen zijn perfecte kubussen, daarom is het verschil:

1 - m ⁶ = 1 ³ - (m ² ) ³

In het tweede voorbeeld worden de termen herschreven:

een ⁶ b ³ = (een ² b) ³

8z ¹² y ⁶ = 2 ³ (z ⁴ ) ³ (y ² ) ³ = (2z ⁴ y ² ) ³

Het verschil tussen deze blokjes is: (a ² b) ³ - (2z ⁴ y ² ) ³ .

Ten slotte is de breuk (1/125) (1/5 ³ ), x ⁶ = (x ² ) ³ , 27 = 3 ^3, en y ⁹ = (y ³ ) ³ . Als je dit allemaal in de oorspronkelijke uitdrukking vervangt, krijg je:

(1/125). X ⁶ - 27j ⁹ = ³ - (3j ³ ) ³

Factoring van een verschil in kubussen

Door het verschil in kubussen in rekening te brengen, worden veel algebraïsche bewerkingen vereenvoudigd. Gebruik hiervoor de formule die hierboven is afgeleid:

Figuur 3. Factorisatie van het verschil in kubussen en uitdrukking van een opmerkelijk quotiënt. Bron: F. Zapata.

Nu bestaat de procedure om deze formule toe te passen uit drie stappen:

- In de eerste plaats wordt de kubuswortel van elk van de termen van het verschil verkregen.

- Vervolgens worden de binominale en de trinominale die aan de rechterkant van de formule verschijnen geconstrueerd.

- Ten slotte worden de binominale en de trinominale plaats vervangen om de uiteindelijke factorisatie te verkrijgen.

Laten we het gebruik van deze stappen illustreren met elk van de voorbeelden van kubusverschillen die hierboven zijn voorgesteld, en zo het gefactureerde equivalent verkrijgen.

voorbeeld 1

Factor de uitdrukking 1 - m ⁶ volgens de beschreven stappen. We beginnen met het herschrijven van de uitdrukking als 1 - m ⁶ = 1 ³ - (m ² ) ³ om de respectievelijke kubuswortels van elke term te extraheren:

Vervolgens worden de binominale en de trinominale constructie geconstrueerd:

a = 1

b = m ²

Zo:

een - b = 1 - m ²

(a ² + ab + b ² ) = 1 ² + 1.m ² + (m ² ) ² = 1 + m ² + m ⁴

Ten slotte wordt het vervangen in de formule a ³ - b ³ = (ab) (a ² + ab + b ² ):

1 - m ⁶ = (1 - m ² ) (1 + m ² + m ⁴ )

Voorbeeld 2

Factoriseren:

een ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (een ² b) ³ - (2z ⁴ Y ² ) ³

Omdat dit perfecte kubussen zijn, zijn de kubuswortels onmiddellijk: a ² b en 2z ⁴ en ² , vandaar dat:

- Binominaal: a ² b - 2z ⁴ en ²

- Trinomiaal: (a ² b) ² + a ² b. 2z ⁴ y ² + (een ² b + 2z ⁴ y ² ) ²

En nu is de gewenste factorisatie geconstrueerd:

een ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (een ² b - 2z ⁴ y ² ). =

= (een ² b - 2z ⁴ y ² ).

De factoring is in principe klaar, maar het is vaak nodig om elke term te vereenvoudigen. Vervolgens wordt het opmerkelijke product -vierkant van een som- dat aan het einde verschijnt, ontwikkeld en vervolgens worden soortgelijke termen toegevoegd. Onthoud dat het kwadraat van een som is:

Het opmerkelijke product aan de rechterkant is als volgt ontwikkeld:

(a ² b + 2z ⁴ en ² ) ² = a ⁴ b ² + 4a ² b.z ⁴ en ² + 4z ⁸ en ⁴

Vervanging van de uitbreiding verkregen door de ontbinding van het verschil in kubussen:

een ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (een ² b - 2z ⁴ y ² ). =

Als we tenslotte gelijke termen groeperen en de numerieke coëfficiënten in rekening brengen, die allemaal even zijn, krijgen we:

(een ² b - 2z ⁴ y ² ). = 2 (een ² b - 2z ⁴ y ² ).

Voorbeeld 3

Factoring (1/125) x ⁶ - 27y ⁹ is veel gemakkelijker dan in het vorige geval. Eerst worden de equivalenten van a en van b geïdentificeerd:

a = (1/5) x ²

b = 3j ³

Vervolgens worden ze direct vervangen in de formule:

(1/125). X ⁶ - 27y ⁹ =.

Oefening opgelost

Het verschil tussen kubussen heeft, zoals we al zeiden, een verscheidenheid aan toepassingen in Algebra. Laten we eens kijken:

Oefening 1

Los de volgende vergelijkingen op:

a) x ⁵ - 125 x ² = 0

b) 64 - 729 x ³ = 0

Oplossing voor

Eerst wordt de vergelijking op deze manier verwerkt:

x ² (x ³ - 125) = 0

Aangezien 125 een perfecte kubus is, worden de haakjes geschreven als een verschil in kubussen:

x ² . (x ³ - 5 ³ ) = 0

De eerste oplossing is x = 0, maar we vinden meer als we x ³ - 5 ³ = 0 maken, dan:

x ³ = 5 ³ → x = 5

Oplossing b

De linkerkant van de vergelijking wordt herschreven als 64 - 729 x ³ = 4 ³ - (9x) ³ . Dus:

4 ³ - (9x) ³ = 0

Omdat de exponent hetzelfde is:

9x = 4 → x = 9/4

Oefening 2

Factor de uitdrukking:

(x + y) ³ - (x - y) ³

Oplossing

Deze uitdrukking is een verschil van kubussen, als we in de factorformule opmerken dat:

een = x + y

b = x- y

Vervolgens wordt eerst de binominale structuur geconstrueerd:

een - b = X + Y - (X- Y) = 2y

En nu de trinominale:

een ² + ab + b ² = (X + Y) ² + (X + Y) (xy) + (xy) ²

Er worden opmerkelijke producten ontwikkeld:

Vervolgens moet u soortgelijke termen vervangen en verminderen:

een ² + ab + b ² = X ² + 2xy + Y ² + X ² - Y ² + X ² - 2xy + Y ² = 3x ² + Y ²

Factoring resulteert in:

(X + Y) ³ - (X - Y) ³ = 2y. (3x ² + y ² )

Referenties

Baldor, A. 1974. Algebra. Redactioneel Cultureel Venezolana SA
Stichting CK-12. Som en verschil van blokjes. Hersteld van: ck12.org.
Khan Academy. Factoring van verschillen in kubussen. Hersteld van: es.khanacademy.org.
Wiskunde is leuk geavanceerd. Verschil van twee kubussen. Hersteld van: mathsisfun.com
UNAM. Factoring van een verschil in kubussen. Hersteld van: dcb.fi-c.unam.mx.

VERSCHIL VAN KUBUSSEN: FORMULES, VERGELIJKINGEN, VOORBEELDEN, OEFENINGEN - WISKUNDE - 2026