- Demonstratie
- Voorbeelden
- voorbeeld 1
- Voorbeeld 2
- Voorbeeld 3
- Voorbeeld 4
- Voorbeeld 5
- Voorbeeld 6
- Opgeloste oefeningen
- Oefening 1
- Oefening 2
- Oefening 3
- Oefening 4
- Referenties
Het wordt een ongelijke driehoek- eigenschap genoemd die voldoet aan twee reële getallen die bestaan uit de absolute waarde van hun som is altijd kleiner dan of gelijk aan de som van hun absolute waarden. Deze eigenschap staat ook bekend als de ongelijkheid van Minkowski of driehoekige ongelijkheid.
Deze eigenschap van getallen wordt driehoeksongelijkheid genoemd omdat het bij driehoeken voorkomt dat de lengte van één zijde altijd kleiner of gelijk is aan de som van de andere twee, ook al geldt deze ongelijkheid niet altijd in het gebied van driehoeken.
Figuur 1. De absolute waarde van de som van twee getallen is altijd kleiner dan of gelijk aan de som van hun absolute waarden. (Opgesteld door R. Pérez)
Er zijn verschillende bewijzen van de driehoekige ongelijkheid in reële getallen, maar in dit geval zullen we er een kiezen op basis van de eigenschappen van de absolute waarde en het binominale kwadraat.
Stelling: Voor elk paar getallen a en b behorende tot de reële getallen hebben we:
- a + b - ≤ - a - + - b -
Demonstratie
We beginnen met het eerste lid van de ongelijkheid te beschouwen, dat zal worden gekwadrateerd:
- a + b - ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2 ab + b ^ 2 (vergelijking 1)
In de vorige stap hebben we de eigenschap gebruikt dat elk getal in het kwadraat gelijk is aan de absolute waarde van dat kwadraatgetal, dat wil zeggen: -x- ^ 2 = x ^ 2. De vierkante binominale expansie is ook gebruikt.
Elk getal x is kleiner dan of gelijk aan de absolute waarde. Als het getal positief is, is het gelijk, maar als het getal negatief is, is het altijd kleiner dan een positief getal. In dit geval zijn eigen absolute waarde, dat wil zeggen, er kan worden gesteld dat x ≤ - x -.
Het product (ab) is een getal, daarom geldt dat (ab) ≤ - ab -. Wanneer deze eigenschap wordt toegepast op (Eq. 1), hebben we:
- a + b - ^ 2 = a ^ 2 + 2 (ab) + b ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - ab - + b ^ 2 (vergelijking 2)
Rekening houdend met het feit dat - ab - = - a - b - la (vergelijking 2) als volgt kan worden geschreven:
- a + b - ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - a - b - + b ^ 2 (vergelijking 3)
Maar aangezien we eerder zeiden dat het kwadraat van een getal gelijk is aan de absolute waarde van het kwadraat, kan vergelijking 3 als volgt worden herschreven:
- a + b - ^ 2 ≤ -a- ^ 2 + 2 -a- -b- + -b- ^ 2 (vergelijking 4)
In het tweede lid van de ongelijkheid wordt een opmerkelijk product herkend, dat bij toepassing leidt tot:
- a + b - ^ 2 ≤ (-a- + -b -) ^ 2 (vergelijking 5)
In de vorige uitdrukking moet worden opgemerkt dat de waarden die in beide leden van de ongelijkheid moeten worden gekwadrateerd positief zijn, daarom moet er ook aan worden voldaan dat:
- a + b - ≤ (-a- + -b-) (Vergelijking 6)
De vorige uitdrukking is precies wat u wilde demonstreren.
Voorbeelden
Vervolgens zullen we de driehoekige ongelijkheid bekijken met verschillende voorbeelden.
voorbeeld 1
We nemen de waarde a = 2 en de waarde b = 5, dat wil zeggen, beide positieve getallen, en we kijken of aan de ongelijkheid is voldaan of niet.
- 2 + 5 - ≤ -2- + -5-
- 7 - ≤ -2- + -5-
7 ≤ 2+ 5
Gelijkheid is geverifieerd, daarom is aan de stelling van de driehoeksongelijkheid voldaan.
Voorbeeld 2
De volgende waarden a = 2 en b = -5 worden gekozen, dat wil zeggen een positief getal en het andere negatief, we controleren of aan de ongelijkheid is voldaan.
- 2 - 5 - ≤ -2- + --5-
- -3 - ≤ -2- + --5-
3 ≤ 2 + 5
Aan de ongelijkheid is voldaan, daarom is de driehoekige ongelijkheidsstelling geverifieerd.
Voorbeeld 3
We nemen de waarde a = -2 en de waarde b = 5, dat wil zeggen een negatief getal en het andere positief, we controleren of aan de ongelijkheid is voldaan.
- -2 + 5 - ≤ --2- + -5-
- 3 - ≤ --2- + -5-
3 ≤ 2 + 5
De ongelijkheid is geverifieerd, daarom is aan de stelling voldaan.
Voorbeeld 4
De volgende waarden a = -2 en b = -5 worden gekozen, dat wil zeggen beide negatieve getallen en we controleren of aan de ongelijkheid is voldaan.
- -2 - 5 - ≤ --2- + --5-
- -7 - ≤ --2- + --5-
7 ≤ 2+ 5
Gelijkheid is geverifieerd, daarom is aan de ongelijkheidsstelling van Minkowski voldaan.
Voorbeeld 5
We nemen de waarde a = 0 en de waarde b = 5, dat wil zeggen een getal nul en het andere positief, dan kijken we of aan de ongelijkheid is voldaan of niet.
- 0 + 5 - ≤ -0- + -5-
- 5 - ≤ -0- + -5-
5 ≤ 0+ 5
Gelijkheid is vervuld, daarom is de stelling van de driehoeksongelijkheid geverifieerd.
Voorbeeld 6
We nemen de waarde a = 0 en de waarde b = -7, dat wil zeggen een getal nul en het andere positief, dan kijken we of aan de ongelijkheid is voldaan of niet.
- 0 - 7 - ≤ -0- + --7-
- -7 - ≤ -0- + --7-
7 ≤ 0+ 7
Gelijkheid is geverifieerd, daarom is aan de driehoeksongelijkheidsstelling voldaan.
Opgeloste oefeningen
Geef in de volgende oefeningen geometrisch de driehoeksongelijkheid of Minkowski-ongelijkheid weer voor de getallen a en b.
Het getal a wordt weergegeven als een segment op de X-as, de oorsprong O valt samen met de nul van de X-as en het andere uiteinde van het segment (op punt P) bevindt zich in de positieve richting (naar rechts) van de X-as als een > 0, maar als a <0 zal het in de negatieve richting van de X-as zijn, zoveel eenheden als de absolute waarde aangeeft.
Evenzo wordt het getal b weergegeven als een segment waarvan de oorsprong op punt P ligt. Het andere uiterste, dat wil zeggen, punt Q bevindt zich rechts van P als b positief is (b> 0) en punt Q is -b - eenheden links van P als b <0.
Oefening 1
Maak een grafiek van de ongelijkheid van de driehoek voor a = 5 en b = 3 - a + b - ≤ - a - + - b -, waarbij c = a + b.
Oefening 2
Maak een grafiek van de driehoekige ongelijkheid voor a = 5 en b = -3.
- a + b - ≤ - a - + - b -, waarbij c = a + b.
Oefening 3
Geef grafisch de ongelijkheid van de driehoek weer voor a = -5 en b = 3.
- a + b - ≤ - a - + - b -, waarbij c = a + b.
Oefening 4
Construeer grafisch de driehoekige ongelijkheid voor a = -5 en b = -3.
- a + b - ≤ - a - + - b -, waarbij c = a + b.
Referenties
- E. Whitesitt. (1980) Booleaanse algebra en zijn toepassingen. Redactie Continental CA
- Mícheál O 'Searcoid. (2003) Elements of Abstract Analysis. . Afdeling wiskunde. Hogeschool Dublin, Beldfield, Dublind.
- J. Van Wyk. (2006) Wiskunde en techniek in computerwetenschappen. Instituut voor Computerwetenschappen en Technologie. Nationaal Bureau of Standards. Washington, DC 20234
- Eric Lehman. Wiskunde voor informatica. Google Inc.
- F. Thomson Leighton (1980). Calculus. Departement Wiskunde en het Computer Science and AI Laboratory, Massachussetts Institute of Technology.
- Khan Academy. Driehoeksongelijkheidsstelling. Hersteld van: khanacademy.org
- Wikipedia. Driehoekige ongelijkheid. Hersteld van: es. wikipedia.com