GEDEELTELIJKE AFGELEIDEN: NOTATIE, VOORBEELDEN EN OPGELOSTE OEFENINGEN - WISKUNDE - 2026

De partiële afgeleiden van een functie van verschillende variabelen zijn degene die de mate van verandering van de functie bepalen wanneer een van de variabelen een oneindig kleine variatie heeft, terwijl de andere variabelen ongewijzigd blijven.

Om het idee concreter te maken, stel je het geval van een functie van twee variabelen: z = f (x, y). De partiële afgeleide van de functie f ten opzichte van de variabele x wordt berekend als de gewone afgeleide ten opzichte van x, maar neemt de variabele y alsof deze constant is.

Figuur 1. Functie f (x, y) en zijn partiële afgeleiden ∂ _x f y ∂ _y f op punt P. (uitgewerkt door R. Pérez met geogebra)

Gedeeltelijke afgeleide notatie

De partiële afgeleide bewerking van de functie f (x, y) op de variabele x wordt op een van de volgende manieren weergegeven:

In partiële afgeleiden wordt het symbool ∂ (een soort afgeronde letter d ook wel Jacobi's d genoemd) gebruikt, in tegenstelling tot de gewone afgeleide voor functies met één variabele waarbij de letter d wordt gebruikt voor afgeleide.

In algemene termen resulteert de partiële afgeleide van een multivariate functie, met betrekking tot een van zijn variabelen, in een nieuwe functie in dezelfde variabelen van de oorspronkelijke functie:

∂ _X f (X, Y) = g (X, Y)

∂ _Y f (X, Y) = h (X, Y).

Berekening en betekenis van de partiële afgeleide

Om de mate van verandering of helling van de functie te bepalen voor een specifiek punt (x = a, y = b) in de richting parallel aan de X-as:

1- De functie ∂ _x f (x, y) = g (x, y) wordt berekend , door de gewone afgeleide in de variabele x te nemen en de variabele y vast of constant te laten.

2- Dan wordt de waarde van het punt x = a en y = b vervangen waarin we de veranderingssnelheid van de functie in de x-richting willen weten:

{Helling in de x-richting op het punt (a, b)} = ∂ _x f (a, b).

3- Om de mate van verandering in de y-richting op het coördinaatpunt (a, b) te berekenen, berekent u eerst ∂ _en f (x, y) = h (x, y).

4- Vervolgens wordt het punt (x = a, y = b) vervangen in het vorige resultaat om te krijgen:

{Helling in de y-richting op het punt (a, b)} = ∂ _y f (a, b)

Voorbeelden van partiële afgeleiden

Enkele voorbeelden van partiële afgeleiden zijn als volgt:

voorbeeld 1

Gezien de functie:

f (x, y) = -x ^ 2 - y ^ 2 + 6

Vind de partiële afgeleiden van de functie f ten opzichte van de variabele x en de variabele y.

Oplossing:

∂ xf = -2x

∂ yf = -2j

Merk op dat om de partiële afgeleide van de functie f met betrekking tot de variabele x te berekenen, de gewone afgeleide met betrekking tot x werd uitgevoerd, maar de variabele y werd genomen alsof deze constant was. Evenzo is bij de berekening van de partiële afgeleide van f met betrekking tot y, de variabele x genomen alsof het een constante was.

De functie f (x, y) is een oppervlak dat een paraboloïde wordt genoemd en weergegeven in figuur 1 in okerkleur.

Voorbeeld 2

Zoek de mate van verandering (of helling) van de functie f (x, y) uit Voorbeeld 1, in de richting van de X-as en de Y-as voor het punt (x = 1, y = 2).

Oplossing: Om de hellingen in de x- en y-richtingen op het gegeven punt te vinden, vervangt u eenvoudig de waarden van het punt in de functie ∂ _x f (x, y) en in de functie ∂ _y f (x, y):

∂ _X f (1,2) = -2⋅ 1 = -2

∂ _en f (1,2) = -2⋅ 2 = -4

Figuur 1 toont de raaklijn (in rode kleur) aan de curve bepaald door het snijpunt van de functie f (x, y) met het vlak y = 2, de helling van deze lijn is -2. Figuur 1 toont ook de raaklijn (in groen) aan de curve die het snijpunt van de functie f met het vlak x = 1 definieert; Deze lijn heeft helling -4.

Opdrachten

Oefening 1

Een kegelvormig glas bevat op een gegeven moment water zodat het wateroppervlak straal r en diepte h heeft. Maar het glas heeft een klein gaatje in de bodem waardoor water verloren gaat met een snelheid van C kubieke centimeter per seconde. Bepaal de daalsnelheid vanaf het wateroppervlak in centimeters per seconde.

Oplossing:

Allereerst is het noodzakelijk om te onthouden dat het watervolume op het gegeven moment is:

Volume is een functie van twee variabelen, straal r en diepte h: V (r, h).

Wanneer het volume oneindig klein dV verandert, veranderen ook de straal r van het wateroppervlak en de diepte h van het water volgens de volgende relatie:

dV = ∂ _r V dr + ∂ _h V dh

We gaan verder met het berekenen van de partiële afgeleiden van V met betrekking tot respectievelijk r en h:

∂ _r V = ∂ _r (⅓ π r ^ 2 h) = ⅔ π rh

∂ _h V = ∂ _h (⅓ π r ^ 2 h) = ⅓ π r ^ 2

Verder voldoen de straal r en de diepte h aan de volgende relatie:

Het delen van beide leden door het tijdsverschil dt geeft:

dV / dt = π r ^ 2 (dh / dt)

Maar dV / dt is het volume verloren water per tijdseenheid waarvan bekend is dat het C centimeter per seconde is, terwijl dh / dt de daalsnelheid is van het vrije wateroppervlak, dat v wordt genoemd. Dat wil zeggen, het wateroppervlak daalt op het gegeven moment met een snelheid v (in cm / s) gegeven door:

v = C / (π r ^ 2).

Stel voor een numerieke toepassing dat r = 3 cm, h = 4 cm en de leksnelheid C 3 cm ^ 3 / s is. Dan is de daalsnelheid van het oppervlak op dat moment:

v = 3 / (π 3 ^ 2) = 0,11 cm / s = 1,1 mm / s.

Oefening 2

De stelling van Clairaut-Schwarz stelt dat als een functie continu is in zijn onafhankelijke variabelen en zijn partiële afgeleiden ten opzichte van de onafhankelijke variabelen ook continu zijn, de gemengde afgeleiden van de tweede orde kunnen worden verwisseld. Bekijk deze stelling voor de functie

f (x, y) = x ^ 2 y, dat wil zeggen dat het waar moet zijn dat f _xy f = ∂ _yx f.

Oplossing:

∂ _xy f = ∂ _x (∂ _y f) terwijl ∂ _yx f = ∂ _y (∂ _x f)

∂ _X f = 2 xy; ∂ _Y f = X ^ 2

∂ _xy f = ∂ _X (∂ _Y f) = 2x

∂ _yx f = ∂ _Y (∂ _X f) = 2x

De stelling van Schwarz is bewezen te werken, aangezien de functie f en zijn partiële afgeleiden continu zijn voor alle reële getallen.

Referenties

1. Frank Ayres, J., en Mendelson, E. (2000). Berekening 5ed. Mc Graw Hill.
2. Leithold, L. (1992). De berekening met analytische meetkunde. HARLA, SA
3. Purcell, EJ, Varberg, D., en Rigdon, SE (2007). Berekening. Mexico: Pearson Education.
4. Saenz, J. (2005). Diferentiële calculus. Hypotenusa.
5. Saenz, J. (2006). Integrale calculus. Hypotenusa.
6. Wikipedia. Gedeeltelijk afgeleid. Hersteld van: es.wikipedia.com