- De afgeleide als helling van de raaklijn naar een curve
- De afgeleide als de momentane snelheid van een bewegend object
- Algebraïsche functie
- Bypass regels
- Afgeleide van een constante
- Afgeleide van een macht
- Afgeleide van optellen en aftrekken
- Afgeleid van een product
- Afgeleide van een quotiënt
- Kettingregel
- Referenties
De algebraïsche derivaten bestaan uit de studie van het derivaat in het geval van algebraïsche functies. De oorsprong van het begrip derivaat dateert uit het oude Griekenland. De ontwikkeling van dit idee werd ingegeven door de noodzaak om twee belangrijke problemen op te lossen, een in de natuurkunde en een in de wiskunde.
In de natuurkunde lost de afgeleide het probleem op van het bepalen van de momentane snelheid van een bewegend object. In de wiskunde stelt het je in staat om de raaklijn aan een curve op een bepaald punt te vinden.
Hoewel er echt veel meer problemen zijn die worden opgelost door het gebruik van de afgeleide, evenals de generalisaties ervan, resultaten die kwamen na de introductie van het concept.
De pioniers van differentiaalrekening zijn Newton en Leibniz. Voordat we de formele definitie geven, gaan we het idee erachter ontwikkelen, vanuit wiskundig en fysiek oogpunt.
De afgeleide als helling van de raaklijn naar een curve
Stel dat de grafiek van een functie y = f (x) een continue grafiek is (zonder pieken of hoekpunten of gaten), en laat A = (a, f (a)) daarop een vast punt zijn. We willen de vergelijking vinden van de lijn die raakt aan de grafiek van de functie f op punt A.
Laten we een willekeurig ander punt P = (x, f (x)) op de grafiek nemen, dichtbij punt A, en de secanslijn tekenen die door A en P gaat. Een secanslijn is een lijn die de grafiek van een curve met één doorsnijdt of meer punten.
Om de gewenste raaklijn te verkrijgen, hoeven we alleen de helling te berekenen, aangezien we al een punt op de lijn hebben: punt A.
Als we punt P langs de grafiek verplaatsen en steeds dichter bij punt A komen, zal de eerder genoemde secanslijn de raaklijn die we willen vinden naderen. Door de limiet te nemen wanneer "P naar A neigt", zullen beide lijnen samenvallen, dus ook hun hellingen.
De helling van de secanslijn wordt gegeven door
Zeggen dat P A nadert is gelijk aan zeggen dat "x" "a" nadert. De helling van de raaklijn aan de grafiek van f op punt A is dus gelijk aan:
De bovenstaande uitdrukking wordt aangeduid met f '(a), en wordt gedefinieerd als de afgeleide van een functie f op het punt “a”. We zien daarom dat analytisch gezien de afgeleide van een functie op een punt een limiet is, maar geometrisch gezien de helling van de raaklijn naar de grafiek van de functie op dat punt.
Nu zullen we dit idee bekijken vanuit het oogpunt van fysica. We zullen tot dezelfde uitdrukking van de vorige limiet komen, zij het via een ander pad, en zo de unanimiteit van de definitie verkrijgen.
De afgeleide als de momentane snelheid van een bewegend object
Laten we eens kijken naar een kort voorbeeld van wat instantane snelheid betekent. Als er bijvoorbeeld wordt gezegd dat een auto om een bestemming te bereiken dat deed met een snelheid van 100 km per uur, wat betekent dat hij in een uur 100 km heeft afgelegd.
Dit betekent niet noodzakelijk dat de auto gedurende het hele uur altijd 100 km heeft gereden, de snelheidsmeter van de auto kan op sommige momenten minder of meer aangeven. Als je voor een stoplicht moest stoppen, was je snelheid op dat moment 0 km. Na een uur was de reis echter 100 km.
Dit is wat bekend staat als gemiddelde snelheid en wordt gegeven door het quotiënt van de afgelegde afstand en de verstreken tijd, zoals we zojuist hebben gezien. De momentane snelheid daarentegen is degene die op een bepaald moment (tijd) de naald van de snelheidsmeter van een auto markeert.
Laten we hier nu meer in het algemeen naar kijken. Stel dat een object langs een lijn beweegt en dat deze verplaatsing wordt weergegeven door de vergelijking s = f (t), waarbij de variabele t de tijd meet en de variabele s de verplaatsing, rekening houdend met het begin ervan in het moment t = 0, op welk tijdstip het ook nul is, dat wil zeggen f (0) = 0.
Deze functie f (t) staat bekend als de positiefunctie.
Er wordt een uitdrukking gezocht voor de momentane snelheid van het object op een vast moment "a". Bij deze snelheid zullen we het aanduiden met V (a).
Laat t elk moment in de buurt van instant "a" zijn. In het tijdsinterval tussen "a" en "t" wordt de verandering in de positie van het object gegeven door f (t) -f (a).
De gemiddelde snelheid in dit tijdsinterval is:
Dat is een benadering van de momentane snelheid V (a). Deze benadering zal beter zijn naarmate t dichter bij "a" komt. Dus,
Merk op dat deze uitdrukking dezelfde is als die in het vorige geval, maar vanuit een ander perspectief. Dit is wat bekend staat als de afgeleide van een functie f op een punt "a" en wordt aangeduid met f '(a), zoals hierboven vermeld.
Merk op dat het maken van de wijziging h = xa, we hebben dat wanneer "x" neigt naar "a", "h" neigt naar 0, en de vorige limiet wordt getransformeerd (equivalent) naar:
Beide uitdrukkingen zijn equivalent, maar soms is het beter om de ene te gebruiken in plaats van de andere, afhankelijk van het geval.
De afgeleide van een functie f op elk punt "x" behorende tot zijn domein wordt dan op een meer algemene manier gedefinieerd als
De meest gebruikelijke notatie om de afgeleide van een functie y = f (x) weer te geven, is degene die we zojuist hebben gezien (f 'of y'). Een andere veelgebruikte notatie is echter de notatie van Leibniz, die wordt weergegeven als een van de volgende uitdrukkingen:
Aangezien de afgeleide in wezen een limiet is, kan deze al dan niet bestaan, aangezien limieten niet altijd bestaan. Als het bestaat, wordt gezegd dat de functie in kwestie op het gegeven punt differentieerbaar is.
Algebraïsche functie
Een algebraïsche functie is een combinatie van polynomen door middel van optellen, aftrekken, producten, quotiënten, machten en radicalen.
Een polynoom is een uitdrukking van de vorm
P n = een n X n + een n-1 X n-1 + een n-2 X n-2 +… + een 2 X 2 + een 1 X + een 0
Waar n is een natuurlijk getal en alle a i , met i = 0,1, …, n, zijn rationale getallen en n ≠ 0. In dit geval wordt gezegd dat de graad van dit polynoom n is.
Hieronder volgen voorbeelden van algebraïsche functies:
Exponentiële, logaritmische en trigonometrische functies zijn hier niet inbegrepen. De afleidingsregels die we hierna zullen zien, zijn geldig voor functies in het algemeen, maar we zullen ons beperken en ze toepassen in het geval van algebraïsche functies.
Bypass regels
Afgeleide van een constante
Geeft aan dat de afgeleide van een constante nul is. Dat wil zeggen, als f (x) = c, dan is f '(x) = 0. De afgeleide van de constante functie 2 is bijvoorbeeld gelijk aan 0.
Afgeleide van een macht
Als f (x) = x n , dan is f '(x) = nx n-1 . De afgeleide van x 3 is bijvoorbeeld 3x 2 . Als gevolg hiervan krijgen we dat de afgeleide van de identiteitsfunctie f (x) = x is f '(x) = 1x 1-1 = x 0 = 1.
Een ander voorbeeld is het volgende: laat f (x) = 1 / x 2 , dan f (x) = x -2 en f '(x) = - 2x -2-1 = -2x -3 .
Deze eigenschap is ook geldige wortels, aangezien wortels rationele krachten zijn en het bovenstaande ook in dat geval kan worden toegepast. De afgeleide van een vierkantswortel wordt bijvoorbeeld gegeven door
Afgeleide van optellen en aftrekken
Als f en g differentieerbare functies zijn in x, dan is de som f + g ook differentieerbaar en is het waar dat (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x).
Evenzo hebben we dat (fg) '(x) = f' (x) -g '(x). Met andere woorden, de afgeleide van een som (aftrekken), is de som (of aftrekken) van de afgeleiden.
Voorbeeld
Als h (x) = x 2 + x-1, dan
h '(x) = (x 2 ) + (x)' - (1) '= 2x + 1-0 = 2x + 1.
Afgeleid van een product
Als f en g differentieerbare functies zijn in x, dan is het product fg ook differentieerbaar in x en dat is waar
(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x).
Hieruit volgt dat als c een constante is en f een differentieerbare functie in x, dan cf ook differentieerbaar is in x en (cf) '(x) = cf' (X).
Voorbeeld
Als f (x) = 3x (x 2 +1), dan
f '(x) = (3x)' (x 2 +1) + (3x) (x 2 +1) '= 3 (x)' (x 2 +1) + 3x
= 3 (1) (x 2 +1) + 3x = 3 (x 2 +1) + 3x (2x) = 3x 2 + 3 + 6x 2
= 9x 2 +3.
Afgeleide van een quotiënt
Als f en g differentieerbaar zijn op x en g (x) ≠ 0, dan is f / g ook differentieerbaar op x, en het is waar dat
Voorbeeld: als h (x) = x 3 / (x 2 -5x), dan
h '(x) = / (x 5 -5x) 2 = / (x 5 -5x) 2 .
Kettingregel
Deze regel maakt het mogelijk om de samenstelling van functies af te leiden. Geef het volgende: als y = f (u) differentieerbaar is bij u, yu = g (x) differentieerbaar is bij x, dan is de samengestelde functie f (g (x)) differentieerbaar bij x, en het is waar dat '= f '(g (x)) g' (x).
Dat wil zeggen, de afgeleide van een samengestelde functie is het product van de afgeleide van de externe functie (externe afgeleide) en de afgeleide van de interne functie (interne afgeleide).
Voorbeeld
Als f (x) = (x 4 -2x) 3 , dan
f '(x) = 3 (x 4 -2x) 2 (x 4 -2x) = 3 (x 4 -2x) 2 (4x 3 -2).
Er zijn ook resultaten voor het berekenen van de afgeleide van de inverse van een functie, evenals generalisatie naar afgeleiden van hogere orde. De toepassingen zijn omvangrijk. Onder hen vallen het nut ervan bij optimalisatieproblemen en maximale en minimale functies op.
Referenties
- Alarcon, S., González, M., & Quintana, H. (2008). Diferentiële calculus. ITG.
- Cabrera, VM (1997). Berekening 4000. Redactioneel Progreso.
- Castaño, HF (2005). Wiskunde voorafgaand aan berekening. Universiteit van Medellin.
- Eduardo, NA (2003). Inleiding tot Calculus. Threshold-edities.
- Fuentes, A. (2016). BASIS WISKUNDE. Een inleiding tot calculus. Lulu.com.
- Purcell, EJ, Rigdon, SE en Varberg, DE (2007). Berekening. Pearson Education.
- Saenz, J. (2005). Differentiaalrekening (tweede ed.). Barquisimeto: Hypotenusa.
- Thomas, GB en Weir, MD (2006). Berekening: verschillende variabelen. Pearson Education.