- Hoe wordt het berekend?
- Kenmerken van de cotangensfunctie
- Verticale asymptoten
- Domein
- Rang
- Frequentie
- Gedrag
- Demonstratie
- Trigonometrisch differentieel bewijs
- Bewijs per definitie van derivaat
- Opgeloste oefeningen
- Oefening 1
- Oefening 2
- Referenties
De afgeleide van de cotangens is gelijk aan het tegenovergestelde van het kwadraat van de cosecans "-Csc 2 ". Deze formule gehoorzaamt per definitie de wetten van de afgeleide en de differentiatie van trigonometrische functies. Het wordt als volgt aangeduid:
d (ctg u) = -csc 2 u. du
Waar "du" de uitdrukking symboliseert die is afgeleid van de argumentfunctie, met betrekking tot de onafhankelijke variabele.
Bron: Pixabay.com
Hoe wordt het berekend?
De procedure om deze derivaten te ontwikkelen is vrij eenvoudig. Het is voldoende om het argument en het type functie dat het vertegenwoordigt, correct te identificeren.
De uitdrukking Ctg (f / g) heeft bijvoorbeeld een deling in zijn argument. Dit vereist een differentiatie met betrekking tot U / V, na het ontwikkelen van de afgeleide van de cotangens.
De cotangens is de reciproque van de tangens. Algebraïsch betekent dit dat:
(1 / tg x) = ctg x
Ctg x = Cos x / Sen x
Het is onjuist om te zeggen dat de cotangensfunctie de "inverse" van de tangens is. Dit komt doordat de inverse tangensfunctie per definitie boogtangens is.
(Tg -1 x) = arctg x
Volgens de trigonometrie van Pythagoras is de cotangens betrokken bij de volgende secties:
Ctg x = (cos x) / (sin x)
Ctg 2 x + 1 = Csc 2 x
Volgens analytische trigonometrie reageert het op de volgende identiteiten:
Ctg (a + b) = (1 - tg a. Tg b) / (tg a + tg b)
Ctg (a - b) = (1 + tg a. Tg b) / (tg a - tg b)
Ctg (2a) = (1 - tg 2 een) / (2tg een)
Kenmerken van de cotangensfunctie
Het is noodzakelijk om verschillende kenmerken van de functie f (x) = ctg x te analyseren om de aspecten te definiëren die nodig zijn om de differentiatie en toepassing ervan te bestuderen.
Verticale asymptoten
De cotangens-functie is niet gedefinieerd op de waarden die de uitdrukking "Senx" nul maken. Vanwege zijn equivalente Ctg x = (cos x) / (sin x), zal het een onbepaaldheid hebben in alle "nπ" met n behorende tot de gehele getallen.
Dat wil zeggen, in elk van deze waarden van x = nπ zal er een verticale asymptoot zijn. Als u van links nadert, neemt de waarde van de cotangens snel af, en als u van rechts nadert, zal de functie oneindig toenemen.
Domein
Het domein van de cotangensfunctie wordt uitgedrukt door de verzameling {x ∈ R / x ≠ nπ, n ∈ Z}. Dit wordt gelezen als "x behorend tot de verzameling reële getallen zodat x verschilt van nπ, waarbij n behoort tot de verzameling gehele getallen".
Rang
Het bereik van de cotangensfunctie is van min tot plus oneindig. Daarom kan worden geconcludeerd dat zijn rang de reeks reële getallen R is.
Frequentie
De cotangensfunctie is periodiek en de periode is gelijk aan π. Op deze manier wordt aan de gelijkheid Ctg x = Ctg (x + nπ) voldaan, waarbij n tot Z behoort.
Gedrag
Het is een vreemde functie, aangezien Ctg (-x) = - Ctg x. Op deze manier is bekend dat de functie een symmetrie vertoont ten opzichte van de coördinatenoorsprong. Het vertoont ook een afname van elk interval tussen 2 opeenvolgende verticale asymptoten.
Het heeft geen maximum- of minimumwaarden, vanwege het feit dat de benaderingen van de verticale asymptoten gedrag vertonen waarbij de functie oneindig toeneemt of afneemt.
De nullen of wortels van de cotangensfunctie staan op oneven veelvouden van π / 2. Dit betekent dat Ctg x = 0 geldt voor waarden in de vorm x = nπ / 2 met n oneven geheel getal.
Demonstratie
Er zijn 2 manieren om de afgeleide van de cotangensfunctie te bewijzen.
Trigonometrisch differentieel bewijs
De afgeleide van de cotangensfunctie van zijn equivalent in sinussen en cosinussen is bewezen.
Het wordt behandeld als de afgeleide van een functie-indeling
Na het afleiden worden de factoren gegroepeerd en het doel is om de Pythagorische identiteiten na te bootsen
De identiteiten vervangen en wederkerigheid toepassen, de uitdrukking
Bewijs per definitie van derivaat
De volgende uitdrukking komt per definitie overeen met de afgeleide. Waar de afstand tussen 2 punten van de functie nul nadert.
Als vervanging voor de cotangens hebben we:
Identiteiten worden toegepast voor de som van argumenten en wederkerigheid
De fractie van de teller wordt traditioneel bediend
Door de tegenovergestelde elementen te elimineren en een gemeenschappelijke factor te nemen, verkrijgen we
Het toepassen van Pythagorische identiteiten en wederkerigheid moeten we wel
De elementen geëvalueerd in x zijn constant met betrekking tot de limiet, daarom kunnen ze het argument hiervan verlaten. Vervolgens worden eigenschappen van trigonometrische limieten toegepast.
De limiet wordt geëvalueerd
Vervolgens wordt het in rekening gebracht totdat de gewenste waarde is bereikt
De afgeleide van de cotangens wordt dus aangetoond als het tegenovergestelde van het kwadraat van de cosecans.
Opgeloste oefeningen
Oefening 1
Definieer op basis van de functie f (x) de uitdrukking f '(x)
De overeenkomstige afleiding wordt toegepast met inachtneming van de kettingregel
Het argument afleiden
Soms is het nodig om wederkerige of trigonometrische identiteiten toe te passen om de oplossingen aan te passen.
Oefening 2
Definieer de differentiële uitdrukking die overeenkomt met F (x)
Volgens de afleidingsformule en met respect voor de kettingregel
Het argument is afgeleid, terwijl de rest hetzelfde blijft
Alle elementen afleiden
Op een traditionele manier de producten van dezelfde basis bedienen
De gelijke elementen worden toegevoegd en de gemeenschappelijke factor wordt eruit gehaald
Borden zijn vereenvoudigd en bediend. Ruimte maken voor de volledig afgeleide uitdrukking
Referenties
- Trigonometrische serie, deel 1. A. Zygmund. Cambridge University Press, 2002
- Calculus van een enkele variabele. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10 november 2008
- Calculus met trigonometrie en analytische meetkunde. John H.Saxon, John Saxon, Frank Wang, Diana Harvey. Saxon Publishers, 1988
- Multivariabele analyse. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13 december. 2010
- Systeemdynamiek: modellering, simulatie en besturing van mechatronische systemen. Dean C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7 maart 2012
- Calculus: wiskunde en modellering. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1 januari 1999