- Akkoordlengte van een cirkel
- String stelling
- Opgeloste snaaroefeningen
- - Oefening 1
- Oplossing
- - Oefening 2
- Oplossing
- Stap 1: verkrijg de canonieke vergelijking van de omtrek
- Stap 2: bepaal de segmenten die in de snaarstelling moeten worden gebruikt
- Referenties
Een akkoord , in vlakke geometrie, is het lijnsegment dat twee punten op een curve verbindt. De lijn die dit segment bevat, is naar verluidt een secanslijn van de curve. Dit is vaak een cirkel, maar akkoorden kunnen zeker op veel andere curven worden getekend, zoals ellipsen en parabolen.
Links in figuur 1 is er een curve waartoe de punten A en B behoren, het akkoord tussen A en B is het groene segment. Aan de rechterkant is een omtrek en een van zijn snaren, omdat het mogelijk is om oneindigheden te tekenen.
Figuur 1. Links het akkoord van een willekeurige curve en rechts het akkoord van een cirkel. Bron: Wikimedia Commons.
In de omtrek is vooral de diameter ervan interessant, ook wel het majeurakkoord genoemd. Het is een akkoord dat altijd het midden van de omtrek bevat en tweemaal de straal meet.
De volgende afbeelding toont de straal, de diameter, een koorde en ook de boog van een omtrek. Elk probleem correct identificeren is belangrijk bij het oplossen van problemen.
Figuur 2. Elementen van de omtrek. Bron: Wikimedia Commons.
Akkoordlengte van een cirkel
We kunnen de lengte van het akkoord in een cirkel berekenen uit figuur 3a en 3b. Merk op dat een driehoek altijd wordt gevormd met twee gelijke zijden (gelijkbenig): segmenten OA en OB, die R meten, de straal van de omtrek. De derde zijde van de driehoek is segment AB, genaamd C, wat precies de lengte van het akkoord is.
Het is nodig om een lijn loodrecht op het akkoord C te tekenen om de hoek θ die bestaat tussen de twee stralen en waarvan de top het middelpunt O van de omtrek is, te halveren. Dit is een centrale hoek - omdat de top het midden is - en de middelloodlijn is ook een secans ten opzichte van de omtrek.
Er worden onmiddellijk twee rechthoekige driehoeken gevormd, waarvan de hypotenusa R meet.Aangezien de middelloodlijn, en daarmee de diameter, het akkoord in twee gelijke delen verdeelt, blijkt dat een van de benen de helft is van C, zoals aangegeven in Figuur 3b.
Uit de definitie van de sinus van een hoek:
sin (θ / 2) = andere been / hypotenusa = (C / 2) / R
Dus:
zonde (θ / 2) = C / 2R
C = 2R zonde (θ / 2)
Figuur 3. De driehoek gevormd door twee stralen en een omtrekakkoord is gelijkbenig (figuur 3), aangezien het twee gelijke zijden heeft. De middelloodlijn verdeelt het in twee rechthoekige driehoeken (Figuur 3b). Bron: opgesteld door F. Zapata.
String stelling
De snaarstelling gaat als volgt:
De volgende afbeelding toont twee akkoorden met dezelfde omtrek: AB en CD, die elkaar snijden in punt P. In het akkoord AB zijn de segmenten AP en PB gedefinieerd, terwijl in het akkoord CD CP en PD zijn gedefinieerd. Dus, volgens de stelling:
AP. PB = CP. P.S.
Figuur 4. De akkoordstelling van een cirkel. Bron: F. Zapata.
Opgeloste snaaroefeningen
- Oefening 1
Een cirkel heeft een akkoord van 48 cm, dat is 7 cm vanaf het midden. Bereken de oppervlakte van de cirkel en de omtrek van de omtrek.
Oplossing
Om de oppervlakte van cirkel A te berekenen, is het voldoende om de straal van de omtrek in het kwadraat te kennen, aangezien het waar is:
A = π.R 2
Nu is de figuur die wordt gevormd met de verstrekte gegevens een rechthoekige driehoek, waarvan de benen respectievelijk 7 en 24 cm zijn.
Figuur 5. Geometrie voor de opgeloste oefening 1. Bron: F. Zapata.
Daarom, om de waarde van R voorbeeld 2 , de stelling van Pythagoras c 2 = a 2 + b 2 wordt direct , aangezien R de hypotenusa van de driehoek:
R 2 = (7 cm) 2 + (24 cm) 2 = 625 cm 2
Het gevraagde gebied is dus:
A = π. 625 cm 2 = 1963,5 cm 2
Met betrekking tot de omtrek of lengte L van de omtrek, wordt deze berekend door:
L = 2π. R
Waarden vervangen:
R = √625 cm 2 = 25 cm
L = 2π. 25 cm = 157,1 cm.
- Oefening 2
Bepaal de lengte van het akkoord van een cirkel waarvan de vergelijking is:
X 2 + Y 2 - 6x - 14y -111 = 0
De coördinaten van het middelpunt van het akkoord staan bekend als P (17/2; 7/2).
Oplossing
Het middelpunt van het akkoord P behoort niet tot de omtrek, maar de eindpunten van het akkoord wel. Het probleem kan worden opgelost met behulp van de snaarstelling die eerder is uitgesproken, maar eerst is het handig om de vergelijking van de omtrek in canonieke vorm te schrijven om de straal R en het middelpunt O te bepalen.
Stap 1: verkrijg de canonieke vergelijking van de omtrek
De canonieke vergelijking van de cirkel met middelpunt (h, k) is:
(xh) 2 + (yk) 2 = R 2
Om het te verkrijgen, moet u vierkanten invullen:
(x 2 - 6x) + (y 2 - 14j) -111 = 0
Merk op dat 6x = 2. (3x) en 14y = 2. (7y), zodat de vorige uitdrukking op deze manier wordt herschreven en ongewijzigd blijft:
(x 2 - 6x + 3 2 -3 2 ) + (y 2 - 14y + 7 2 -7 2 ) -111 = 0
En nu, denkend aan de definitie van opmerkelijk product (ab) 2 = a 2 - 2ab + b 2, kun je schrijven:
(x - 3) 2 - 3 2 + (y - 7) 2 - 7 2 - 111 = 0
= (x - 3) 2 + (y - 7) 2 = 111 + 3 2 + 7 2 → (x - 3) 2 + (y - 7) 2 = 169
De omtrek heeft middelpunt (3,7) en straal R = √169 = 13. De volgende afbeelding toont de grafiek van de omtrek en de akkoorden die in de stelling zullen worden gebruikt:
Figuur 6. Grafiek van de omtrek van de opgeloste oefening 2. Bron: F. Zapata met behulp van de online grafische rekenmachine van Mathway.
Stap 2: bepaal de segmenten die in de snaarstelling moeten worden gebruikt
De te gebruiken segmenten zijn de snaren CD en AB, volgens figuur 6, beide zijn afgesneden op punt P, dus:
CP. PD = AP. PB
Nu gaan we de afstand tussen de punten O en P vinden, aangezien dit ons de lengte van het segment OP geeft. Als we de straal bij deze lengte optellen, hebben we het segment CP.
De afstand d OP tussen twee coördinaatpunten (x 1 , y 1 ) en (x 2 , y 2 ) is:
d OP 2 = OP 2 = (x 2 - x 1 ) 2 + (y 2 - y 1 ) 2 = (3- 17/2) 2 + (7- 7/2) 2 = 121/4 + 49/4 = 170/4
d OP = OP = √170 / 2
Met alle verkregen resultaten, plus de grafiek, construeren we de volgende lijst met segmenten (zie figuur 6):
CO = 13 cm = R
OP = √170 / 2 cm
CP = OP + R = 13 + √170 / 2 cm
PD = OD - OP = 13 - √170 / 2 cm
AP = PB
2.AP = akkoordlengte
Vervanging in de snaarstelling:
CP. PD = AP. PB = = AP 2
= AP 2
253/2 = AP 2
AP = √ (253/2)
De lengte van de string is 2.AP = 2 (√253 / 2) = √506
Kan de lezer het probleem op een andere manier oplossen?
Referenties
- Baldor, A. 2004. Vliegtuig- en ruimtegeometrie met trigonometrie. Publicaciones Cultural SA de CV México.
- C-K12. Lengte van een akkoord. Hersteld van: ck12.org.
- Escobar, J. The Circumference. Hersteld van: matematicas.udea.edu.co.
- Villena, M. Cónicas. Hersteld van: dspace.espol.edu.ec.
- Wikipedia. Touw (geometrie). Hersteld van: es.wikipedia.org.