VIERHOEK: ELEMENTEN, EIGENSCHAPPEN, CLASSIFICATIE, VOORBEELDEN - WISKUNDE - 2026

Een vierhoek is een veelhoek met vier zijden en vier hoekpunten. De tegenoverliggende zijden zijn die welke geen hoekpunten gemeen hebben, terwijl opeenvolgende zijden degene zijn die een gemeenschappelijk hoekpunt hebben.

In een vierhoek delen aangrenzende hoeken één zijde, terwijl tegenoverliggende hoeken geen zijden gemeen hebben. Een ander belangrijk kenmerk van een vierhoek is dat de som van de vier interne hoeken tweemaal de vlakke hoek is, dat wil zeggen 360º of 2π radialen.

Figuur 1. Diverse vierhoeken. Bron: F. Zapata.

Diagonalen zijn de segmenten die een hoekpunt verbinden met zijn tegengestelde en in een bepaalde vierhoek kan een enkele diagonaal worden getekend vanaf elk hoekpunt. Het totale aantal diagonalen in een vierhoek is twee.

Vierhoeken zijn figuren die de mensheid al sinds de oudheid kent. Archeologische vondsten, evenals de constructies die vandaag de dag overleven, getuigen hiervan.

Evenzo blijven de vierhoeken vandaag de dag een belangrijke plaats innemen in ieders dagelijks leven. De lezer vindt dit formulier op het scherm waarop hij de tekst op dit moment leest, op ramen, deuren, auto-onderdelen en talloze andere plaatsen.

Vierhoekige classificatie

Volgens het parallellisme van de tegenoverliggende zijden worden de vierhoeken als volgt geclassificeerd:

1. Trapezium, wanneer er geen parallellisme is en de vierhoek convex is.
2. Trapezium, wanneer er parallellisme is tussen een paar tegenoverliggende zijden.
3. Parallellogram, wanneer de tegenoverliggende zijden twee aan twee evenwijdig zijn.

Figuur 2. Classificatie en subclassificatie van vierhoeken. Bron: Wikimedia Commons.

Soorten parallellogram

Op hun beurt kunnen de parallellogrammen als volgt worden geclassificeerd op basis van hun hoeken en hun zijden:

1. Rechthoek is het parallellogram met zijn vier interne hoeken van gelijke grootte. De binnenhoeken van een rechthoek vormen een rechte hoek (90º).
2. Vierkant, het is een rechthoek waarvan de vier zijden even groot zijn.
3. Rhombus is het parallellogram met zijn vier gelijke zijden, maar verschillende aangrenzende hoeken.
4. Rhomboid, parallellogram met verschillende aangrenzende hoeken.

Trapeze

De trapezium is een convexe vierhoek met twee evenwijdige zijden.

Figuur 3. Bodems, zijkanten, hoogte en mediaan van een trapezium. Bron: Wikimedia Commons.

- In een trapezium worden de parallelle zijden bases genoemd en de niet-parallelle zijden lateralen.

- De hoogte van een trapezium is de afstand tussen de twee bases, dat wil zeggen de lengte van een segment met uiteinden aan de basis en loodrecht daarop. Dit segment wordt ook wel een hoogte van de trapezium genoemd.

- De mediaan is het segment dat de middelpunten van de lateralen verbindt. Aangetoond kan worden dat de mediaan evenwijdig is aan de bases van de trapezium en dat de lengte gelijk is aan het halfjaar van de bases.

- De oppervlakte van een trapezium is de hoogte vermenigvuldigd met de halve som van de bases:

Soorten trapezoïden

-Rechthoekige trapezium : het is degene met een zijde loodrecht op de basis. Deze zijde is tevens de hoogte van het trapezium.

- Gelijkbenige trapezium : degene met zijden van gelijke lengte. In een gelijkbenig trapezium zijn de hoeken naast de bases gelijk.

-Scalene trapezium : degene met zijn zijden van verschillende lengtes. De tegenovergestelde hoeken kunnen de ene acuut en de andere stomp zijn, maar het kan ook gebeuren dat beide stomp of beide acuut zijn.

Figuur 4. Soorten trapezium. Bron: F. Zapata.

Parallellogram

Het parallellogram is een vierhoek waarvan de tegenoverliggende zijden twee aan twee evenwijdig zijn. In een parallellogram zijn de tegenoverliggende hoeken gelijk en de aangrenzende hoeken zijn aanvullend, of anders gezegd, de aangrenzende hoeken zijn opgeteld 180º.

Als een parallellogram een ​​rechte hoek heeft, dan zijn alle andere hoeken dat ook, en de resulterende figuur wordt een rechthoek genoemd. Maar als de rechthoek ook aangrenzende zijden van dezelfde lengte heeft, dan zijn alle zijden gelijk en is de resulterende figuur een vierkant.

Figuur 5. Parallellogrammen. De rechthoek, het vierkant en de ruit zijn parallellogrammen. Bron: F. Zapata.

Wanneer een parallellogram twee aangrenzende zijden van dezelfde lengte heeft, hebben alle zijden dezelfde lengte en is de resulterende figuur een ruit.

De hoogte van een parallellogram is een segment met uiteinden aan de tegenoverliggende zijden en loodrecht daarop.

Oppervlakte van een parallellogram

De oppervlakte van een parallellogram is het product van de basis maal de hoogte, waarbij de basis een zijde loodrecht op de hoogte is (figuur 6).

Diagonalen van een parallellogram

Het kwadraat van de diagonaal dat begint bij een hoekpunt is gelijk aan de som van de vierkanten van de twee zijden naast dat hoekpunt plus het dubbele product van die zijden door de cosinus van de hoek van dat hoekpunt:

f ² = een ² + d ² + 2 ad Cos (α)

Figuur 6. Parallellogram. Tegenovergestelde hoeken, hoogte, diagonalen. Bron: F. Zapata.

Het kwadraat van de diagonaal tegenover het hoekpunt van een parallellogram is gelijk aan de som van de kwadraten van de twee zijden naast het hoekpunt en trekt het dubbele product van die zijden af ​​met de cosinus van de hoek van dat hoekpunt:

g ² = een ² + d ² - 2 ad Cos (α)

Wet van parallellogrammen

In elk parallellogram is de som van de vierkanten van de zijden gelijk aan de som van de vierkanten van de diagonalen:

een ² + b ² + c ² + d ² = f ² + g ²

opnieuw ctángulo

De rechthoek is een vierhoek waarvan de tegenoverliggende zijden twee aan twee evenwijdig zijn en die ook een rechte hoek heeft. Met andere woorden, de rechthoek is een soort parallellogram met een rechte hoek. Omdat het een parallellogram is, heeft de rechthoek tegenoverliggende zijden van gelijke lengte a = c en b = d.

Maar zoals in elk parallellogram zijn de aangrenzende hoeken aanvullend en de tegenoverliggende hoeken gelijk, in de rechthoek omdat het een rechte hoek heeft, zal het noodzakelijkerwijs rechte hoeken vormen in de andere drie hoeken. Met andere woorden, in een rechthoek meten alle interne hoeken 90º of π / 2 radialen.

Diagonalen van een rechthoek

In een rechthoek zijn de diagonalen even lang, zoals hieronder zal worden aangetoond. De redenering is als volgt; Een rechthoek is een parallellogram met al zijn rechte hoeken en erft dus alle eigenschappen van het parallellogram, inclusief de formule die de lengte van de diagonalen geeft:

f ² = een ² + d ² + 2 ad Cos (α)

g ² = een ² + d ² - 2 ad Cos (α)

met α = 90º

Omdat Cos (90º) = 0, gebeurt het dat:

f ² = g ² = een ² + d ²

Dat wil zeggen, f = g, en daarom zijn de lengtes f en g van de twee diagonalen van de rechthoek gelijk en wordt hun lengte gegeven door:

Bovendien, als in een rechthoek met aangrenzende zijden a en b één zijde als basis wordt genomen, zal de andere zijde hoogte zijn en zal de oppervlakte van de rechthoek dus zijn:

Oppervlakte van de rechthoek = ax b.

De omtrek is de som van alle zijden van de rechthoek, maar aangezien de tegenstellingen gelijk zijn, volgt hieruit dat voor een rechthoek met zijden a en b de omtrek wordt gegeven door de volgende formule:

Omtrek van rechthoek = 2 (a + b)

Figuur 7. Rechthoek met zijden a en b. De diagonalen f en g zijn even lang. Bron: F. Zapata.

Vierkant

Het vierkant is een rechthoek met de aangrenzende zijden van dezelfde lengte. Als het vierkant zijde a heeft, dan hebben de diagonalen f en g dezelfde lengte, namelijk f = g = (√2) a.

De oppervlakte van een vierkant is de zijde in het kwadraat:

Oppervlakte van een vierkant = a ²

De omtrek van een vierkant is tweemaal de zijde:

Omtrek van een vierkant = 4 a

Figuur 8. Vierkant met zijde a, die de oppervlakte, de omtrek en de lengte van de diagonalen aangeeft. Bron: F. Zapata ..

Diamant

De ruit is een parallellogram met de aangrenzende zijden van dezelfde lengte, maar aangezien tegenoverliggende zijden gelijk zijn in een parallellogram, zijn alle zijden van een ruit even lang.

De diagonalen van een ruit hebben een verschillende lengte, maar ze snijden elkaar in een rechte hoek.

Figuur 9. Ruit van zijde a, met aanduiding van de oppervlakte, de omtrek en de lengte van de diagonalen. Bron: F. Zapata.

Voorbeelden

voorbeeld 1

Laat zien dat in een vierhoek (niet gekruist) de interne hoeken samen 360º bedragen.

Figuur 10: Er wordt getoond hoe de som van de hoeken van een vierhoek optelt tot 360 °. Bron: F. Zapata.

Een vierhoek ABCD wordt beschouwd (zie figuur 10) en de diagonale BD wordt getekend. Er worden twee driehoeken ABD en BCD gevormd. De som van de binnenhoeken van driehoek ABD is:

α + β ₁ + δ ₁ = 180º

En de som van de interne hoeken van driehoek BCD is:

β2 + γ + δ ₂ = 180º

Door de twee vergelijkingen toe te voegen, krijgen we:

α + β ₁ + δ ₁ + β ₂ + γ + δ ₂ = 180º + 180º

Groepering:

α + (β ₁ + β ₂ ) + (δ ₁ + δ ₂ ) + γ = 2 * 180º

Door te groeperen en te hernoemen, wordt uiteindelijk aangetoond dat:

α + β + δ + γ = 360º

Voorbeeld 2

Laat zien dat de mediaan van een trapezium evenwijdig is aan de basis en dat de lengte het halve deel van de basis is.

Figuur 11. Mediane MN van het trapezium ABCD. Bron: F. Zapata.

De mediaan van een trapezium is het segment dat de middelpunten van de zijkanten verbindt, dat wil zeggen de niet-parallelle zijden. In de trapezoïde ABCD getoond in figuur 11 is de mediaan MN.

Omdat M het middelpunt van AD is en N het middelpunt van BC, zijn de AM / AD- en BN / BC-verhoudingen gelijk.

Dat wil zeggen, AM is evenredig met BN in dezelfde verhouding als AD tot BC, dus de voorwaarden worden gegeven voor de toepassing van Thales '(wederkerige) stelling die het volgende stelt:

"Als proportionele segmenten worden bepaald in drie of meer lijnen die door twee secanten worden gesneden, dan zijn deze lijnen allemaal parallel."

In ons geval wordt geconcludeerd dat de lijnen MN, AB en DC parallel aan elkaar lopen, dus:

"De mediaan van een trapezium is evenwijdig aan zijn basis."

Nu zal de stelling van Thales worden toegepast:

"Een reeks parallellen die door twee of meer secanten zijn doorgesneden, bepalen de proportionele segmenten."

In ons geval AD = 2 AM, AC = 2 AO, dus de driehoek DAC is vergelijkbaar met de driehoek MAO, en dus DC = 2 MO.

Een soortgelijk argument stelt ons in staat te bevestigen dat CAB vergelijkbaar is met CON, waarbij CA = 2 CO en CB = 2 CN. Hieruit volgt onmiddellijk dat AB = 2 AAN.

Kortom, AB = 2 AAN en DC = 2 MO. Dus bij het toevoegen hebben we:

AB + DC = 2 AAN + 2 MO = 2 (MO + AAN) = 2 MN

Eindelijk is MN gewist:

MN = (AB + DC) / 2

En er wordt geconcludeerd dat de mediaan van een trapezium de halve som van de bases meet, of anders gezegd: de mediaan meet de som van de bases, gedeeld door twee.

Voorbeeld 3

Laat zien dat in een ruit de diagonalen elkaar in een rechte hoek snijden.

Figuur 12. Ruit en demonstratie dat de diagonalen elkaar loodrecht snijden. Bron: F. Zapata.

Het bord in figuur 12 toont de benodigde constructie. Eerst wordt het parallellogram ABCD getekend met AB = BC, dat wil zeggen een ruit. Diagonalen AC en DB bepalen acht hoeken die in de afbeelding worden weergegeven.

Met behulp van de stelling (aip) die stelt dat afwisselende binnenhoeken tussen parallellen die door een secans worden gesneden, gelijke hoeken bepalen, kunnen we het volgende vaststellen:

α ₁ = γ ₁ , α2 = γ2, δ ₁ = β ₁ en δ2 = β2. (*)

Aan de andere kant, aangezien de aangrenzende zijden van een ruit even lang zijn, worden vier gelijkbenige driehoeken bepaald:

DAB, BCD, CDA en ABC

Nu wordt de driehoek (gelijkbenige) stelling aangeroepen, die stelt dat de hoeken grenzend aan de basis even groot zijn, waaruit wordt geconcludeerd dat:

δ ₁ = β2, δ2 = β ₁ , α2 = γ ₁ en α ₁ = γ2 (**)

Als de relaties (*) en (**) worden gecombineerd, wordt de volgende gelijkheid van hoeken bereikt:

α ₁ = α2 = γ ₁ = γ ₁ enerzijds en β ₁ = β2 = δ ₁ = δ2 anderzijds.

Herinnerend aan de stelling van gelijke driehoeken die stelt dat twee driehoeken met een gelijke zijde tussen twee gelijke hoeken gelijk zijn, hebben we:

AOD = AOB en dus ook de hoeken ∡AOD = ∡AOB.

Dan ∡AOD + ∡AOB = 180º, maar aangezien beide hoeken even groot zijn, hebben we 2 ∡AOD = 180º wat impliceert dat ∡AOD = 90º.

Dat wil zeggen, geometrisch wordt getoond dat de diagonalen van een ruit elkaar loodrecht snijden.

Oefeningen opgelost

- Oefening 1

Laat zien dat bij een rechter trapezium de niet-rechte hoeken aanvullend zijn.

Oplossing

Figuur 13. Rechter trapezium. Bron: F. Zapata.

De trapeziumvormige ABCD is geconstrueerd met basen AB en DC parallel. De binnenhoek van hoekpunt A is goed (het meet 90º), dus we hebben een rechter trapezium.

De hoeken α en δ zijn interne hoeken tussen twee parallellen AB en DC, daarom zijn ze gelijk, dat wil zeggen δ = α = 90º.

Aan de andere kant is aangetoond dat de som van de interne hoeken van een vierhoek oploopt tot 360 °, dat wil zeggen:

α + β + γ + δ = 90º + β + 90º + δ = 360º.

Het bovenstaande leidt tot:

β + δ = 180º

Bevestigend wat men wilde aantonen, dat de hoeken β en δ aanvullend zijn.

- Oefening 2

Een parallellogram ABCD heeft AB = 2 cm en AD = 1 cm, daarnaast is de hoek BAD 30º. Bepaal de oppervlakte van dit parallellogram en de lengte van de twee diagonalen.

Oplossing

De oppervlakte van een parallellogram is het product van de lengte van de basis en de hoogte. In dit geval wordt de lengte van het segment b = AB = 2 cm als basis genomen, de andere zijde heeft lengte a = AD = 1 cm en de hoogte h wordt als volgt berekend:

h = AD * Sen (30º) = 1 cm * (1/2) = ½ cm.

Dus: Oppervlakte = b * h = 2 cm * ½ cm = 1 cm ² .

Referenties

1. CEA (2003). Geometrie-elementen: met oefeningen en kompasgeometrie. Universiteit van Medellin.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Wiskunde 2. Grupo Redactie Patria.
3. Freed, K. (2007). Ontdek Polygonen. Benchmark Onderwijsbedrijf.
4. Hendrik, V. (2013). Gegeneraliseerde polygonen. Birkhäuser.
5. IGER. (sf). Wiskunde eerste semester Tacaná. IGER.
6. Jr. geometrie. (2014). Polygonen. Van Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren en Hornsby. (2006). Wiskunde: redeneren en toepassingen (tiende editie). Pearson Education.
8. Patiño, M. (2006). Wiskunde 5. Redactioneel Progreso.
9. Wikipedia. Vierhoeken. Hersteld van: es.wikipedia.com