HOEVEEL OPLOSSINGEN HEEFT EEN KWADRATISCHE VERGELIJKING? - WISKUNDE - 2026

Een kwadratische vergelijking of kwadratische vergelijking kan nul, een of twee reële oplossingen hebben, afhankelijk van de coëfficiënten die in de vergelijking voorkomen.

Als je aan complexe getallen werkt, kun je zeggen dat elke kwadratische vergelijking twee oplossingen heeft.

Om te beginnen is een kwadratische vergelijking een vergelijking in de vorm ax² + bx + c = 0, waarbij a, b en c reële getallen zijn en x een variabele.

Er wordt gezegd dat x1 een oplossing is van de vorige kwadratische vergelijking als het vervangen van x door x1 voldoet aan de vergelijking, dat wil zeggen als a (x1) ² + b (x1) + c = 0.

Als we bijvoorbeeld de vergelijking x²-4x + 4 = 0 hebben, dan is x1 = 2 een oplossing aangezien (2) ²-4 (2) + 4 = 4-8 + 4 = 0.

Als we daarentegen x2 = 0 vervangen, krijgen we (0) ²-4 (0) + 4 = 4 en aangezien 4 ≠ 0 dan is x2 = 0 geen oplossing van de kwadratische vergelijking.

Oplossingen van een kwadratische vergelijking

Het aantal oplossingen van een kwadratische vergelijking kan worden onderverdeeld in twee gevallen, namelijk:

een.-

Bij het werken met reële getallen kunnen kwadratische vergelijkingen het volgende hebben:

-Nul-oplossingen: dat wil zeggen, er is geen reëel getal dat voldoet aan de kwadratische vergelijking. Bijvoorbeeld, de vergelijking met de vergelijking x² + 1 = 0, er is niet zo'n reëel getal dat aan de vergelijking voldoet, aangezien x² beide groter is dan of gelijk is aan nul en 1 strikt groter is dan nul, dus hun som zal groter zijn strikt dan nul.

-Een herhaalde oplossing: er is een enkele reële waarde die voldoet aan de kwadratische vergelijking. De enige oplossing voor de vergelijking x²-4x + 4 = 0 is bijvoorbeeld x1 = 2.

-Twee verschillende oplossingen: er zijn twee waarden die voldoen aan de kwadratische vergelijking. Bijvoorbeeld: x² + x-2 = 0 heeft twee verschillende oplossingen die x1 = 1 en x2 = -2 zijn.

2.- In complexe getallen

Als je met complexe getallen werkt, hebben kwadratische vergelijkingen altijd twee oplossingen die z1 en z2 zijn, waarbij z2 het geconjugeerde van z1 is. Ze kunnen ook worden ingedeeld in:

-Complexen: de oplossingen hebben de vorm z = p ± qi, waarbij p en q reële getallen zijn. Dit geval komt overeen met het eerste geval in de vorige lijst.

-Pure Complexes: is wanneer het reële deel van de oplossing gelijk is aan nul, dat wil zeggen, de oplossing heeft de vorm z = ± qi, waarbij q een reëel getal is. Dit geval komt overeen met het eerste geval in de vorige lijst.

-Complexen met een denkbeeldig deel gelijk aan nul: het is wanneer het complexe deel van de oplossing gelijk is aan nul, dat wil zeggen dat de oplossing een reëel getal is. Dit geval komt overeen met de laatste twee gevallen in de vorige lijst.

Hoe worden de oplossingen van een kwadratische vergelijking gevonden?

Om de oplossingen van een kwadratische vergelijking te berekenen, wordt een formule gebruikt die bekend staat als "de resolvent", die zegt dat de oplossingen van een vergelijking ax² + bx + c = 0 worden gegeven door de uitdrukking in de volgende afbeelding:

De hoeveelheid die binnen de vierkantswortel verschijnt, wordt de discriminant van de kwadratische vergelijking genoemd en wordt aangeduid met de letter "d".

De kwadratische vergelijking heeft:

-Twee echte oplossingen als, en alleen als, d> 0.

-Een echte oplossing herhaald als, en alleen als, d = 0.

-Nul echte oplossingen (of twee complexe oplossingen) als, en alleen als, d <0.

Voorbeelden:

-De oplossingen van de vergelijking x² + x-2 = 0 worden gegeven door:

-De vergelijking x²-4x + 4 = 0 heeft een herhaalde oplossing die wordt gegeven door:

-De oplossingen van de vergelijking x² + 1 = 0 worden gegeven door:

Zoals te zien is in dit laatste voorbeeld, is x2 het geconjugeerde van x1.

Referenties

1. Fuentes, A. (2016). BASIS WISKUNDE. Een inleiding tot calculus. Lulu.com.
2. Garo, M. (2014). Wiskunde: kwadratische vergelijkingen.: Hoe een kwadratische vergelijking oplossen. Marilù Garo.
3. Haeussler, EF en Paul, RS (2003). Wiskunde voor management en economie. Pearson Education.
4. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Wiskunde 1 SEP. Drempel.
5. Preciado, CT (2005). Wiskundecursus 3e. Redactioneel Progreso.
6. Rock, NM (2006). Algebra I is gemakkelijk! Zo makkelijk. Team Rock Press.
7. Sullivan, J. (2006). Algebra en trigonometrie. Pearson Education.