Om te weten wat de vierkantswortel van 3 is, is het belangrijk om de definitie van de vierkantswortel van een getal te kennen.
Gegeven een positief getal "a", is de vierkantswortel van "a", aangeduid met √a, een positief getal "b" zodat wanneer "b" ermee wordt vermenigvuldigd, het resultaat "a" is.
De wiskundige definitie zegt: √a = b als, en alleen als, b² = b * b = a.
Om dus te weten wat de vierkantswortel van 3 is, dat wil zeggen de waarde van √3, moet een getal "b" worden gevonden zodat b² = b * b = √3.
Bovendien is √3 een irrationeel getal, dus het bestaat uit een oneindig niet-periodiek aantal decimalen. Om deze reden is het moeilijk om de vierkantswortel van 3 handmatig te berekenen.
Vierkantswortel van 3
Als je een rekenmachine gebruikt, kun je zien dat de vierkantswortel van 3 1.73205080756887 is …
Nu kunt u handmatig proberen dit aantal als volgt te benaderen:
-1 * 1 = 1 en 2 * 2 = 4, dit zegt dat de vierkantswortel van 3 een getal is tussen 1 en 2.
-1,7 * 1,7 = 2,89 en 1,8 * 1,8 = 3,24, daarom is de eerste decimaal 7.
-1,73 * 1,73 = 2,99 en 1,74 * 1,74 = 3,02, dus de tweede decimaal is 3.
-1,732 * 1,732 = 2,99 en 1,733 * 1,733 = 3,003, dus de derde decimaal is 2.
En ga zo maar door. Dit is een handmatige manier om de vierkantswortel van 3 te berekenen.
Er zijn ook andere, veel geavanceerdere technieken, zoals de Newton-Raphson-methode, een numerieke methode om benaderingen te berekenen.
Waar kunnen we het nummer √3 vinden?
Vanwege de complexiteit van het nummer zou men kunnen denken dat het niet in alledaagse voorwerpen voorkomt, maar dit is niet waar. Als we een kubus (vierkante doos) hebben, zodat de lengte van de zijkanten 1 is, dan hebben de diagonalen van de kubus een maat √3.
Om dit te controleren wordt de stelling van Pythagoras gebruikt, die zegt: gegeven een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de hypotenusa gelijk aan de som van de kwadraten van de benen (c² = a² + b²).
Door een kubus met zijde 1 te hebben, hebben we dat de diagonaal van het vierkant van de basis gelijk is aan de som van de vierkanten van de poten, dat wil zeggen c² = 1² + 1² = 2, daarom meet de diagonaal van de basis √2.
Om nu de diagonaal van de kubus te berekenen, kan de volgende afbeelding worden bekeken.
De nieuwe rechthoekige driehoek heeft benen met de lengtes 1 en √2, dus als we de stelling van Pythagoras gebruiken om de lengte van de diagonaal te berekenen, krijgen we: C² = 1² + (√2) ² = 1 + 2 = 3, dat wil zeggen zeg, C = √3.
De lengte van de diagonaal van een kubus met zijde 1 is dus gelijk aan √3.
√3 een irrationeel getal
In het begin werd er gezegd dat √3 een irrationeel getal is. Om dit te controleren wordt door de absurditeit aangenomen dat het een rationaal getal is, waarmee er twee getallen "a" en "b" zijn, relatieve priemgetallen, zodanig dat a / b = √3.
Door de laatste gelijkheid te kwadrateren en op te lossen voor "a²", wordt de volgende vergelijking verkregen: a² = 3 * b². Dit zegt dat "a²" een veelvoud van 3 is, wat tot de conclusie leidt dat "a" een veelvoud van 3 is.
Aangezien "a" een veelvoud is van 3, is er een geheel getal "k" zodat a = 3 * k. Daarom krijgen we door in de tweede vergelijking te vervangen: (3 * k) ² = 9 * k² = 3 * b², wat hetzelfde is als b² = 3 * k².
Net als voorheen leidt deze laatste gelijkheid tot de conclusie dat "b" een veelvoud is van 3.
Concluderend, "a" en "b" zijn beide veelvouden van 3, wat in tegenspraak is, aangezien aanvankelijk werd aangenomen dat ze relatieve priemgetallen waren.
Daarom is √3 een irrationeel getal.
Referenties
- Borgtocht, B. (1839). Arismatische principes. Gedrukt door Ignacio Cumplido.
- Bernadet, JO (1843). Volledige elementaire verhandeling over lineair tekenen met toepassingen in de kunsten. José Matas.
- Herranz, DN en Quirós. (1818). Universele, zuivere, testamentaire, kerkelijke en commerciële rekenkunde. drukkerij die uit Fuentenebro kwam.
- Preciado, CT (2005). Wiskundecursus 3e. Redactioneel Progreso.
- Szecsei, D. (2006). Basis wiskunde en pre-algebra (geïllustreerd red.). Carrière Pers.
- Vallejo, JM (1824). Rekenen voor kinderen… Imp. Dat was van García.