RECHTHOEKIGE COÖRDINATEN: VOORBEELDEN EN OPGELOSTE OEFENINGEN - WISKUNDE - 2024

De rechthoekige coördinaten of Cartesiaans zijn die welke worden verkregen op de orthogonaal projecterende drie cartesische assen X, Y, Z een punt in de driedimensionale ruimte.

Cartesiaanse assen zijn onderling georiënteerde lijnen loodrecht op elkaar. In het Cartesiaans coördinatensysteem worden aan elk punt in de ruimte drie reële getallen toegewezen die de rechthoekige coördinaten zijn.

Figuur 1. Rechthoekige coördinaten van punt P (eigen uitwerking)

Een vliegtuig is een deelruimte van een driedimensionale ruimte. In het geval dat punten op een vlak worden beschouwd, is het voldoende om een ​​paar loodrechte assen X, Y te kiezen als Cartesiaans systeem. Aan elk punt op het vlak worden dan twee reële getallen toegewezen die de rechthoekige coördinaten zijn.

Oorsprong van rechthoekige coördinaten

Rechthoekige coördinaten werden oorspronkelijk voorgesteld door de Franse wiskundige René Descartes (1596 en 1650), daarom worden ze Cartesiaans genoemd.

Met dit idee van Descartes worden de punten van het vlak en de ruimte getallen toegewezen, zodat de meetkundige figuren een algebraïsche vergelijking hebben en de klassieke geometrische stellingen algebraïsch bewezen kunnen worden. Met de Cartesiaanse coördinaten wordt analytische meetkunde geboren.

Het cartesiaanse vliegtuig

Als in een vlak twee loodrechte lijnen worden gekozen die elkaar snijden in een punt O; en als bovendien aan elke lijn een richting en een numerieke schaal wordt toegewezen tussen opeenvolgende equidistante punten, dan is er een Cartesiaans systeem of vlak waarin elk punt van het vlak wordt geassocieerd met een geordend paar van twee reële getallen die respectievelijk hun projecties zijn op de X- en Y-assen.

De punten A = (3, 2); B = (- 2, 3); C = (- 2, -3) en D = (3, -3) worden weergegeven in het cartesische vlak zoals hieronder weergegeven:

Figuur 2. Punten in het cartesiaanse vlak. (Eigen uitwerking)

Merk op dat de twee assen X en Y het vlak verdelen in vier sectoren die kwadranten worden genoemd. Punt A bevindt zich in het eerste kwadrant, punt B bevindt zich in het tweede kwadrant, punt C bevindt zich in het derde kwadrant en punt D bevindt zich in het vierde kwadrant.

Afstand tussen twee punten

De afstand tussen twee punten A en B op het cartesische vlak is de lengte van het segment dat hen verbindt. Deze afstand kan als volgt analytisch worden berekend:

d (A, B) = √ (Bx - Ax) ^ 2 + (Door - Ay) ^ 2)

De bovenstaande formule wordt verkregen door de stelling van Pythagoras toe te passen.

Als we deze formule toepassen op de punten A, B in figuur 2, hebben we:

d (A, B) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + 1 ^ 2) = √ (26)

Dat wil zeggen, d (A, B) = 5,10 eenheden. Merk op dat de afstand is verkregen zonder de noodzaak om met een liniaal te meten, een volledig algebraïsche procedure is gevolgd.

Analytische uitdrukking van een regel

Rechthoekige coördinaten maken een analytische weergave mogelijk van fundamentele geometrische objecten zoals het punt en de lijn. Twee punten A en B definiëren een enkele lijn. De helling van de lijn wordt gedefinieerd als het quotiënt tussen het verschil van de Y-coördinaten van punt B minus A, gedeeld door het verschil van de X-coördinaten van punt B minus A:

helling = (By - Ay) / (Bx - Ax)

Elk punt P van coördinaten (x, y) dat tot de lijn (AB) behoort, moet dezelfde helling hebben:

helling = (y - Ay) / (x - Ax)

De vergelijking die wordt verkregen door de gelijkheid van de hellingen is de analytische of algebraïsche weergave van de lijn die door de punten A en B loopt:

(y - Ay) / (x - Ax) = (By - Ay) / (Bx - Ax).

Als we voor A en B de rechthoekige coördinaten van figuur 2 nemen, hebben we:

(y - 2) / (x - 3) = (3 - 2) / (- 2 - 3)

(y - 2) / (x - 3) = -⅕

In dit specifieke geval hebben we een lijn met een negatieve helling -⅕, wat betekent dat door op een punt op de lijn te lokaliseren en de x-coördinaat met één eenheid te vergroten, de y-coördinaat met 0,2 eenheden afneemt.

De meest gebruikelijke manier om de vergelijking van de lijn in het vlak te schrijven, is met de y-coördinaat gewist als functie van de variabele x:

y = - (1/5) x + 13/5

Voorbeelden

voorbeeld 1

Bepaal door analytische methoden de afstand tussen de punten C en A, zijnde de rechthoekige coördinaten van C = (-2, -3) en die van A = (3,2).

De formule voor de Euclidische afstand tussen deze twee punten is als volgt geschreven:

d (A, C) = √ ((Cx - Ax) ^ 2 + (Cy - Ay) ^ 2)

Als we hun overeenkomstige rechthoekige coördinaten vervangen, hebben we:

d (A, C) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (-3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + (-5) ^ 2) = 5√2 = 7,07

Voorbeeld 2

Verkrijg de vergelijking van de lijn die door punt C van coördinaten (-2, -3) en punt P van coördinaten (2, 0) gaat.

Eerst wordt de helling van de lijn CP verkregen:

helling = (0 - (- 3)) / (2 - (-2)) = ¾

Elk punt Q van generieke rechthoekige coördinaten (x, y) dat tot de lijn CP behoort, moet dezelfde helling hebben:

helling = (y - (- 3)) / (x - (-2)) = (y +3) / (x +2)

Met andere woorden, de vergelijking van de lijn CP is:

(y +3) / (x +2) = ¾

Een alternatieve manier om de vergelijking van de regel CP te schrijven, is het oplossen van y:

y = ¾ X - 3/2

Opgeloste oefeningen

Oefening 1

Bepaal de rechthoekige coördinaten van het snijpunt tussen de lijnen y = - (1/5) x + 13/5 en de lijn y = ¾ x - 3/2.

Oplossing: per definitie delen het snijpunt van de twee lijnen dezelfde rechthoekige coördinaten. Daarom zijn de y-coördinaten op het snijpunt identiek voor beide lijnen:

- (1/5) x + 13/5 = ¾ x - 3/2

wat leidt tot de volgende uitdrukking:

(¾ + ⅕) X = 13/5 +3/2

het oplossen van de som van breuken krijgen we:

19/20 x = 41/10

Oplossen voor x:

x = 82/19 = 4,32

Om de y-waarde van het snijpunt te verkrijgen, wordt de verkregen x-waarde in een van de regels vervangen:

y = ¾ 4,32 - 3/2 = 1,74

Dit betekent dat de gegeven lijnen elkaar snijden op het punt I van de coördinaten I = (4,32, 1,74).

Oefening 2

Bepaal de vergelijking van de cirkel die door het punt R van rechthoekige coördinaten (3, 4) gaat en waarvan het middelpunt de oorsprong van de coördinaten is.

Oplossing: De straal R is de afstand van punt R tot de oorsprong O van coördinaten (0, 0).

d (R, O) = √ ((Rx - 0) ^ 2 + (Ry - 0) ^ 2) = √ ((3 - 0) ^ 2 + (4 - 0) ^ 2) = √ (3 ^ 2 + 4 ^ 2) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

Dat wil zeggen, het is een cirkel met straal 5 gecentreerd op (0,0).

Elk punt P (x, y) op de omtrek moet dezelfde afstand 5 hebben vanaf het midden (0, 0), zodat het kan worden geschreven:

d (P, O) = √ ((x - 0) ^ 2 + (y - 0) ^ 2) = √ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5

Het is te zeggen:

√ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5

Om de vierkantswortel te elimineren, zijn beide leden van de gelijkheid in het kwadraat, waarbij wordt verkregen:

x ^ 2 + y ^ 2 = 25

Wat is de vergelijking van de omtrek.

Dit voorbeeld illustreert de kracht van het rechthoekige coördinatensysteem, waarmee geometrische objecten, zoals de omtrek, kunnen worden bepaald zonder papier, potlood en kompas te gebruiken. De gevraagde omtrek is uitsluitend bepaald door algebraïsche methoden.

Referenties

1. Arfken G en Weber H. (2012). Wiskundige methoden voor natuurkundigen. Een uitgebreide gids. 7e editie. Academische pers. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Berekening cc. Problemen met rechthoekige coördinaten opgelost. Hersteld van: calculo.cc
3. Weisstein, Eric W. "Cartesiaanse coördinaten." Van MathWorld-A Wolfram Web. Hersteld van: mathworld.wolfram.com
4. wikipedia. Cartesisch coördinatenstelsel. Hersteld van: en.wikipedia.com