ELASTISCHE SCHOKKEN: IN ÉÉN DIMENSIE, SPECIALE GEVALLEN, OEFENINGEN - FYSIEK - 2026

De elastische botsingen of elastische botsingen zijn korte maar intense interacties tussen objecten, waarbij zowel het momentum als de kinetische energie behouden blijven. Crashes zijn zeer frequente gebeurtenissen in de natuur: van subatomaire deeltjes tot sterrenstelsels, tot biljartballen en botsauto's in pretparken, het zijn allemaal objecten die kunnen botsen.

Tijdens een botsing of botsing zijn de krachten van interactie tussen objecten erg sterk, veel meer dan die van buitenaf kunnen werken. Op deze manier kan worden gesteld dat tijdens de botsing de deeltjes een geïsoleerd systeem vormen.

Botsingen van biljartballen kunnen als elastisch worden beschouwd. Bron: Pixabay.

In dit geval is het waar dat:

Het momentum P _o voor de botsing is hetzelfde als na de botsing. Dit geldt voor elk type botsing, zowel elastisch als niet-elastisch.

Bedenk nu het volgende: bij een botsing ondergaan objecten een bepaalde vervorming. Als de schok elastisch is, keren objecten snel terug naar hun oorspronkelijke vorm.

Behoud van kinetische energie

Normaal gesproken wordt tijdens een crash een deel van de energie van objecten besteed aan warmte, vervorming, geluid en soms zelfs aan het produceren van licht. Dus de kinetische energie van het systeem na de botsing is minder dan de oorspronkelijke kinetische energie.

Als de kinetische energie K behouden blijft, dan:

Dat betekent dat de krachten die optreden tijdens de botsing conservatief zijn. Tijdens de botsing wordt de kinetische energie kortstondig omgezet in potentiële energie en vervolgens weer terug in kinetische energie. De respectievelijke kinetische energieën variëren, maar de som blijft constant.

Perfect elastische botsingen zijn zeldzaam, hoewel biljartballen een redelijk goede benadering zijn, evenals botsingen die optreden tussen ideale gasmoleculen.

Elastische schokbrekers in één dimensie

Laten we eens kijken naar een botsing van twee deeltjes hiervan in een enkele dimensie; dat wil zeggen, de op elkaar inwerkende deeltjes bewegen bijvoorbeeld langs de x-as. Stel dat ze massa's m ₁ en m _{2 hebben} . De beginsnelheden van elk zijn respectievelijk u _{1 en} u ₂ . De eindsnelheden zijn v ₁ en v ₂ .

We kunnen zonder de vectornotatie, aangezien de beweging langs de x-as wordt uitgevoerd, maar de tekens (-) en (+) de richting van de beweging aangeven. Aan de linkerkant is negatief en aan de rechterkant positief, volgens afspraak.

-Formule voor elastische botsingen

Voor de hoeveelheid beweging

Voor kinetische energie

Zolang de massa's en beginsnelheden bekend zijn, kunnen de vergelijkingen worden gehergroepeerd om de eindsnelheden te vinden.

Het probleem is dat het in principe nodig is om een ​​beetje vrij vervelende algebra uit te voeren, aangezien de vergelijkingen voor kinetische energie de kwadraten van de snelheden bevatten, wat de berekening een beetje omslachtig maakt. Het ideaal zou zijn om uitdrukkingen te vinden die ze niet bevatten.

De eerste is om af te zien van de factor ½ en beide vergelijkingen zo te herschikken dat een negatief teken verschijnt en de massa kan worden meegerekend:

Op deze manier worden uitgedrukt:

Vereenvoudiging om de kwadraten van de snelheden te elimineren

Nu moeten we gebruik maken van de opmerkelijke productsom door zijn verschil in de tweede vergelijking, waarmee we een uitdrukking krijgen die de vierkanten niet bevat, zoals oorspronkelijk wilde:

De volgende stap is om de eerste vergelijking in de tweede te vervangen:

En aangezien de term m ₂ (v ₂ - u ₂ ) wordt herhaald aan beide zijden van de gelijkheid, wordt die term geannuleerd en blijft hij als volgt:

Of nog beter:

Eindsnelheden v

Nu heb je twee lineaire vergelijkingen waarmee je gemakkelijker kunt werken. We leggen ze onder elkaar terug:

Het vermenigvuldigen van de tweede vergelijking met m ₁ en het toevoegen van term aan term is:

En het is al mogelijk om v ₂ te wissen . Bijvoorbeeld:

Speciale gevallen bij elastische botsingen

Nu er vergelijkingen beschikbaar zijn voor de eindsnelheden van beide deeltjes, is het tijd om enkele speciale situaties te analyseren.

Twee identieke massa's

In dat geval m ₁ = m ₂ = my:

Na de botsing wisselen de deeltjes eenvoudig hun snelheid uit.

Twee identieke missen, waarvan er één aanvankelijk in rust was

Opnieuw m ₁ = m ₂ = m en uitgaande van u ₁ = 0:

Na de botsing krijgt het deeltje dat in rust was dezelfde snelheid als het deeltje dat in beweging was, en dit stopt op zijn beurt.

Twee verschillende massa's, waarvan één aanvankelijk in rust

Stel in dit geval dat u ₁ = 0, maar de massa's zijn verschillend:

Wat als m ₁ veel groter is dan m ₂ ?

Het komt voor dat m _{1 nog} steeds in rust is en m ₂ wordt teruggegeven met dezelfde snelheid waarmee het is geraakt.

Restitutiecoëfficiënt of Huygens-Newton-regel

Eerder werd de volgende relatie tussen de snelheden afgeleid voor twee objecten in elastische botsing: u ₁ - u ₂ = v ₂ - v ₁ . Deze verschillen zijn de relatieve snelheden voor en na de botsing. In het algemeen geldt voor een aanrijding dat:

Het concept van relatieve snelheid wordt het best gewaardeerd als de lezer zich voorstelt dat hij zich op een van de deeltjes bevindt en vanuit deze positie de snelheid observeert waarmee het andere deeltje beweegt. De bovenstaande vergelijking wordt als volgt herschreven:

Opgeloste oefeningen

- Opgeloste oefening 1

Een biljartbal beweegt naar links met 30 cm / s en botst frontaal met een andere identieke bal die naar rechts beweegt met 20 cm / s. De twee ballen hebben dezelfde massa en de botsing is perfect elastisch. Vind de snelheid van elke bal na een botsing.

Oplossing

u ₁ = -30 cm / s

u ₂ = +20 cm / s

Dit is het speciale geval waarbij twee identieke massa's elastisch in één dimensie botsen, waardoor de snelheden worden uitgewisseld.

v ₁ = +20 cm / s

v ₂ = -30 cm / s

- Opgeloste oefening 2

De restitutiecoëfficiënt van een bal die van de grond stuitert, is gelijk aan 0,82. Als de bal uit rust valt, welk deel van zijn oorspronkelijke hoogte bereikt de bal dan na één keer stuiteren? En na 3 rebounds?

Een bal stuitert op een stevig oppervlak en verliest hoogte bij elke stuitering. Bron: zelf gemaakt.

Oplossing

De bodem kan object 1 zijn in de vergelijking voor de restitutiecoëfficiënt. En het blijft altijd in rust, zodat:

Met deze snelheid stuitert het:

Het + -teken geeft aan dat het een oplopende snelheid is. En volgens het bereikt de bal een maximale hoogte van:

Nu keert het weer terug naar de grond met een snelheid van gelijke grootte, maar tegengesteld teken:

Hiermee wordt een maximale hoogte bereikt van:

Ga terug naar de grond met:

Opeenvolgende bounces

Elke keer dat de bal stuitert en stijgt, vermenigvuldigt u de snelheid opnieuw met 0,82:

Op dit punt is h ₃ ongeveer 30% van _ho . Wat zou de hoogte zijn tot de 6e sprong zonder de noodzaak om zulke gedetailleerde berekeningen te maken als de vorige?

Het zou h ₆ = 0,82 ¹² h _o = 0,092 h _o o slechts 9% van h _{o zijn} .

- Opgeloste oefening 3

Een blok van 300 g beweegt naar het noorden met 50 cm / s en botst met een blok van 200 g naar het zuiden met 100 cm / s. Stel dat de schokbreker perfect elastisch is. Vind de snelheden na een botsing.

Gegevens

m ₁ = 300 g; u ₁ = + 50 cm / s

m ₂ = 200 g; u ₂ = -100 cm / s

- Opgeloste oefening 4

Een massa van m ₁ = 4 kg wordt losgelaten vanaf het aangegeven punt op de wrijvingsloze baan totdat deze in rust botst met m ₂ = 10 kg. Hoe hoog stijgt m ₁ na de botsing?

Oplossing

Omdat er geen wrijving is, wordt de mechanische energie behouden om de snelheid u ₁ te vinden waarmee m ₁ m ₂ raakt _. Aanvankelijk is de kinetische energie 0, aangezien m ₁ vertrekt vanuit rust. Als het op het horizontale oppervlak beweegt, heeft het geen hoogte, dus de potentiële energie is 0.

Nu wordt de snelheid van m ₁ na de botsing berekend :

Het minteken betekent dat het is geretourneerd. Met deze snelheid stijgt het en wordt de mechanische energie weer geconserveerd om h 'te vinden, de hoogte waarnaar het na de botsing weet te stijgen:

Merk op dat het niet terugkeert naar het startpunt op 8 m hoogte. Het heeft niet genoeg energie omdat de massa m ₁ een deel van zijn kinetische energie opgaf _.

Referenties

1. Giancoli, D. 2006. Fysica: principes met toepassingen. 6 ^e . Ed Prentice Hall. 175-181
2. Rex, A. 2011. Fundamentals of Physics. Pearson. 135-155.
3. Serway, R., Vulle, C. 2011. Fundamentals of Physics. 9 ^na Cengage Learning. 172-182
4. Tipler, P. (2006) Fysica voor wetenschap en technologie. 5e Ed. Deel 1. Redactioneel Reverté. 217-238
5. Tippens, P. 2011. Fysica: concepten en toepassingen. 7e editie. MacGraw Hill. 185-195