ZWAARTEPUNT: EIGENSCHAPPEN, BEREKENING, VOORBEELDEN - FYSIEK - 2024

Het zwaartepunt van een lichaam met meetbare afmetingen is het punt waarop het gewicht wordt geacht te zijn toegepast. Het is daarom een ​​van de belangrijkste concepten van statica.

De eerste benadering bij de problemen van de elementaire fysica bestaat erin aan te nemen dat elk object zich gedraagt ​​als een puntmassa, dat wil zeggen dat het geen afmetingen heeft en alle massa geconcentreerd is in een enkel punt. Dit geldt voor een doos, een auto, een planeet of een subatomair deeltje. Dit model staat bekend als het deeltjesmodel.

Figuur 1. Bij het hoogspringen lukt het de atleet zo dat zijn zwaartepunt buiten het lichaam ligt. Bron: Pixabay

Dit is natuurlijk een benadering, die voor veel toepassingen erg goed werkt. Het is geen gemakkelijke taak om na te denken over het individuele gedrag van de duizenden en miljoenen deeltjes die elk object kan bevatten.

Er moet echter rekening worden gehouden met de werkelijke dimensies van dingen om resultaten te behalen die dichter bij de realiteit liggen. Omdat we ons over het algemeen in de buurt van de aarde bevinden, is de altijd aanwezige kracht op elk lichaam precies het gewicht.

Overwegingen bij het vinden van het zwaartepunt

Als de lichaamsgrootte in aanmerking moet worden genomen, waar moet dan specifiek het gewicht worden toegepast? Als je een willekeurig gevormd continu object hebt, is het gewicht een kracht die wordt verdeeld over elk van de samenstellende deeltjes.

Laat deze deeltjes m ₁ , m ₂ , m ₃ … zijn. Elk van hen ervaart zijn overeenkomstige zwaartekracht m ₁ g, m ₂ g, m ₃ g …, allemaal parallel. Dit is zo, aangezien het zwaartekrachtveld van de aarde in de overgrote meerderheid van de gevallen als constant wordt beschouwd, omdat de objecten klein zijn in vergelijking met de grootte van de planeet en zich dicht bij het oppervlak bevinden.

Figuur 2. Het gewicht van het object is een verdeelde massa. Bron: zelf gemaakt.

De vectorsom van deze krachten resulteert in het gewicht van het object, toegepast op het punt dat het zwaartepunt wordt genoemd, in de figuur aangeduid als CG, dat dan samenvalt met het massamiddelpunt. Het massamiddelpunt is op zijn beurt het punt waar alle massa als geconcentreerd kan worden beschouwd.

Het resulterende gewicht heeft magnitude Mg waarbij M de totale massa van het object is, en natuurlijk is het verticaal naar het midden van de aarde gericht. De sommatie-notatie is handig om de totale massa van het lichaam uit te drukken:

Het zwaartepunt valt niet altijd samen met een materieel punt. Het zwaartepunt van een ring bevindt zich bijvoorbeeld in het geometrische middelpunt, waar zelf geen massa is. Toch, als u de krachten die op een hoepel werken, wilt analyseren, moet u het gewicht op dit precieze punt toepassen.

In die gevallen waarin het object een willekeurige vorm heeft, als het homogeen is, kan het zwaartepunt nog steeds worden berekend door het zwaartepunt of het zwaartepunt van de figuur te vinden.

Hoe wordt het zwaartepunt berekend?

In principe, als het zwaartepunt (CG) en het zwaartepunt (cm) samenvallen als het zwaartekrachtveld uniform is, dan kan de cm worden berekend en het gewicht erop worden toegepast.

Laten we twee gevallen bekijken: het eerste is er een waarin de massaverdeling discreet is; dat wil zeggen, elke massa waaruit het systeem bestaat, kan worden geteld en een nummer i toegewezen krijgen, zoals werd gedaan in het vorige voorbeeld.

De coördinaten van het massamiddelpunt voor een discrete massaverdeling zijn:

De som van alle massa's is natuurlijk gelijk aan de totale massa van het systeem M, zoals hierboven aangegeven.

De drie vergelijkingen worden teruggebracht tot een compacte vorm als we de vector r _cm of positievector van het zwaartepunt beschouwen:

En in het geval van een continue massaverdeling, waar de deeltjes verschillende grootte hebben en niet kunnen worden onderscheiden om ze te tellen, wordt de som vervangen door een integraal die wordt gemaakt over het volume dat door het betreffende object wordt ingenomen:

Waar r de positievector is van een differentiële massa dm en de definitie van massadichtheid is gebruikt om het massaverschil dm in een volumeverschil dV uit te drukken:

Eigendommen

Enkele belangrijke overwegingen over het zwaartepunt zijn de volgende:

- Hoewel een referentiesysteem nodig is om de posities vast te stellen, is het zwaartepunt niet afhankelijk van de keuze van het systeem, aangezien het een eigenschap is van het object.

- Als het object een as of een symmetrievlak heeft, bevindt het massamiddelpunt zich op die as of dat vlak. Door van deze omstandigheid te profiteren, bespaart u rekentijd.

- Alle externe krachten die op het object inwerken, kunnen op het massamiddelpunt worden uitgeoefend. Het bijhouden van de beweging van dit punt geeft een overzicht van de beweging van het object en maakt het gemakkelijker om zijn gedrag te bestuderen.

-Het zwaartepunt van een lichaam in statisch evenwicht vinden

Stel dat u het lichaam in de vorige afbeelding in statisch evenwicht wilt maken, dat wil zeggen dat het niet transleert of roteert rond een willekeurige rotatieas die O kan zijn.

Figuur 3. Schema voor het berekenen van het koppel van het gewicht ten opzichte van punt O.

- Opgelost voorbeeld

Een dunne staaf van uniform materiaal is 6 m lang en weegt 30 N. Aan het linker uiteinde wordt een gewicht van 50 N gehangen en aan het rechter uiteinde een gewicht van 20 N. Vind: a) de grootte van de opwaartse kracht die nodig is om het evenwicht van de staaf te behouden, b) het zwaartepunt van het samenstel.

Oplossing

Het krachtdiagram wordt weergegeven in de volgende afbeelding. Het gewicht van de staaf wordt aangebracht op het zwaartepunt, dat samenvalt met het geometrische middelpunt. De enige dimensie van de staaf die in aanmerking wordt genomen, is de lengte, aangezien de verklaring meldt dat deze dun is.

Figuur 4. Diagram van krachten voor de staaf.

Om het systeem van staaf + gewichten in translationeel evenwicht te houden, moet de som van de krachten nul zijn. De krachten zijn verticaal, als we omhoog kijken met teken + en omlaag met teken - dan:

F- 50 - 20 - 30 N = 0

F = 100 N

Deze kracht garandeert de translationele balans. De torsiemomenten van alle krachten nemen ten opzichte van een as die uiterst links door het systeem gaat en de definitie toepassen:

t = rx F

De momenten van al deze krachten rond het geselecteerde punt staan ​​loodrecht op het vlak van de staaf:

Dus:

Het zwaartepunt van de set stang + gewichten bevindt zich op 2,10 meter van de linkerkant van de stang.

Verschil met zwaartepunt

Het zwaartepunt valt samen met het massamiddelpunt, zoals aangegeven, zolang het zwaartekrachtveld van de aarde constant is voor alle punten van het te beschouwen object. Het zwaartekrachtveld van de aarde is niets meer dan de bekende en bekende waarde van g = 9,8 m / s ² verticaal naar beneden gericht.

Hoewel de waarde van g varieert met de breedtegraad en hoogte, hebben deze meestal geen invloed op de objecten die meestal worden besproken. Het zou heel anders zijn als je kijkt naar een groot lichaam in de buurt van de aarde, bijvoorbeeld een asteroïde die heel dicht bij de planeet staat.

De asteroïde heeft zijn eigen zwaartepunt, maar zijn zwaartepunt zou hier niet langer mee hoeven samen te vallen, aangezien g waarschijnlijk aanzienlijke variaties in grootte zou ervaren, gezien de grootte van de asteroïde en het feit dat de gewichten van elk deeltje mogelijk niet parallel zijn.

Een ander fundamenteel verschil is dat het massamiddelpunt wordt gevonden, ongeacht of er al dan niet een kracht op het object wordt uitgeoefend, genaamd gewicht. Het is een intrinsieke eigenschap van het object die ons laat zien hoe zijn massa is verdeeld in relatie tot zijn geometrie.

Het zwaartepunt bestaat, ongeacht of er een gewicht wordt toegepast of niet. En het bevindt zich op dezelfde positie, zelfs als het object naar een andere planeet beweegt waar het zwaartekrachtveld anders is.

Aan de andere kant is het zwaartepunt duidelijk gekoppeld aan de toepassing van gewicht, zoals we in de voorgaande paragrafen hebben gezien.

Voorbeelden van zwaartepunt

Zwaartepunt van onregelmatige voorwerpen

Het is heel gemakkelijk om erachter te komen waar het zwaartepunt van een onregelmatig voorwerp zoals een beker is. Ten eerste hangt het aan een willekeurig punt en van daaruit wordt een verticale lijn getrokken (in figuur 5 is dit de fuchsia lijn in de linker afbeelding).

Het wordt dan opgehangen aan een ander punt en een nieuwe verticaal wordt getekend (turquoise lijn in de rechter afbeelding). Het snijpunt van beide lijnen is het zwaartepunt van de beker.

Figuur 5. CG-locatie van een mok. Bron: gewijzigd van Pixabay.

Objecten in evenwicht brengen

Laten we de stabiliteit van een vrachtwagen op de weg analyseren. Wanneer het zwaartepunt zich boven de basis van de vrachtwagen bevindt, zal de vrachtwagen niet kantelen. De afbeelding aan de linkerkant is de meest stabiele positie.

Figuur 6. Balanceren van de truck. Bron: zelf gemaakt.

Zelfs wanneer de vrachtwagen naar rechts leunt, kan hij terugkeren naar een stabiele evenwichtspositie, zoals in de middelste tekening, aangezien de verticaal nog steeds door de basis gaat. Wanneer deze lijn echter naar buiten gaat, zal de vrachtwagen kantelen.

Het diagram toont de krachten bij het draaipunt: normaal in geel, gewicht in groen en statisch naar links wrijven in fuchsia. Normaal en wrijving worden toegepast op de rotatie-as, zodat ze geen koppel uitoefenen. Daarom dragen ze niet bij aan het kantelen van de truck.

Het gewicht blijft, dat wel een koppel uitoefent, gelukkig tegen de klok in en dat de neiging heeft om de truck terug te brengen naar zijn evenwichtspositie. Merk op dat de verticale lijn door het steunvlak gaat, dat is de band.

Als de truck helemaal naar rechts staat, verandert het koppel van het gewicht naar rechtsom. De truck kan een volgende keer niet worden gecounterd.

Referenties

1. Bauer, W. 2011. Physics for Engineering and Sciences. Deel 1. Mc Graw Hill. 247-253.
2. Giancoli, D. 2006. Fysica: principes met toepassingen. 6e .. Ed Prentice Hall. 229-238.
3. Resnick, R. (1999). Fysiek. Vol. 1. 3e uitg. In het Spaans. Compañía Redactioneel Continental SA de CV 331-341.
4. Rex, A. 2011. Fundamentals of Physics. Pearson.146-155.
5. Sears, Zemansky. 2016. Universitaire natuurkunde met moderne natuurkunde. 14e. Ed. Deel 1.340-346.