Er zijn verschillende manieren om de zijden en hoeken van een driehoek te vinden . Deze zijn afhankelijk van het type driehoek waarmee u werkt.

In deze gelegenheid laten we zien hoe we de zijden en hoeken van een rechthoekige driehoek kunnen berekenen, ervan uitgaande dat bepaalde gegevens van de driehoek bekend zijn.

De elementen die zullen worden gebruikt zijn:

- De stelling van Pythagoras

Gegeven een rechthoekige driehoek met benen "a", "b" en hypotenusa "c", is het waar dat "c² = a² + b²".

- Oppervlakte van een driehoek

De formule voor het berekenen van de oppervlakte van een driehoek is A = (b × h) / 2, waarbij "b" de lengte van de basis is en "h" de lengte van de hoogte.

- Hoeken van een driehoek

De som van de drie binnenhoeken van een driehoek is 180º.

- De trigonometrische functies:

Overweeg een rechthoekige driehoek. Vervolgens worden de trigonometrische functies sinus, cosinus en tangens van de hoek beta (β) als volgt gedefinieerd:

sin (β) = CO / heup, cos (β) = CA / heup en tan (β) = CO / CA.

Hoe vind je de zijkanten en hoeken van een rechthoekige driehoek?

Gegeven een rechthoekige driehoek ABC kunnen de volgende situaties voorkomen:

1- De twee benen zijn bekend

Als been "a" 3 cm meet en been "b" 4 cm, dan wordt de stelling van Pythagoras gebruikt om de waarde van "c" te berekenen. Door de waarden van "a" en "b" te vervangen, krijgen we dat c² = 25 cm², wat inhoudt dat c = 5 cm.

Als hoek β nu tegengesteld is aan been «b», dan is sin (β) = 4/5. Door de inverse sinusfunctie toe te passen, krijgen we in deze laatste gelijkheid die β = 53,13º. Twee interne hoeken van de driehoek zijn al bekend.

Laat θ de hoek zijn die nog bekend moet zijn, dan 90º + 53,13º + θ = 180º, waaruit we dat θ = 36,87º bekomen.

In dit geval is het niet nodig dat de bekende zijden de twee benen zijn, het belangrijkste is om de waarde van twee zijden te kennen.

2- Een been is bekend en het gebied

Stel dat a = 3 cm het bekende been is en A = 9 cm² de oppervlakte van de driehoek.

In een rechthoekige driehoek kan het ene been worden beschouwd als de basis en het andere als de hoogte (aangezien ze loodrecht staan).

Stel dat "a" de basis is, dus 9 = (3 × h) / 2, waaruit we afleiden dat het andere been 6 cm is. Om de hypotenusa te berekenen, gaat u te werk zoals in het vorige geval, en we verkrijgen dat c = √45 cm.

Als de hoek β nu tegenover het been «a» ligt, dan is sin (β) = 3 / √45. Oplossend voor β wordt verkregen dat de waarde 26,57º is. Het blijft alleen om de waarde van de derde hoek θ te weten.

Men stelt vast dat 90º + 26,57º + θ = 180º, waaruit wordt geconcludeerd dat θ = 63,43º.

3- Een hoek en een been zijn bekend

Stel dat β = 45º de bekende hoek is en stel de bekende poot = 3 cm, waarbij poot «a» de tegenovergestelde hoek β is. Met de raaklijnformule wordt verkregen dat tg (45º) = 3 / CA, waaruit volgt dat CA = 3 cm.

Met behulp van de stelling van Pythagoras krijgen we dat c² = 18 cm², dat wil zeggen c = 3√2 cm.

Het is bekend dat een hoek 90º meet en dat β 45º meet, van hieruit wordt geconcludeerd dat de derde hoek 45º meet.