BEREKENING VAN BENADERINGEN MET BEHULP VAN HET DIFFERENTIEEL - WISKUNDE - 2024

Een benadering in de wiskunde is een getal dat niet de exacte waarde van iets is, maar er zo dichtbij ligt dat het als even nuttig wordt beschouwd als die exacte waarde.

Wanneer benaderingen worden gemaakt in de wiskunde, is dat omdat het handmatig moeilijk (of soms onmogelijk) is om de precieze waarde te weten van wat je wilt.

Het belangrijkste hulpmiddel bij het werken met benaderingen is het verschil van een functie.

Het verschil van een functie f, aangeduid met Δf (x), is niets meer dan de afgeleide van de functie f maal de verandering in de onafhankelijke variabele, dat wil zeggen Δf (x) = f '(x) * Δx.

Soms worden df en dx gebruikt in plaats van Δf en Δx.

Benaderingen met behulp van het differentieel

De formule die wordt toegepast om een ​​benadering door het differentieel uit te voeren, vloeit precies voort uit de definitie van de afgeleide van een functie als limiet.

Deze formule wordt gegeven door:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx.

Hier wordt begrepen dat Δx = x-x0, dus x = x0 + Δx. Hiermee kan de formule worden herschreven als

f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0) * Δx.

Opgemerkt moet worden dat "x0" geen willekeurige waarde is, maar een waarde zodanig dat f (x0) gemakkelijk bekend is; bovendien is "f (x)" slechts de waarde die we willen benaderen.

Zijn er betere benaderingen?

Het antwoord is ja. Het bovenstaande is de eenvoudigste van de benaderingen die "lineaire benadering" worden genoemd.

Voor benaderingen van betere kwaliteit (de gemaakte fout is minder), worden polynomen met meer afgeleiden, "Taylor polynomen" genaamd, gebruikt, evenals andere numerieke methoden zoals onder andere de Newton-Raphson-methode.

Strategie

De te volgen strategie is:

- Kies een geschikte functie f om de benadering uit te voeren en de waarde «x» zodanig dat f (x) de te benaderen waarde is.

- Kies een waarde "x0", dichtbij "x", zodat f (x0) gemakkelijk te berekenen is.

- Bereken Δx = x-x0.

- Bereken de afgeleide van de functie y f '(x0).

- Vervang de gegevens in de formule.

Opgeloste benaderingsoefeningen

In wat verder gaat, is er een reeks oefeningen waarin benaderingen worden gemaakt met behulp van het differentieel.

Eerste oefening

Ongeveer √3.

Oplossing

Volgens de strategie moet een geschikte functie worden gekozen. In dit geval kan worden gezien dat de te kiezen functie f (x) = √x moet zijn en dat de te benaderen waarde f (3) = √3 is.

Nu moeten we een waarde "x0" kiezen die dicht bij "3" ligt, zodat f (x0) gemakkelijk te berekenen is. Als "x0 = 2" is gekozen, dan ligt "x0" dicht bij "3" maar f (x0) = f (2) = √2 is niet eenvoudig te berekenen.

De juiste waarde van "x0" is "4", aangezien "4" dichtbij "3" ligt en ook f (x0) = f (4) = √4 = 2.

Als "x = 3" en "x0 = 4", dan Δx = 3-4 = -1. Nu gaan we verder met het berekenen van de afgeleide van f. Dat wil zeggen, f '(x) = 1/2 * √x, dus f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.

Als u alle waarden in de formule vervangt, krijgt u:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2- 1/4 = 7/4 = 1,75.

Als je een rekenmachine gebruikt, krijg je dat √3≈1.73205… Dit toont aan dat het vorige resultaat een goede benadering is van de werkelijke waarde.

Tweede oefening

Ongeveer √10.

Oplossing

Net als voorheen wordt f (x) = √xy gekozen als functie, in dit geval x = 10.

De waarde van x0 om deze tijd te kiezen is "x0 = 9". We hebben dan dat Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 en f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.

Bij het evalueren in de formule wordt dat verkregen

√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3,1666…

Met behulp van een rekenmachine krijgen we dat √10 ≈ 3,1622776 … Hier is ook te zien dat er eerder een goede benadering is verkregen.

Derde oefening

Benader ³√10, waarbij ³√ de kubuswortel aangeeft.

Oplossing

De functie die in deze oefening moet worden gebruikt, is duidelijk f (x) = ³√x en de waarde van "x" moet "10" zijn.

Een waarde dichtbij "10" zodat de kubuswortel bekend is, is "x0 = 8". Dan hebben we Δx = 10-8 = 2 en f (x0) = f (8) = 2. We hebben ook f '(x) = 1/3 * ³√x², en dus f' (8) = 1/3 * ³√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.

Door de gegevens in de formule te vervangen, wordt verkregen dat:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.166666….

De rekenmachine zegt dat ³√10 ≈ 2.15443469… Daarom is de gevonden benadering goed.

Vierde oefening

Benader ln (1.3), waarbij "ln" de natuurlijke logaritmefunctie aangeeft.

Oplossing

Eerst kiezen we als functie f (x) = ln (x) en de waarde van "x" is 1,3. Nu we een beetje weten over de logaritmefunctie, kunnen we weten dat ln (1) = 0, en bovendien "1" dichtbij "1.3" ligt. Daarom wordt "x0 = 1" gekozen en dus Δx = 1,3 - 1 = 0,3.

Aan de andere kant f '(x) = 1 / x, zodat f' (1) = 1. Bij het evalueren in de gegeven formule hebben we:

ln (1.3) = f (1.3) ≈ 0 + 1 * 0.3 = 0.3.

Met behulp van een rekenmachine hebben we dat ln (1.3) ≈ 0.262364 … Dus de gemaakte benadering is goed.

Referenties

1. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus wiskunde. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus-wiskunde: een probleemoplossende benadering (2, geïllustreerde red.). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Algebra en trigonometrie met analytische meetkunde. Pearson Education.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 red.). Cengage leren.
5. Leal, JM en Viloria, NG (2005). Plane analytische meetkunde. Mérida - Venezuela: Redactie Venezolana CA
6. Pérez, CD (2006). Voorberekening. Pearson Education.
7. Purcell, EJ, Varberg, D., en Rigdon, SE (2007). Calculus (negende ed.). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Differentiaalrekening met vroege transcendente functies voor Science and Engineering (tweede editie red.). Hypotenusa.
9. Scott, CA (2009). Cartesian Plane Geometry, Part: Analytical Conics (1907) (herdruk red.). Bliksembron.
10. Sullivan, M. (1997). Voorberekening. Pearson Education.