CONJUGAAT BINOMINAAL: HOE HET OP TE LOSSEN, VOORBEELDEN, OEFENINGEN - WISKUNDE - 2024

Een geconjugeerde binominale van een andere binominale is er een waarin ze alleen worden onderscheiden door een teken van de operatie. De binominale, zoals de naam al aangeeft, is een algebraïsche structuur die uit twee termen bestaat.

Enkele voorbeelden van binominale waarden zijn: (a + b), (3m - n) en (5x - y). En hun respectievelijke geconjugeerde binomialen zijn: (a - b), (-3m - n) en (5x + y). Zoals direct te zien is, zit het verschil in het bord.

Figuur 1. Een binominaal en zijn geconjugeerd binominaal. Ze hebben dezelfde termen, maar verschillen in teken. Bron: F. Zapata.

Een binominaal vermenigvuldigd met zijn geconjugeerde resulteert in een opmerkelijk product dat veel wordt gebruikt in algebra en wetenschap. Het resultaat van de vermenigvuldiging is het aftrekken van de kwadraten van de termen van de oorspronkelijke binominale waarde.

(X - y) is bijvoorbeeld een binominaal en het geconjugeerde is (x + y). Het product van de twee binominalen is dus het verschil tussen de kwadraten van de termen:

(x - y). (x + y) = x ² - y ²

Hoe los je een geconjugeerde binominale op?

De genoemde regel van geconjugeerde binominalen is de volgende:

Als toepassingsvoorbeeld beginnen we met het demonstreren van het vorige resultaat, dat kan worden gedaan met behulp van de distributieve eigenschap van het product met betrekking tot de algebraïsche som.

(x - y) (x + y) = xx + xy - yx - yy

De bovenstaande vermenigvuldiging werd verkregen door deze stappen te volgen:

- De eerste term van de eerste binominale waarde wordt vermenigvuldigd met de eerste term van de tweede

- Dan de eerste van de eerste, voor de tweede van de tweede

- Dan de tweede van de eerste door de eerste van de tweede

- Eindelijk de tweede van de eerste door de tweede van de tweede.

Laten we nu een kleine wijziging aanbrengen met de commutatieve eigenschap: yx = xy. Het ziet er zo uit:

(x - y) (x + y) = xx + xy - xy - yy

Aangezien er twee gelijke termen zijn, maar met een tegengesteld teken (in kleur gemarkeerd en onderstreept), worden ze geannuleerd en is het vereenvoudigd:

(x - y) (x + y) = xx - yy

Ten slotte wordt toegepast dat het vermenigvuldigen van een getal met zichzelf gelijk staat aan het verhogen naar het kwadraat, zodat xx = x ² en ook yy = y ² .

Op deze manier wordt aangetoond wat in de vorige paragraaf was aangegeven, dat het product van een som en zijn verschil het verschil tussen de kwadraten is:

(x - y). (x + y) = x ² - y ²

Figuur 2. Een som maal het verschil is een verschil in kwadraten. Bron: F. Zapata.

Voorbeelden

- Geconjugeerde binomialen van verschillende uitdrukkingen

voorbeeld 1

Vind de conjugaat van (y ² - 3y).

Antwoord : (y ² + 3y)

Voorbeeld 2

Verkrijg het product van (y ² - 3y) en zijn conjugaat.

Antwoord: (y ² - 3y) (y ² + 3y) = (y ² ) ² - (3y) ² = y ⁴ - 3 ² y ² = y ⁴ - 9y ²

Voorbeeld 3

Ontwikkel het product (1 + 2a). (2a -1).

Antwoord: de vorige uitdrukking is equivalent aan (2a + 1). (2a -1), dat wil zeggen, het komt overeen met het product van een binominaal en zijn conjugaat.

Het is bekend dat het product van een binominaal door zijn geconjugeerde binominaal gelijk is aan het verschil tussen de kwadraten van de termen van het binominaal:

(2a + 1) (2a -1) = (2a) ² - 1 ² = 4 a ² - 1

Voorbeeld 4

Schrijf het product (x + y + z) (x - y - z) als een verschil van vierkanten.

Antwoord: we kunnen de bovenstaande trinominalen assimileren met de geconjugeerde binominale vorm, waarbij we zorgvuldig gebruik maken van haakjes en vierkante haken:

(x + y + z) (x - y - z) =

Op deze manier kan het verschil in vierkanten worden toegepast:

(x + y + z) (x - y - z) =. = x ² - (y + z) ²

Voorbeeld 5

Druk het product (m ² - m -1). (M ² + m -1) uit als een verschil in vierkanten.

Antwoord : de vorige uitdrukking is het product van twee trinominalen. Het moet eerst worden herschreven als het product van twee geconjugeerde binominalen:

(m ² - m -1) (m ² + m -1) = (m ² - 1 - m) (m ² -1 + m) =.

We passen het feit toe dat het product van een binominaal door zijn conjugaat het kwadratische verschil is van zijn termen, zoals is uitgelegd:

. = (m ² -1) ² - m ²

Opdrachten

Zoals altijd begin je met de eenvoudigste oefeningen en verhoog je vervolgens de complexiteit.

- Oefening 1

Schrijf (9 - tot ² ) als een product.

Oplossing

Eerst herschrijven we de uitdrukking als een verschil in kwadraten om toe te passen wat eerder werd uitgelegd. Dus:

(9 - een ² ) = (3 ² - een ² )

Vervolgens tellen we mee, wat overeenkomt met het schrijven van dit verschil in vierkanten als een product, zoals gevraagd in de verklaring:

(9 - een ² ) = (3 ² - een ² ) = (3 + a) (3 -a)

- Oefening 2

Factor 16x ² - 9y ⁴ .

Oplossing

Factoring van een uitdrukking betekent dat u deze als een product schrijft. In dit geval is het nodig om de uitdrukking vooraf te herschrijven om een ​​verschil in kwadraten te verkrijgen.

Het is niet moeilijk om dit te doen, want als je goed kijkt, zijn alle factoren perfecte vierkanten. Bijvoorbeeld 16 is het kwadraat van 4, 9 is het kwadraat van 3, en ⁴ is het kwadraat van y ² en x ² is het kwadraat van x:

16x ² - 9y ⁴ = 4 ² x ² - 3 ² y ⁴ = 4 ² x ² - 3 ² (y ² ) ²

Vervolgens passen we toe wat we eerder al weten: dat een verschil in kwadraten het product is van geconjugeerde binominalen:

(4x) ² - (3 en ² ) ² = (4x - 3 en ² ). (4x + 3 en ² )

- Oefening 3

Schrijf (a - b) als een product van binomialen

Oplossing

Het bovenstaande verschil moet worden geschreven als verschillen in vierkanten

(√a) ² - (√b) ²

Vervolgens wordt toegepast dat het verschil in vierkanten het product is van de geconjugeerde binominalen

(√a - √b) (√a + √b)

- Oefening 4

Een van de toepassingen van de geconjugeerde binominale is de rationalisatie van algebraïsche uitdrukkingen. Deze procedure bestaat uit het elimineren van de wortels van de noemer van een fractionele uitdrukking, wat in veel gevallen de bewerkingen vergemakkelijkt. Er wordt gevraagd om de geconjugeerde binominale uitdrukking te gebruiken om de volgende uitdrukking te rationaliseren:

√ (2-x) /

Oplossing

Het eerste is om de geconjugeerde binominale waarde van de noemer te identificeren :.

Nu vermenigvuldigen we de teller en de noemer van de oorspronkelijke uitdrukking met de geconjugeerde binominale waarde:

√ (2-x) / {.}

In de noemer van de vorige uitdrukking herkennen we het product van een verschil door een som, waarvan we al weten dat het overeenkomt met het verschil van de kwadraten van de binominalen:

√ (2-x). / {(√3) ² - ² }

De noemer vereenvoudigen is:

√ (2-x). / = √ (2-x). / (1 - x)

Nu hebben we te maken met de teller, waarvoor we de distributieve eigenschap van het product zullen toepassen met betrekking tot de som:

√ (2-x). / (1 - x) = √ (6-3x) + √ / (1 - x)

In de vorige uitdrukking herkennen we het product van de binominale (2-x) door zijn geconjugeerde, wat het opmerkelijke product is dat gelijk is aan het verschil in vierkanten. Op deze manier wordt uiteindelijk een gerationaliseerde en vereenvoudigde uitdrukking verkregen:

/ (1 - x)

- Oefening 5

Ontwikkel het volgende product met behulp van de eigenschappen van de geconjugeerde binominale vorm:

.

Oplossing

4a ^{(2x + 6j)} - 9a ^{(2x - 6j)} = 4a ^(2x) .a ^(6j) - 9a ^(2x) .a ^(-6j) = .a ^(2x)

De oplettende lezer zal de gemeenschappelijke factor hebben opgemerkt die in kleur is gemarkeerd.

Referenties

1. Baldor, A. 1991. Algebra. Redactioneel Cultureel Venezolana SA
2. González J. Geconjugeerde binominale oefeningen. Hersteld van: academia.edu.
3. Wiskundeleraar Alex. Opmerkelijke producten. Opgehaald van youtube.com.
4. Math2me. Geconjugeerde binominale / opmerkelijke producten. Opgehaald van youtube.com.
5. Geconjugeerde binominale producten. Hersteld van: lms.colbachenlinea.mx.
6. Vitual. Geconjugeerde binomialen. Hersteld van: youtube.com.