DIMENSIONALE ANALYSE: TECHNIEKEN, PRINCIPE EN OEFENINGEN - FYSIEK - 2024

De dimensionale analyse is een hulpmiddel dat op grote schaal wordt gebruikt in verschillende takken van wetenschap en techniek om de verschijnselen die de aanwezigheid van verschillende fysische grootheden met zich meebrengen beter te begrijpen. De grootheden hebben afmetingen en hieruit worden de verschillende meeteenheden afgeleid.

De oorsprong van het concept van dimensie wordt gevonden in de Franse wiskundige Joseph Fourier, die het bedacht heeft. Fourier begreep ook dat om twee vergelijkingen vergelijkbaar te maken, ze homogeen moeten zijn met betrekking tot hun afmetingen. Met andere woorden: er kunnen geen meters bij kilo's worden opgeteld.

Dimensionale analyse is dus verantwoordelijk voor het bestuderen van de grootten, dimensies en homogeniteit van fysische vergelijkingen. Om deze reden wordt het vaak gebruikt om relaties en berekeningen te controleren, of om hypothesen te construeren over gecompliceerde vragen die later experimenteel kunnen worden getest.

Op deze manier is dimensionale analyse een perfect hulpmiddel om fouten in berekeningen te detecteren door de congruentie of inconsistentie van de gebruikte eenheden te controleren, waarbij speciale aandacht wordt besteed aan de eenheden van de eindresultaten.

Daarnaast wordt dimensionale analyse gebruikt om systematische experimenten te ontwerpen. Het maakt het mogelijk om het aantal noodzakelijke experimenten te verminderen en om de interpretatie van de verkregen resultaten te vergemakkelijken.

Een van de fundamentele grondslagen van dimensionale analyse is dat het mogelijk is om elke fysieke grootheid weer te geven als een product van de krachten van een kleinere hoeveelheid, ook wel fundamentele grootheden genoemd, waarvan de andere zijn afgeleid.

Fundamentele hoeveelheden en dimensionale formule

In de natuurkunde worden fundamentele grootheden beschouwd als de grootheden die het mogelijk maken dat de andere worden uitgedrukt als een functie hiervan. Volgens afspraak is gekozen voor: lengte (L), tijd (T), massa (M), intensiteit van elektrische stroom (I), temperatuur (θ), lichtsterkte (J) en hoeveelheid stof (N).

Integendeel, de rest wordt beschouwd als afgeleide grootheden. Enkele hiervan zijn: oppervlakte, volume, dichtheid, snelheid, versnelling, onder andere.

Een dimensionale formule wordt gedefinieerd als de wiskundige gelijkheid die de relatie weergeeft tussen een afgeleide grootheid en de fundamentele.

Dimensionale analysetechnieken

Er zijn verschillende technieken of methoden voor dimensionale analyse. Twee van de belangrijkste zijn de volgende:

Rayleigh-methode

Rayleigh, die samen met Fourier een van de voorlopers was van dimensionale analyse, ontwikkelde een directe en zeer eenvoudige methode waarmee we dimensieloze elementen kunnen verkrijgen. Bij deze methode worden de volgende stappen gevolgd:

1- De potentiële karakterfunctie van de afhankelijke variabele is gedefinieerd.

2- Elke variabele wordt gewijzigd door de bijbehorende afmetingen.

3- De vergelijkingen van homogeniteitstoestand worden opgesteld.

4- De np onbekenden zijn ingesteld.

5- De exponenten die zijn berekend en vastgelegd in de potentiaalvergelijking worden vervangen.

6- De groepen variabelen worden verplaatst om de dimensieloze getallen te definiëren.

Buckingham-methode

Deze methode is gebaseerd op de stelling van Buckingham of de pi-stelling, die het volgende stelt:

Als er een homogene dimensionale relatie is tussen een aantal "n" fysieke of variabele grootheden waarin "p" verschillende fundamentele dimensies zijn opgenomen, is er ook een dimensioneel homogene relatie tussen n - p, onafhankelijke dimensieloze groepen.

Dimensionaal homogeniteitsprincipe

Het Fourier-principe, ook bekend als het principe van dimensionale homogeniteit, beïnvloedt de juiste structurering van de uitdrukkingen die fysische grootheden algebraïsch koppelen.

Het is een principe dat wiskundige consistentie heeft en stelt dat de enige optie is het aftrekken of optellen van fysieke grootheden die van dezelfde aard zijn. Daarom is het niet mogelijk om een ​​massa met een lengte toe te voegen, noch een tijd met een oppervlak, enz.

Evenzo stelt het principe dat om de fysische vergelijkingen dimensionaal correct te laten zijn, het totaal van de termen van de leden van de twee zijden van de gelijkheid dezelfde dimensie moet hebben. Dit principe maakt het mogelijk om de samenhang van de fysische vergelijkingen te garanderen.

Gelijkenis principe

Het principe van gelijkenis is een uitbreiding van het dimensionale homogeniteitskarakter van fysische vergelijkingen. Het wordt als volgt verklaard:

Fysieke wetten blijven onveranderd wanneer ze worden geconfronteerd met veranderingen in de afmetingen (grootte) van een fysieke gebeurtenis in hetzelfde systeem van eenheden, of het nu gaat om veranderingen van reële of denkbeeldige aard.

De duidelijkste toepassing van het gelijkenisprincipe vindt plaats in de analyse van de fysische eigenschappen van een model gemaakt op kleinere schaal, om later de resultaten in het object op ware grootte te gebruiken.

Deze praktijk is essentieel op gebieden zoals het ontwerp en de fabricage van vliegtuigen en schepen en bij grote hydraulische werken.

Toepassingen

De vele toepassingen van dimensionale analyse omvatten de hieronder genoemde.

- Lokaliseer mogelijke fouten in de uitgevoerde bewerkingen

- Los problemen op waarvan de oplossing een onoverkomelijk wiskundig probleem oplevert.

- Ontwerp en analyseer kleinschalige modellen.

- Observeer hoe mogelijke wijzigingen een model beïnvloeden.

Dimensionale analyse wordt ook vrij vaak gebruikt bij de studie van vloeistofmechanica.

De relevantie van dimensionale analyse in de vloeistofmechanica is te wijten aan hoe moeilijk het is om vergelijkingen vast te stellen in bepaalde stromen en aan de moeilijkheid om ze op te lossen, dus het is onmogelijk om empirische verbanden te leggen. Om deze reden is het noodzakelijk om gebruik te maken van de experimentele methode.

Opgeloste oefeningen

Eerste oefening

Zoek de dimensionale vergelijking voor snelheid en versnelling.

Oplossing

Aangezien v = s / t, is het waar dat: = L / T = L ∙ T ^-1

Evenzo:

een = v / t

= L / T ² = L ∙ T ^-2

Tweede oefening

Bepaal de dimensionale vergelijking voor momentum.

Oplossing

Aangezien het momentum het product is van massa en snelheid, is het waar dat p = m ∙ v

Zo:

= M ∙ L / T = M ∙ L ∙ T ^-2

Referenties

1. Dimensionale analyse (nd). Op Wikipedia. Opgehaald op 19 mei 2018, via es.wikipedia.org.
2. Dimensionale analyse (nd). Op Wikipedia. Opgehaald op 19 mei 2018, via en.wikipedia.org.
3. Langhaar, HL (1951), Dimensionale analyse en theorie van modellen, Wiley.
4. Fidalgo Sánchez, José Antonio (2005). Natuurkunde en scheikunde . Everest
5. David C. Cassidy, Gerald James Holton, Floyd James Rutherford (2002). Fysica begrijpen. Birkhäuser.