TRINOMIAAL VAN DE VORM X ^ 2 + BX + C (MET VOORBEELDEN) - WISKUNDE

Voordat u leert de trinominale vorm x ^ 2 + bx + c op te lossen , en zelfs voordat u het concept van een trinominale kennis kent, is het belangrijk om twee essentiële begrippen te kennen; namelijk de begrippen monomiaal en polynoom. Een monomiaal is een uitdrukking van het type a * x ⁿ , waarbij a een rationaal getal is, n een natuurlijk getal en x een variabele.

Een polynoom is een lineaire combinatie van monomen in de vorm a _n * x ⁿ + a _n-1 * x ^n-1 +… + a ₂ * x ² + a ₁ * x + a ₀ , waarbij elk a _i , met i = 0, …, n, is een rationaal getal, n is een natuurlijk getal en a_n is niet nul. In dit geval wordt gezegd dat de graad van de polynoom n is.

Een polynoom gevormd door de som van slechts twee termen (twee monomen) van verschillende graden staat bekend als een binominaal.

Trinomials

Een polynoom gevormd door de som van slechts drie termen (drie monomen) van verschillende graden staat bekend als een trinominaal. De volgende zijn voorbeelden van trinominalen:

x ³ + x ² + 5x
2x ⁴ -x ³ +5
x ² + 6x + 3

Er zijn verschillende soorten trinominalen. Hiervan valt de perfecte vierkante trinominale op.

Perfect vierkant trinominaal

Een perfect vierkant trinominaal is het resultaat van het kwadrateren van een binominaal. Bijvoorbeeld:

(3x-2) ² = 9x ² -12x + 4
(2x ³ + Y) ² = 4x ⁶ + 4x ³ Y + Y ²
(4x ² -2j ⁴ ) ² = 16x ⁴ -16x ² jaar ⁴ + 4j ⁸
1 / 16x ² y ⁸ -1 / 2xy ⁴ z + z ² = (1 / 4xy ⁴ ) ² 2 (1 / 4xy ⁴ ) z + z ² = (1 / 4xy ⁴ -z) ²

Kenmerken van trinominalen van graad 2

Perfect vierkant

In het algemeen is een trinominaal met de vorm ax ² + bx + c een perfect vierkant als zijn discriminant gelijk is aan nul; dat wil zeggen, als b ² -4ac = 0, aangezien het in dit geval een enkele wortel zal hebben en het kan worden uitgedrukt in de vorm a (xd) ² = (√a (xd)) ² , waarbij d de reeds genoemde wortel is.

Een wortel van een polynoom is een getal waarin de polynoom nul wordt; met andere woorden, een getal dat, wanneer x in de polynoomuitdrukking wordt vervangen, resulteert in nul.

Formule oplossen

Een algemene formule voor het berekenen van de wortels van een tweedegraads polynoom met de vorm ax ² + bx + c is de oplossende formule, die stelt dat deze wortels worden gegeven door (–b ± √ (b ² -4ac)) / 2a, waarbij b ² -4ac bekend staat als de discriminant en meestal wordt aangeduid met ∆. Uit deze formule volgt dat ax ² + bx + c heeft:

- Twee verschillende echte wortels als ∆> 0.

- Een enkele echte wortel als ∆ = 0.

- Het heeft geen echte wortel als ∆ <0.

In wat volgt, zullen alleen trinominalen in de vorm x ² + bx + c worden beschouwd, waarbij c duidelijk een ander getal dan nul moet zijn (anders zou het een binominaal zijn). Dit soort trinominalen hebben bepaalde voordelen bij het factureren en ermee werken.

Geometrische interpretatie

Geometrisch trinomial x ² + bx + c is een parabool die naar boven opent en heeft de vertex in punt (b / 2, -b ² /4 + c) van het platte vlak dat x ² + bx + c = ( x + b / 2) ² -b ² /4 + c.

Deze parabool snijdt de Y-as op het punt (0, c) en de X-as op de punten (d ₁ , 0) en (d ₂ , 0); dan zijn d ₁ en d ₂ de wortels van de trinominale. Het kan gebeuren dat de trinominale wortel een enkele wortel d heeft, in welk geval de enige snede met de X-as (d, 0) zou zijn.

Het kan ook gebeuren dat de trinominale wortel geen echte wortel heeft, in welk geval hij de X-as op geen enkel punt zou snijden.

Bijvoorbeeld, x ² + 6x + 9 = (x + 3) ² -9 + 9 = (x + 3) ² is de parabool met hoekpunt op (-3,0), waarbij de Y-as (0 snijdt, 9) en naar de X-as op (-3,0).

Trinominale factoring

Een erg handig hulpmiddel bij het werken met polynomen is factoring, dat bestaat uit het uitdrukken van een polynoom als een product van factoren. In het algemeen, gegeven een trinominale vorm x ² + bx + c, als deze twee verschillende wortels d ₁ en d _{2 heeft} , kan deze worden meegerekend als (xd ₁ ) (xd ₂ ).

Als het een enkele wortel d heeft, kan het worden ontbonden als (xd) (xd) = (xd) ² , en als het geen echte wortel heeft, blijft het hetzelfde; in dit geval laat het een factorisatie niet toe als een product van andere factoren dan zichzelf.

Dit betekent dat, als je de wortels van een trinominaal in de reeds gevestigde vorm kent, de factorisatie ervan gemakkelijk kan worden uitgedrukt, en zoals hierboven al vermeld, kunnen deze wortels altijd worden bepaald met behulp van het resolvent.

Er is echter een aanzienlijk aantal van dit soort trinominalen waarmee rekening kan worden gehouden zonder eerst hun wortels te kennen, wat het werk vereenvoudigt.

De wortels kunnen direct worden bepaald uit de factorisatie zonder de oplossende formule te gebruiken; dit zijn de polynomen in de vorm x ² + (a + b) x + ab. In dit geval hebben we:

x ² + (a + b) x + ab = x ² + ax + bx + ab = x (x + a) + b (x + a) = (x + b) (x + a).

Hieruit is gemakkelijk te zien dat de wortels –a en –b zijn.

Met andere woorden, gegeven een trinominale x ² + bx + c, als er twee getallen u en v zijn zodat c = uv en b = u + v, dan x ² + bx + c = (x + u) (x + v).

Dat wil zeggen, gegeven een trinominale x ² + bx + c, wordt eerst geverifieerd of er twee getallen zijn zodat vermenigvuldigd de onafhankelijke term (c) wordt gegeven en opgeteld (of afgetrokken, afhankelijk van het geval), geven ze de term die bij de x hoort ( b).

Niet bij alle trinominalen kan deze methode op deze manier worden toegepast; waarin het niet mogelijk is, wordt het besluit gebruikt en geldt het voorgaande.

Voorbeelden

voorbeeld 1

Om de volgende trinominale x ² + 3x + 2 te ontbinden , gaat u als volgt te werk:

U moet twee getallen vinden, zodat het resultaat bij het optellen 3 is en het resultaat bij het vermenigvuldigen 2.

Na inspectie kan worden geconcludeerd dat de gezochte nummers zijn: 2 en 1. Daarom x ² + 3x + 2 = (x + 2) (x + 1).

Voorbeeld 2

Om de trinominale x ² -5x + 6 te ontbinden, zoeken we naar twee getallen waarvan de som -5 is en hun product 6. De getallen die aan deze twee voorwaarden voldoen, zijn -3 en -2. Daarom is de factorisatie van de gegeven trinominaal x ² -5x + 6 = (x-3) (x-2).

Referenties

Fuentes, A. (2016). BASIS WISKUNDE. Een inleiding tot calculus. Lulu.com.
Garo, M. (2014). Wiskunde: kwadratische vergelijkingen: hoe een kwadratische vergelijking oplossen. Marilù Garo.
Haeussler, EF en Paul, RS (2003). Wiskunde voor management en economie. Pearson Education.
Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Wiskunde 1 SEP. Drempel.
Preciado, CT (2005). Wiskundecursus 3e. Redactioneel Progreso.
Rock, NM (2006). Algebra I is gemakkelijk! Zo makkelijk. Team Rock Press.
Sullivan, J. (2006). Algebra en trigonometrie. Pearson Education.

TRINOMIAAL VAN DE VORM X ^ 2 + BX + C (MET VOORBEELDEN) - WISKUNDE - 2025