STELLING VAN NORTON: BESCHRIJVING, TOEPASSINGEN, VOORBEELDEN EN OEFENINGEN - FYSIEK - 2025

De stelling Norton , toegepast op elektrische circuits, stelt een lineaire keten met twee klemmen a en b, kunnen worden vervangen door een ander volledig equivalent is, bestaande uit een stroombron oproep _niet parallel aan een weerstand R _No .

De genoemde stroom I _Nee of I _N is degene die tussen de punten a en b zou vloeien als ze zouden worden kortgesloten. De weerstand R _N is de equivalente weerstand tussen de aansluitingen, wanneer alle onafhankelijke bronnen worden uitgeschakeld. Alles wat is gezegd, is weergegeven in figuur 1.

Figuur 1. Norton-equivalent circuit. Bron: Wikimedia Commons. Drumkid

De zwarte doos in de figuur bevat het lineaire circuit dat moet worden vervangen door zijn Norton-equivalent. Een lineair circuit is er een waarin de input en de output een lineaire afhankelijkheid hebben, zoals de relatie tussen de spanning V en de gelijkstroom I in een ohms element: V = IR

Deze uitdrukking komt overeen met de wet van Ohm, waarbij R de weerstand is, die ook een impedantie kan zijn, als het een wisselstroomcircuit is.

De stelling van Norton is ontwikkeld door de elektrotechnisch ingenieur en uitvinder Edward L. Norton (1898-1983), die lange tijd voor Bell Labs heeft gewerkt.

Toepassingen van de stelling van Norton

Als je zeer gecompliceerde netwerken hebt, met veel weerstanden of impedanties en je wilt de spanning tussen elk ervan berekenen, of de stroom die er doorheen stroomt, dan vereenvoudigt de stelling van Norton de berekeningen, aangezien zoals we hebben gezien, het netwerk kan worden vervangen door een kleiner en beter beheersbaar circuit.

Op deze manier is de stelling van Norton erg belangrijk bij het ontwerpen van circuits met meerdere elementen, en om de respons ervan te bestuderen.

Verband tussen de stellingen van Norton en Thevenin

De stelling van Norton is de tweeledige stelling van Thevenin, wat betekent dat ze equivalent zijn. De stelling van Thevenin stelt dat de zwarte doos in figuur 1 kan worden vervangen door een spanningsbron in serie met een weerstand, de Thevenin-weerstand R _Th . Dit komt tot uiting in de volgende figuur:

Figuur 2. Origineel circuit aan de linkerkant, en zijn Thévenin en Norton-equivalenten. Bron: F. Zapata.

Het circuit aan de linkerkant is het originele circuit, het lineaire netwerk in de zwarte doos, circuit A rechtsboven is het Thevenin-equivalent en circuit B is het Norton-equivalent, zoals beschreven. Gezien vanaf de terminals a en b, zijn de drie circuits equivalent.

Merk nu op dat:

-In het oorspronkelijke circuit is de spanning tussen de klemmen V _ab .

-V _ab = V _Th in circuit A

-Tot slot, V _ab = I _N .R _N in circuit B

Als de klemmen a en b in alle drie de circuits worden kortgesloten, moet ervoor worden gezorgd dat de spanning en stroom tussen deze punten voor alle drie hetzelfde moeten zijn, aangezien ze equivalent zijn. Zo:

-In het originele circuit is de stroom i.

-Voor circuit A is de stroom i = V _Th / R _Th , volgens de wet van Ohm.

- Eindelijk in circuit B, de stroom is I _N

Daarom wordt geconcludeerd dat de Norton- en Thevenin-weerstanden dezelfde waarde hebben, en dat de stroom wordt gegeven door:

ik = ik _N = V _Th / R _Th = V _Th / R _N

Voorbeeld

Om de stelling van Norton correct toe te passen, worden de volgende stappen gevolgd:

- Isoleer van het netwerk het gedeelte van het circuit waarvoor het Norton-equivalent te vinden is.

- Geef in het overige circuit de klemmen a en b aan.

-Vervang de spanningsbronnen voor kortsluiting en de stroombronnen voor open circuits om de equivalente weerstand tussen klemmen a en b te vinden. Dit is R _N .

-Breng alle bronnen terug naar hun oorspronkelijke posities, sluit de klemmen kort en vind de stroom die ertussen circuleert. Dit is I _N .

-Teken het Norton-equivalentcircuit volgens wat is aangegeven in figuur 1. Zowel de stroombron als de equivalente weerstand zijn parallel.

De stelling van Thevenin kan ook worden toegepast om R _Th te vinden _, waarvan we al weten dat het gelijk is aan R _N , en volgens de wet van Ohm kunnen we I _{N vinden} en doorgaan met het tekenen van het resulterende circuit.

En laten we nu een voorbeeld bekijken:

Zoek het Norton-equivalent tussen de punten A en B van het volgende circuit:

Figuur 3. Voorbeeldcircuit. Bron: F. Zapata.

Het deel van de schakeling waarvan het equivalent te vinden is, is al geïsoleerd. En punten A en B zijn duidelijk bepaald. Het volgende is om de 10 V-bron kort te sluiten en de equivalente weerstand van het verkregen circuit te vinden:

Figuur 4. Kortgesloten bron. Bron: F. Zapata.

Gezien vanaf de klemmen A en B zijn beide weerstanden R ₁ en R ₂ parallel, dus:

1 / R _eq = 1 / R ₁₂ = (1/4) + (1/6) Ω ^-1 = 5/12 Ω ^-1 → R _eq = 12/5 Ω = 2,4 Ω

Dan is de bron terug en de punten A en B worden kortgesloten om actuele daar stroomt, dit zal ik _N . In dat geval:

Figuur 5. Circuit om Norton-stroom te berekenen. Bron: F. Zapata.

IK _N = 10 V / 4 Ω = 2,5 EEN

Norton-equivalent

Ten slotte wordt het Norton-equivalent getekend met de gevonden waarden:

Figuur 6. Norton-equivalent van het circuit in figuur 3. Bron: F. Zapata.

Oefening opgelost

In het circuit van de volgende afbeelding:

Figuur 7. Circuit voor de opgeloste oefening. Bron: Alexander, C. 2006. Grondbeginselen van elektrische schakelingen. 3e. Editie. Mc Graw Hill.

a) Zoek het Norton-equivalentcircuit van het externe netwerk naar de blauwe weerstand.

b) Vind ook het Thévenin-equivalent.

Oplossing voor

Door de bovenstaande stappen te volgen, moet de bron worden kortgesloten:

Figuur 8. Bron kortgesloten in het circuit van figuur 7. Bron: F. Zapata.

RN-berekening

Gezien vanaf de aansluitingen A en B, is de weerstand R ₃ in serie met de parallel gevormd door de weerstanden R ₁ en R ₂ , laten we eerst de equivalente weerstand van deze parallel berekenen:

En dan is deze parallel in serie met R _3, dus de equivalente weerstand is:

Dit is de waarde van zowel R _N als R _Th , zoals eerder uitgelegd.

IN berekening

Terminals A en B worden dan kortgesloten, waardoor de bron op zijn plaats terugkeert:

Figuur 9. Circuits om de Norton-stroom te vinden. Bron: F. Zapata.

De stroom door I ₃ is de gezochte stroom I _N , die kan worden bepaald met de mesh-methode of met behulp van series en parallel. In deze schakeling R ₂ en R ₃ zijn parallel:

Weerstand R ₁ is in serie met deze parallel, dan:

De stroom die uit de bron komt (blauwe kleur) wordt berekend met behulp van de wet van Ohm:

Deze stroom wordt verdeeld in twee delen: één, die door R passeert ₂ en een andere, die door R passeert ₃ . De stroom die door parallelle R geeft ₂₃ is dezelfde die passeert door R ₁ , zoals te zien in de tussenkring in de figuur. De spanning daar is:

Beide weerstanden R ₂ en R ₃ hebben die spanning, omdat ze parallel zijn, daarom:

We hebben al de Norton-stroom gezocht, aangezien zoals eerder gezegd I ₃ = I _N , dan:

Norton-equivalent

Alles is klaar om het Norton-equivalent van dit circuit tussen punten A en B te tekenen:

Figuur 10. Norton-equivalent van het circuit in figuur 7. Bron: F. Zapata.

Oplossing b

Het vinden van het Thévenin-equivalent is heel eenvoudig, aangezien R _Th = R _N = 6 Ω en zoals uitgelegd in de voorgaande secties:

V _Th = I _N . R _N = 1 A. 6 Ω = 6 V

Het equivalentcircuit van Thévenin is:

Figuur 11. Thevenin equivalent van het circuit in figuur 7. Bron: F. Zapata.

Referenties

1. Alexander, C. 2006. Grondbeginselen van elektrische schakelingen. 3e. Editie. Mc Graw Hill.
2. Boylestad, R. 2011. Inleiding tot circuitanalyse. 2e. Editie. Pearson.
3. Dorf, R. 2006. Inleiding tot elektrische schakelingen. 7e. Editie. John Wiley & Sons.
4. Edminister, J. 1996. Electrical Circuits. Schaum-serie. 3e. Editie. Mc Graw Hill.
5. Wikipedia. De stelling van Norton. Hersteld van: es.wikipedia.org.