TELTECHNIEKEN: TECHNIEKEN, TOEPASSINGEN, VOORBEELDEN, OEFENINGEN - DUDAS - 2026

De teltechnieken zijn een reeks kansmethoden om het aantal mogelijke arrangementen binnen een set of meerdere sets objecten te tellen. Deze worden gebruikt wanneer het handmatig afrekenen ingewikkeld wordt vanwege het grote aantal objecten en / of variabelen.

De oplossing voor dit probleem is bijvoorbeeld heel simpel: stel je voor dat je baas je vraagt ​​om de nieuwste producten te tellen die het afgelopen uur zijn aangekomen. In dat geval kunt u de producten een voor een gaan tellen.

Stel je echter voor dat het probleem het volgende is: je baas vraagt ​​je te tellen hoeveel groepen van 5 producten van hetzelfde type kunnen worden gevormd met de producten die het afgelopen uur zijn aangekomen. In dit geval is de berekening ingewikkeld. Voor dit soort situaties worden de zogenaamde teltechnieken gebruikt.

Deze technieken zijn divers, maar de belangrijkste zijn onderverdeeld in twee basisprincipes, namelijk het multiplicatieve en het additieve; permutaties en combinaties.

Multiplicatief principe

Toepassingen

Het multiplicatieve principe, samen met het additief, zijn fundamenteel om de werking van teltechnieken te begrijpen. In het geval van de multiplicatieve, bestaat deze uit het volgende:

Laten we ons een activiteit voorstellen die een specifiek aantal stappen omvat (we markeren het totaal als “r”), waarbij de eerste stap kan worden gedaan op N1-manieren, de tweede stap in N2 en de stap “r” op Nr-manieren. In dit geval zou de activiteit kunnen worden uitgevoerd op basis van het aantal vormen dat resulteert uit deze bewerking: N1 x N2 x ……… .x Nr vormen

Daarom wordt dit principe multiplicatief genoemd, en het houdt in dat alle stappen die nodig zijn om de activiteit uit te voeren, na elkaar moeten worden uitgevoerd.

Voorbeeld

Laten we ons een persoon voorstellen die een school wil bouwen. Bedenk hierbij dat de basis van het gebouw op twee verschillende manieren kan worden gebouwd, cement of beton. Wat betreft de muren, ze kunnen zijn gemaakt van adobe, cement of baksteen.

Wat het dak betreft, het kan zijn gemaakt van cement of gegalvaniseerde plaat. Ten slotte kan het uiteindelijke schilderen maar op één manier worden gedaan. De vraag die opkomt is de volgende: op hoeveel manieren moet hij de school bouwen?

Eerst kijken we naar het aantal treden: de basis, de muren, het dak en de verf. In totaal 4 stappen, dus r = 4.

Het volgende zou zijn om de N's op te sommen:

N1 = manieren om de basis te bouwen = 2

N2 = manieren om de muren te bouwen = 3

N3 = manieren om het dak te maken = 2

N4 = manieren van schilderen = 1

Daarom wordt het aantal mogelijke vormen berekend met behulp van de hierboven beschreven formule:

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 manieren om naar school te gaan.

Additief principe

Toepassingen

Dit principe is heel eenvoudig en bestaat erin dat, in het geval dat er meerdere alternatieven zijn om dezelfde activiteit uit te voeren, de mogelijke manieren bestaan ​​uit de som van de verschillende mogelijke manieren om alle alternatieven uit te voeren.

Met andere woorden, als we een activiteit willen uitvoeren met drie alternatieven, waarbij het eerste alternatief kan worden gedaan op M-manieren, het tweede op N-manieren en de laatste op W-manieren, kan de activiteit worden gedaan in: M + N + ……… + W-vormen.

Voorbeeld

Laten we ons deze keer eens een persoon voorstellen die een tennisracket wil kopen. Om dit te doen, heb je drie merken om uit te kiezen: Wilson, Babolat of Head.

Als je naar de winkel gaat, zie je dat het Wilson racket te koop is met het handvat in twee verschillende maten, L2 of L3 in vier verschillende modellen en dat het bespannen of ongespannen kan worden.

Het Babolat racket daarentegen heeft drie handvatten (L1, L2 en L3), er zijn twee verschillende modellen en het kan ook bespannen of ongespannen worden.

Het Head-racket, van zijn kant, is alleen met één handvat, de L2, in twee verschillende modellen en alleen onbespannen. De vraag is: op hoeveel manieren moet deze persoon zijn racket kopen?

M = Aantal manieren om een ​​Wilson-racket te selecteren

N = Aantal manieren om een ​​Babolat-racket te selecteren

W = Aantal manieren om een ​​Head-racket te selecteren

We passen het vermenigvuldigingsprincipe toe:

M = 2 x 4 x 2 = 16 vormen

N = 3 x 2 x 2 = 12 manieren

W = 1 x 2 x 1 = 2 manieren

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 manieren om een ​​racket te kiezen.

Om te weten wanneer je het vermenigvuldigingsprincipe en het additief moet gebruiken, hoef je alleen maar te kijken of de activiteit een reeks stappen moet uitvoeren en of er meerdere alternatieven zijn, het additief.

Permutaties

Toepassingen

Om te begrijpen wat een permutatie is, is het belangrijk om uit te leggen wat een combinatie is, zodat u ze kunt onderscheiden en weet wanneer u ze moet gebruiken.

Een combinatie zou een arrangement van elementen zijn waarin we niet geïnteresseerd zijn in de positie die elk van hen inneemt.

Een permutatie zou daarentegen een arrangement van elementen zijn waarin we geïnteresseerd zijn in de positie die elk van hen inneemt.

Laten we een voorbeeld geven om het verschil beter te begrijpen.

Voorbeeld

Laten we ons een klas voorstellen met 35 studenten, en met de volgende situaties:

1. De leraar wil dat drie van zijn leerlingen hem helpen het klaslokaal schoon te houden of materiaal uitdelen aan de andere leerlingen wanneer dat nodig is.
2. De leraar wil de afgevaardigden van de klas (een president, een assistent en een financier) aanwijzen.

De oplossing zou de volgende zijn:

1. Laten we ons voorstellen dat Juan, María en Lucía door middel van stemming worden gekozen om de klas schoon te maken of de materialen af ​​te leveren. Vanzelfsprekend hadden er onder de 35 mogelijke studenten nog andere groepen van drie gevormd kunnen worden.

We moeten onszelf het volgende afvragen: is de volgorde of positie van elke student belangrijk bij het selecteren van hen?

Als we erover nadenken, zien we dat het echt niet belangrijk is, aangezien de groep de twee taken in gelijke mate zal uitvoeren. In dit geval is het een combinatie, aangezien we niet geïnteresseerd zijn in de positie van de elementen.

1. Laten we ons nu eens voorstellen dat Juan wordt gekozen als president, Maria als assistent en Lucia als financier.

Zou de bestelling in dit geval van belang zijn? Het antwoord is ja, want als we de elementen veranderen, verandert het resultaat. Dat wil zeggen, als we Juan niet als president aanwijzen, maar hem als assistent en María als president, zou het uiteindelijke resultaat veranderen. In dit geval is het een permutatie.

Zodra het verschil is begrepen, gaan we de formules verkrijgen voor de permutaties en combinaties. Maar eerst moeten we de term "n!" (ene faculteit), aangezien het in de verschillende formules zal worden gebruikt.

n! = het product van 1 tot n.

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… ..xn

Gebruik het met echte cijfers:

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 10 = 3.628.800

5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 5 = 120

De formule voor de permutaties zou de volgende zijn:

nPr = n! / (nr)!

Hiermee kunnen we de arrangementen achterhalen waarbij de volgorde belangrijk is en waar de n elementen anders zijn.

Combinaties

Toepassingen

Zoals we eerder hebben opgemerkt, zijn de combinaties de arrangementen waarbij de positie van de elementen ons niets kan schelen.

De formule is de volgende:

nCr = n! / (nr)! r!

Voorbeeld

Als er 14 studenten zijn die vrijwilligerswerk willen doen om de klas schoon te maken, hoeveel schoonmaakgroepen kunnen er dan worden gevormd als elke groep uit 5 personen moet bestaan?

De oplossing zou daarom de volgende zijn:

n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 - 5)! 5! = 14! / 9! 5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = 2002 groepen

Opgeloste oefeningen

Oefening 1

Bron: Pixabay.com

Natalia wordt door haar moeder gevraagd om naar een kruidenierswinkel te gaan en een frisdrank voor haar te kopen om af te koelen. Wanneer Natalia de receptionist om iets te drinken vraagt, vertelt hij haar dat er vier smaken frisdrank zijn, drie soorten en drie maten.

De smaken van frisdrank kunnen zijn: cola, citroen, sinaasappel en munt.

De soorten cola kunnen zijn: normaal, suikervrij, cafeïnevrij.

De maten kunnen zijn: klein, middelgroot en groot.

Natalia's moeder gaf niet aan wat voor soort frisdrank ze wilde.Op hoeveel manieren moet Natalia de drank kopen?

Oplossing

M = Maat en typenummer die u kunt selecteren bij het kiezen van de cola.

N = aantal maat en type dat u kunt selecteren bij het kiezen van de citroensoda.

W = Maat en typenummer die u kunt selecteren bij het kiezen van de sinaasappelsoda.

Y = maat en typenummer dat u kunt selecteren bij het kiezen van uw muntsoda.

We passen het vermenigvuldigingsprincipe toe:

M = 3 × 3 = 9 manieren

N = 3 × 3 = 9 manieren

W = 3 × 3 = 9 manieren

Y = 3 × 3 = 9 manieren

M + N + W + Y = 9 + 9 + 9 + 9 = 36 manieren om de frisdrank te selecteren.

Oefening 2

Bron: pixabay.com

Een sportclub adverteert met gratis toegankelijke workshops voor kinderen om te leren schaatsen. Er zijn 20 kinderen ingeschreven, dus besluiten ze om ze in twee groepen van tien personen te verdelen, zodat de instructeurs de lessen comfortabeler kunnen geven.

Op hun beurt besluiten ze te tekenen in welke groep elk kind zal vallen. Hoeveel verschillende groepen kan een kind binnenkomen?

Oplossing

In dit geval is de manier om een ​​antwoord te vinden het gebruik van de combinatietechniek, waarvan de formule was: nCr = n! / (Nr)! R!

n = 20 (aantal kinderen)

r = 10 (groepsgrootte)

20C10 = 20! / (20 - 10)! 10! = 20! / 10! 10! = 20 x 19 x 18 x 17 x 16 x 15x 14x 13x 12x 11x 10! / 10! 10! = 184.756 groepen.

Referenties

1. Jeffrey, RC, Probability and the Art of Judgement, Cambridge University Press. (1992).
2. William Feller, "An Introduction to Probability Theory and Its Applications", (Vol 1), 3e druk, (1968), Wiley
3. Finetti, Bruno de (1970). "Logische grondslagen en meting van subjectieve waarschijnlijkheid". Acta Psychologica.
4. Hogg, Robert V .; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004). Inleiding tot wiskundige statistiek (6e ed.). Upper Saddle River: Pearson.
5. Franklin, J. (2001) The Science of Conjecture: Evidence and Probability Before Pascal, Johns Hopkins University Press.