EMPIRISCHE REGEL: HOE HET TOE TE PASSEN, WAAR HET VOOR IS, OPGELOSTE OEFENINGEN - DUDAS - 2026

Een vuistregel is het resultaat van praktijkervaring en observatie uit de praktijk. Zo is het mogelijk om te weten welke vogelsoorten op bepaalde plaatsen op elk moment van het jaar kunnen worden waargenomen en uit die waarneming kan een "regel" worden opgesteld die de levenscycli van deze vogels beschrijft.

In statistieken verwijst de empirische regel naar hoe waarnemingen worden gegroepeerd rond een centrale waarde, het gemiddelde of gemiddelde, in eenheden van standaarddeviatie.

Stel dat we een groep mensen hebben met een gemiddelde lengte van 1,62 meter en een standaarddeviatie van 0,25 meter, dan zouden we met de empirische regel bijvoorbeeld kunnen bepalen hoeveel mensen zich in een interval van de gemiddelde plus of min één standaarddeviatie bevinden?

Volgens de regel is 68% van de gegevens min of meer een standaarddeviatie van het gemiddelde, dat wil zeggen dat 68% van de mensen in de groep een lengte heeft tussen 1,37 (1,62-0,25) en 1,87 (1,62 + 0,25). ) meter.

Waar komt de empirische regel vandaan?

De empirische regel is een veralgemening van de Tchebyshev-stelling en de normale verdeling.

De stelling van Tchebyshev

De stelling van Tchebyshev zegt dat: voor een waarde van k> 1, de kans dat een willekeurige variabele ligt tussen het gemiddelde minus k keer de standaarddeviatie en het gemiddelde plus k keer, de standaarddeviatie groter is dan of gelijk aan ( 1 - 1 / k ² ).

Het voordeel van deze stelling is dat deze wordt toegepast op discrete of continue willekeurige variabelen met elke kansverdeling, maar de regel die eruit wordt gedefinieerd is niet altijd erg nauwkeurig, aangezien deze afhangt van de symmetrie van de verdeling. Hoe asymmetrischer de verdeling van de willekeurige variabele, des te minder aangepast aan de regel zal zijn gedrag zijn.

De empirische regel gedefinieerd op basis van deze stelling is:

Als k = √2, wordt gezegd dat 50% van de gegevens zich in het interval bevinden:

Als k = 2, zou 75% van de gegevens zich in het interval bevinden:

Als k = 3, zou 89% van de gegevens zich in het interval bevinden:

Normale verdeling

De normale verdeling, of Gaussiaanse bel, maakt het mogelijk om de empirische regel of regel 68 - 95 - 99 vast te stellen.

De regel is gebaseerd op de waarschijnlijkheid van voorkomen van een willekeurige variabele in intervallen tussen het gemiddelde minus één, twee of drie standaarddeviaties en het gemiddelde plus één, twee of drie standaarddeviaties.

De empirische regel definieert de volgende intervallen:

68,27% van de gegevens bevinden zich in het interval:

95,45% van de gegevens bevindt zich in het interval:

99,73% van de gegevens bevindt zich in het interval:

In de figuur kunt u zien hoe deze intervallen worden gepresenteerd en de relatie daartussen bij het vergroten van de breedte van de basis van de grafiek.

Empirische regel. Melikamp De standaardisatie van de willekeurige variabele, dat wil zeggen de uitdrukking van de willekeurige variabele in termen van de z of standaard normaalvariabele, vereenvoudigt het gebruik van de empirische regel, aangezien de variabele z een gemiddelde heeft dat gelijk is aan nul en een standaarddeviatie gelijk aan één. .

Daarom definieert de toepassing van de empirische regel op schaal van een standaard normaalvariabele, z, de volgende intervallen:

68,27% van de gegevens bevinden zich in het interval:

95,45% van de gegevens bevindt zich in het interval:

99,73% van de gegevens bevindt zich in het interval:

Hoe de empirische regel toepassen?

De empirische regel maakt verkorte berekeningen mogelijk bij het werken met een normale verdeling.

Stel dat een groep van 100 studenten een gemiddelde leeftijd heeft van 23 jaar, met een standaarddeviatie van 2 jaar. Welke informatie laat de empirische regel toe?

Het toepassen van de empirische regel omvat de volgende stappen:

1- Construeer de intervallen van de regel

Omdat het gemiddelde 23 is en de standaarddeviatie 2, zijn de intervallen:

= =

= =

= =

2- Bereken het aantal studenten in elk interval volgens de percentages

(100) * 68,27% = 68 studenten ongeveer

(100) * 95,45% = 95 studenten ongeveer

(100) * 99,73% = ongeveer 100 studenten

3- Leeftijdsintervallen worden geassocieerd met het aantal studenten en interpreteren

Minstens 68 studenten zijn tussen de 21 en 25 jaar.

Minstens 95 studenten zijn tussen de 19 en 27 jaar oud.

Bijna 100 studenten zijn tussen de 17 en 29 jaar oud.

Waar is de vuistregel voor?

De empirische regel is een snelle en praktische manier om statistische gegevens te analyseren, en wordt steeds betrouwbaarder naarmate de distributie symmetrie nadert.

Het nut ervan hangt af van het veld waarin het wordt gebruikt en de vragen die worden gesteld. Het is erg handig om te weten dat het voorkomen van waarden van drie standaarddeviaties onder of boven het gemiddelde bijna onwaarschijnlijk is, zelfs voor niet-normale verdelingsvariabelen, bevindt ten minste 88,8% van de gevallen zich in het drie sigma-interval.

In de sociale wetenschappen is een over het algemeen sluitend resultaat het bereik van het gemiddelde plus of min twee sigma (95%), terwijl in de deeltjesfysica een nieuw effect een interval van vijf sigma (99,99994%) vereist om als een ontdekking te worden beschouwd.

Opgeloste oefeningen

Konijnen in het reservaat

In een natuurreservaat leven naar schatting gemiddeld 16.000 konijnen met een standaarddeviatie van 500 konijnen. Als de verdeling van de variabele 'aantal konijnen in de reserve' onbekend is, is het dan mogelijk om de kans te schatten dat de konijnenpopulatie tussen de 15.000 en 17.000 konijnen ligt?

Het interval kan in deze termen worden weergegeven:

15000 = 16000 - 1000 = 16000 - 2 (500) = µ - 2 s

17000 = 16000 + 1000 = 16000 + 2 (500) = µ + 2 s

Daarom: =

Als we de stelling van Tchebyshev toepassen, is er een kans van ten minste 0,75 dat de konijnenpopulatie in het natuurreservaat tussen de 15.000 en 17.000 konijnen ligt.

Gemiddeld gewicht van kinderen in een land

Het gemiddelde gewicht van eenjarige kinderen in een land wordt normaal verdeeld met een gemiddelde van 10 kilogram en een standaarddeviatie van ongeveer 1 kilogram.

a) Schat het percentage eenjarige kinderen in het land met een gemiddeld gewicht tussen 8 en 12 kilogram.

8 = 10 - 2 = 10 - 2 (1) = µ - 2 s

12 = 10 + 2 = 10 + 2 (1) = µ + 2 s

Daarom: =

Volgens de empirische regel kan worden gesteld dat 68,27% van de eenjarige kinderen in het land tussen de 8 en 12 kilogram weegt.

b) Wat is de kans om een ​​kind van één jaar te vinden dat 7 kilogram of minder weegt?

7 = 10 - 3 = 10 - 3 (1) = µ - 3 s

Het is bekend dat 7 kilogram gewicht de waarde µ - 3s vertegenwoordigt, en het is ook bekend dat 99,73% van de kinderen tussen de 7 en 13 kilogram wegen. Dat laat slechts 0,27% van het totale aantal kinderen over voor de extremen. De helft daarvan, 0,135%, weegt 7 kilogram of minder en de andere helft, 0,135%, is 11 kilogram of meer.

Er kan dus worden geconcludeerd dat er een kans is van 0,00135 dat een kind 7 kilogram of minder weegt.

c) Als de bevolking van het land 50 miljoen inwoners bereikt en 1-jarige kinderen 1% van de bevolking van het land vertegenwoordigen, hoeveel eenjarige kinderen wegen dan tussen de 9 en 11 kilogram?

9 = 10 - 1 = µ - s

11 = 10 + 1 = µ + s

Daarom: =

Volgens de empirische regel zit 68,27% van de eenjarigen in het land in het interval

Er zijn 500.000 eenjarigen in het land (1% van 50 miljoen), dus 341.350 kinderen (68,27% van 500.000) wegen tussen de 9 en 11 kilogram.

Referenties

1. Abraira, V. (2002). Standaarddeviatie en standaardfout. Semergen Magazine. Hersteld van web.archive.org.
2. Freund, R.; Wilson, W.; Mohr, D. (2010). Statistische methoden. Derde ed. Academische pers-Elsevier Inc.
3. Alicante-server (2017). Empirische regel (statistische termen). Hersteld van glosarios.servidor-alicante.com.
4. Lind, D.; Marchal, W.; Wathen, S. (2012). Statistieken toegepast op het bedrijfsleven en de economie. Vijftiende ed. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
5. Salinas, H. (2010). Statistieken en kansen. Opgehaald van uda.cl.
6. Sokal, R.; Rohlf, F. (2009). Inleiding tot biostatistiek. Tweede ed. Dover publicaties, Inc.
7. Spiegel, M. (1976). Waarschijnlijkheid en statistieken. Schaum-serie. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
8. Spiegel, M .; Stephens, L. (2008). Statistieken. Vierde ed. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
9. Stat119 recensie (2019). Vragen over empirische regels oplossen. Opgehaald van stat119review.com.
10. (2019). 68-95-99.7 regel. Opgehaald van en.wikipedia.org.