WAT IS RANGSCHIKKING IN STATISTIEKEN? (MET VOORBEELDEN) - DUDAS - 2026

Het bereik , bereik of amplitude, in statistieken, is het verschil (aftrekken) tussen de maximale waarde en de minimale waarde van een set gegevens van een steekproef of een populatie. Als het bereik wordt weergegeven door de letter R en de gegevens worden weergegeven door x, is de formule voor het bereik eenvoudig:

R = x _max - x _min

Waar x _max is de maximale waarde van de gegevens en x _min is het minimum.

Figuur 1. Gegevensbereik dat overeenkomt met de bevolking van Cádiz in de afgelopen twee eeuwen. Bron: Wikimedia Commons.

Het concept is erg handig als een eenvoudige maat voor spreiding om snel de variabiliteit van de gegevens te beoordelen, aangezien het de verlenging of lengte aangeeft van het interval waarin deze worden gevonden.

Stel dat de lengte van een groep van 25 mannelijke eerstejaars technische studenten aan een universiteit wordt gemeten. De langste leerling in de groep is 1,93 m en de kortste 1,67 m. Dit zijn de extreme waarden van de voorbeeldgegevens, daarom is hun pad:

R = 1,93 - 1,67 m = 0,26 m of 26 cm.

De lengte van de leerlingen in deze groep wordt over dit bereik verdeeld.

Voor-en nadelen

Bereik is, zoals we eerder zeiden, een maatstaf voor hoe verspreid de gegevens zijn. Een klein bereik geeft aan dat de gegevens min of meer dichtbij zijn en dat de spreiding laag is. Aan de andere kant is een groter bereik een indicatie dat de gegevens meer verspreid zijn.

De voordelen van het berekenen van het bereik liggen voor de hand: het is heel gemakkelijk en snel te vinden, omdat het een simpel verschil is.

Het heeft ook dezelfde eenheden als de gegevens waarmee het werkt en het concept is voor elke waarnemer heel gemakkelijk te interpreteren.

In het voorbeeld van de lengte van ingenieursstudenten, als het bereik 5 cm was geweest, zouden we zeggen dat de studenten allemaal ongeveer even groot zijn. Maar met een bereik van 26 cm gaan we er meteen vanuit dat er leerlingen van alle tussenliggende hoogtes in de steekproef zitten. Is deze aanname altijd correct?

Nadelen van bereik als maat voor spreiding

Als we goed kijken, kan het zijn dat in onze steekproef van 25 ingenieursstudenten er slechts één 1,93 is en de overige 24 een hoogte hebben van bijna 1,67 m.

En toch blijft het bereik hetzelfde, al is het omgekeerde perfect mogelijk: dat de hoogte van de meerderheid ongeveer 1,90 m is en slechts één 1,67 m.

In beide gevallen is de verdeling van de gegevens behoorlijk verschillend.

De nadelen van bereik als maat voor spreiding zijn dat het alleen extreme waarden gebruikt en alle andere negeert. Aangezien de meeste informatie verloren gaat, heeft u geen idee hoe de voorbeeldgegevens worden verdeeld.

Een ander belangrijk kenmerk is dat het bereik van de sample nooit afneemt. Als we meer informatie toevoegen, dat wil zeggen dat we meer gegevens overwegen, wordt het bereik groter of blijft hetzelfde.

En in elk geval is het alleen nuttig bij het werken met kleine monsters, het enige gebruik ervan als maat voor de verspreiding in grote monsters wordt niet aanbevolen.

Wat moet worden gedaan, is het aan te vullen met de berekening van andere maten van spreiding die wel rekening houden met de informatie die door de totale gegevens wordt verstrekt: interkwartielbereik, variantie, standaarddeviatie en variatiecoëfficiënt.

Interkwartielbereik, kwartielen en uitgewerkt voorbeeld

We hebben ons gerealiseerd dat de zwakte van het bereik als maat voor spreiding is dat het alleen gebruik maakt van de extreme waarden van de datadistributie en de andere weglaat.

Om dit ongemak te voorkomen, worden kwartielen gebruikt: drie waarden die positiematen worden genoemd.

Ze verdelen de niet-gegroepeerde gegevens in vier delen (andere veelgebruikte positiematen zijn decielen en percentielen). Dit zijn de kenmerken:

-Het eerste kwartiel Q ₁ is de waarde van de gegevens zodat 25% van alle gegevens kleiner is dan Q ₁ .

-Het tweede kwartiel Q ₂ is de mediaan van de verdeling, wat betekent dat de helft (50%) van de gegevens kleiner is dan deze waarde.

- Ten slotte geeft het derde kwartiel Q ₃ aan dat 75% van de gegevens kleiner is dan Q ₃ .

Vervolgens wordt het interkwartielbereik of interkwartielbereik gedefinieerd als het verschil tussen het derde kwartiel Q ₃ en het eerste kwartiel Q ₁ van de gegevens:

Interkwartielbereik = R _Q = Q ₃ - Q ₁

Op deze manier wordt de waarde van het bereik R _Q niet zo beïnvloed door extreme waarden. Om deze reden is het raadzaam om het te gebruiken bij scheve distributies, zoals die van zeer lange of zeer korte studenten die hierboven zijn beschreven.

- Berekening van kwartielen

Er zijn verschillende manieren om ze te berekenen, hier zullen we er een voorstellen, maar het is in ieder geval nodig om het volgnummer "N _o " te kennen, de plaats die het respectieve kwartiel inneemt in de verdeling.

Dat wil zeggen, als bijvoorbeeld de term die overeenkomt met Q ₁ de tweede, de derde of de vierde enzovoort van de verdeling is.

Eerste kwartiel

N _of (Q ₁ ) = (N + 1) / 4

Tweede kwartiel of mediaan

N _of (Q ₂ ) = (N + 1) / 2

Derde kwartiel

N _of (Q ₃ ) = 3 (N + 1) / 4

Waar N het aantal gegevens is.

De mediaan is de waarde die precies in het midden van de verdeling ligt. Als het aantal gegevens oneven is, is het geen probleem om het te vinden, maar als het even is, worden de twee centrale waarden gemiddeld om één te worden.

Nadat het bestelnummer is berekend, wordt een van deze drie regels gevolgd:

-Als er geen decimalen zijn, worden de gegevens die in de verdeling zijn aangegeven doorzocht en wordt dit het gezochte kwartiel.

-Als het volgnummer halverwege tussen twee ligt, wordt het gemiddelde van de gegevens die worden aangegeven door het gehele deel met de volgende gegevens, en het resultaat is het overeenkomstige kwartiel.

-In alle andere gevallen wordt het afgerond op het dichtstbijzijnde gehele getal en dat is de positie van het kwartiel.

Uitgewerkt voorbeeld

Op een schaal van 0 tot 20 behaalde een groep van 16 wiskunde I-leerlingen de volgende cijfers (punten) op een tussentijds examen:

16, 10, 12, 8, 9, 15, 18, 20, 9, 11, 1, 13, 17, 9, 10, 14

Vind:

a) Het bereik of bereik van de gegevens.

b) De waarden van de kwartielen Q ₁ en Q ₃

c) Het interkwartielbereik.

Figuur 2. Hebben de scores op deze rekentoets zoveel variabiliteit? Bron: Pixabay.

Oplossing voor

Het eerste dat u moet doen om de route te vinden, is de gegevens in oplopende of aflopende volgorde te ordenen. Zo heb je in oplopende volgorde:

1, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20

Gebruik de formule die aan het begin is gegeven: R = x _max - x _min

R = 20 - 1 punten = 19 punten.

Volgens het resultaat hebben deze beoordelingen een grote spreiding.

Oplossing b

N = 16

N _of (Q ₁ ) = (N + 1) / 4 = (16 + 1) / 4 = 17/4 = 4,25

Het is een getal met decimalen, waarvan het gehele deel 4 is. Dan gaan we naar de verdeling, we zoeken de gegevens die op de vierde plaats staan ​​en de waarde wordt gemiddeld met die van de vijfde positie. Omdat ze allebei 9 zijn, is het gemiddelde ook 9 en dus:

Q ₁ = 9

Nu herhalen we de procedure om Q ₃ te vinden :

N _of (Q ₃ ) = 3 (N + 1) / 4 = 3 (16 +1) / 4 = 12,75

Het is weer een decimaal, maar aangezien het niet halverwege is, wordt het afgerond op 13. Het gezochte kwartiel staat op de dertiende positie en is:

Q ₃ = 16

Oplossing c

R _Q = Q ₃ - Q ₁ = 16 - 9 = 7 punten.

Wat, zoals we kunnen zien, veel kleiner is dan het bereik van gegevens berekend in sectie a), omdat de minimumscore 1 punt was, een waarde veel verder van de rest.

Referenties

1. Berenson, M. 1985. Statistieken voor management en economie. Interamericana SA
2. Canavos, G. 1988. Waarschijnlijkheid en statistiek: toepassingen en methoden. McGraw Hill.
3. Devore, J. 2012. Waarschijnlijkheid en statistiek voor techniek en wetenschap. 8e. Editie. Cengage.
4. Voorbeelden van kwartielen. Hersteld van: matematicas10.net.
5. Levin, R. 1988. Statistieken voor beheerders. 2e. Editie. Prentice Hall.
6. Walpole, R. 2007. Waarschijnlijkheid en statistiek voor techniek en wetenschappen. Pearson.