THEORETISCHE KANS: HOE JE HET KRIJGT, VOORBEELDEN, OEFENINGEN - DUDAS - 2026

De theoretische (of Laplace) kans dat een gebeurtenis E optreedt die behoort tot een steekproefruimte S, waarin alle gebeurtenissen dezelfde kans op voorkomen hebben, wordt in wiskundige notatie gedefinieerd als: P (E) = n (E) / NS)

Waarin P (E) de kans is, gegeven als het quotiënt tussen het totale aantal mogelijke uitkomsten van gebeurtenis E, die we n (E) noemen, gedeeld door het totale aantal N (S) mogelijke uitkomsten in de steekproefruimte S.

Figuur 1. Bij de worp met een zeszijdige dobbelsteen is de theoretische kans dat de kop met drie punten bovenaan staat ⅙. Bron: Pixabay.

De theoretische kans is een reëel getal tussen 0 en 1, maar wordt vaak uitgedrukt als een percentage, in welk geval de kans een waarde tussen 0% en 100% zal zijn.

Het berekenen van de kans dat een gebeurtenis plaatsvindt, is erg belangrijk op veel gebieden, zoals handel, verzekeringsmaatschappijen, gokken en nog veel meer.

Hoe de theoretische kans te krijgen?

Een illustratief geval is het geval van loterijen of loterijen. Stel dat er 1.000 loten worden uitgegeven om een ​​smartphone te verloten. Omdat de trekking willekeurig wordt gedaan, heeft elk van de tickets een gelijke kans om te winnen.

Om de kans te vinden dat een persoon die een kaartje koopt met het nummer 81 een winnaar is, wordt de volgende theoretische kansberekening uitgevoerd:

P (1) = 1 / 1.000 = 0,001 = 0,1%

Het bovenstaande resultaat wordt als volgt geïnterpreteerd: als de trekking oneindig vaak zou worden herhaald, zou gemiddeld elke 1.000 keer kaart 81 één keer worden geselecteerd.

Als iemand om de een of andere reden alle tickets verwerft, is het zeker dat hij of zij de prijs wint. De kans om de prijs te winnen als je alle tickets hebt, wordt als volgt berekend:

P (1.000) = 1.000 / 1.000 = 1 = 100%.

Dat wil zeggen dat waarschijnlijkheid 1 of 100% betekent dat het volkomen zeker is dat dit resultaat zal optreden.

Als iemand 500 tickets bezit, zijn de kansen om te winnen of te verliezen hetzelfde. De theoretische kans om de prijs te winnen wordt in dit geval als volgt berekend:

P (500) = 500 / 1.000 = ½ = 0,5 = 50%.

Wie geen ticket koopt, maakt geen kans om te winnen en zijn theoretische waarschijnlijkheid wordt als volgt bepaald:

P (0) = 0 / 1.000 = 0 = 0%

Voorbeelden

voorbeeld 1

Je hebt een munt met een gezicht aan de ene kant en een schild of zegel aan de andere kant. Wanneer de munt wordt opgegooid, wat is dan de theoretische kans dat hij naar boven komt?

P (gezicht) = n (gezicht) / N (gezicht + afscherming) = ½ = 0,5 = 50%

Het resultaat wordt als volgt geïnterpreteerd: als er een groot aantal worpen zou worden gemaakt, zou er gemiddeld bij elke 2 worpen één ervan met de kop omhoog komen.

In procenten uitgedrukt is de interpretatie van het resultaat dat door een oneindig groot aantal worpen te maken, gemiddeld van de 100 van de 50 in hoofden zouden resulteren.

Voorbeeld 2

In een doos zitten 3 blauwe knikkers, 2 rode knikkers en 1 groene. Wat is de theoretische kans dat wanneer je een knikker uit de doos haalt, deze rood wordt?

Figuur 2. Kans op extractie van gekleurde knikkers. Bron: F. Zapata.

De kans dat het rood uitkomt is:

P (rood) = aantal gunstige gevallen / aantal mogelijke gevallen

Het is te zeggen:

P (rood) = aantal rode knikkers / totaal aantal knikkers

Ten slotte is de kans dat een rode knikker wordt getrokken:

P (rood) = 2/6 = ⅓ = 0,3333 = 33,33%

Terwijl de kans dat bij het tekenen van een groene knikker is:

P (groen) = ⅙ = 0,1666 = 16,66%

Ten slotte is de theoretische kans om een ​​blauwe knikker te verkrijgen bij een blinde extractie:

P (blauw) = 3/6 = ½ = 0,5 = 50%

Dat wil zeggen, voor elke 2 pogingen zal het resultaat blauw zijn in een van hen en een andere kleur in een andere poging, onder de veronderstelling dat het geëxtraheerde marmer wordt vervangen en dat het aantal pogingen heel, heel groot is.

Opdrachten

Oefening 1

Bepaal de kans dat het rollen van een dobbelsteen een waarde krijgt die kleiner is dan of gelijk is aan 4.

Oplossing

Om de kans te berekenen dat deze gebeurtenis zich voordoet, wordt de definitie van theoretische kans toegepast:

P (≤4) = aantal gunstige gevallen / aantal mogelijke gevallen

P (≤5) = 5/6 = = 83,33%

Oefening 2

Zoek de kans dat 5 op twee opeenvolgende rollen van een normale zeszijdige dobbelsteen 2 keer zal rollen.

Oplossing

Om deze oefening te beantwoorden, maakt u een tabel om alle mogelijkheden te laten zien. Het eerste cijfer geeft het resultaat van de eerste dobbelsteen aan en het tweede het resultaat van de andere.

Om de theoretische kans te berekenen hebben we het totale aantal mogelijke gevallen nodig, in dit geval, zoals te zien is in de vorige tabel, zijn er 36 mogelijkheden.

Ook als we de tabel observeren, kan worden afgeleid dat het aantal gevallen dat gunstig is voor het evenement dat in de twee opeenvolgende lanceringen uitkomt 5 slechts 1 is, gemarkeerd met kleur, daarom is de kans dat deze gebeurtenis zich voordoet:

P (5 x 5) = 1/36.

Dit resultaat had ook kunnen worden bereikt door een van de eigenschappen van theoretische waarschijnlijkheid te gebruiken, die stelt dat de gecombineerde waarschijnlijkheid van twee onafhankelijke gebeurtenissen het product is van hun individuele waarschijnlijkheden.

In dit geval is de kans dat de eerste toss met 5 wordt gegooid ⅙. De tweede worp is volledig onafhankelijk van de eerste, daarom is de kans dat 5 wordt gegooid in de tweede ook ⅙. Dus de gecombineerde kans is:

P (5 × 5) = P (5) P (5) = (1/6) (1/6) = 1/36.

Oefening 3

Zoek de kans dat een getal kleiner dan 2 wordt gegooid bij de eerste worp en een getal groter dan 2 wordt gegooid bij de tweede.

Oplossing

Nogmaals, er moet een tabel met mogelijke gebeurtenissen worden samengesteld, waarbij die waarin de eerste worp minder dan 2 was en in de tweede meer dan 2 zijn onderstreept.

In totaal zijn er 4 mogelijkheden op een totaal van 36. Dat wil zeggen, de kans op deze gebeurtenis is:

P (<2;> 2) = 4/36 = 1/9 = 0,1111 = 11,11%

Met behulp van de kansrekening die stelt:

Hetzelfde resultaat wordt verkregen:

P (<2) P (> 2) = (1/6) (4/6) = 4/36 = 0,1111 = 11,11%

De waarde die met deze procedure wordt verkregen, komt overeen met het vorige resultaat, door middel van de theoretische of klassieke definitie van waarschijnlijkheid.

Oefening 4

Wat is de kans dat bij het gooien van twee dobbelstenen de som van de waarden 7 is.

Oplossing

Om in dit geval de oplossing te vinden is een tabel met mogelijkheden opgesteld waarin de cases die voldoen aan de voorwaarde dat de som van de waarden 7 is, in kleur zijn aangegeven.

Als we naar de tabel kijken, kunnen 6 mogelijke gevallen worden geteld, dus de kans is:

P (I + II: 7) = 6/36 = 1/6 = 0,1666 = 16,66%

Referenties

1. Canavos, G. 1988. Waarschijnlijkheid en statistiek: toepassingen en methoden. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Waarschijnlijkheid en statistiek voor techniek en wetenschap. 8e. Editie. Cengage.
3. Lipschutz, S. 1991. Schaum Series: Probability. McGraw Hill.
4. Obregón, I. 1989. Kansrekening. Redactioneel Limusa.
5. Walpole, R. 2007. Waarschijnlijkheid en statistiek voor techniek en wetenschappen. Pearson.