PERMUTATIES ZONDER HERHALING: FORMULES, BEWIJZEN, OEFENINGEN, VOORBEELDEN - DUDAS - 2026

Een permutatie zonder herhaling van n elementen zijn de verschillende groepen van verschillende elementen die kunnen worden verkregen door geen enkel element te herhalen, alleen door de volgorde van plaatsing van de elementen te variëren.

Om het aantal permutaties zonder herhaling te achterhalen, wordt de volgende formule gebruikt:

Pn = n!

Welke uitgebreid zou zijn Pn = n! = n (n - 1) (n - 2)… (2) (1).

Dus in het vorige praktijkvoorbeeld zou het als volgt worden toegepast:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 verschillende 4-cijferige getallen.

Dit zijn de in totaal 24 arrays: 2468, 2486, 2648, 2684, 2846, 2864, 4268, 4286, 4628, 4682, 4826, 4862, 6248, 6284, 6428, 6482, 6824, 6842, 8246, 8264, 8426, 8462, 8624, 8642.

Zoals te zien is er in ieder geval geen herhaling, namelijk 24 verschillende nummers.

Demo en formules

24 arrangementen van 4 verschillende figuren

We gaan meer specifiek het voorbeeld analyseren van de 24 verschillende 4-cijferige arrays die gevormd kunnen worden met de cijfers van het getal 2468. Het aantal arrays (24) kan als volgt bekend worden:

Je hebt 4 opties om het eerste cijfer te selecteren, dat laat 3 opties over om het tweede te selecteren. Er zijn al twee cijfers ingesteld en er zijn nog 2 opties over voor het selecteren van het derde cijfer. Het laatste cijfer heeft slechts één selectieoptie.

Daarom wordt het aantal permutaties, aangeduid met P4, verkregen door het product van de selectie-opties in elke positie:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 verschillende 4-cijferige getallen

Over het algemeen is het aantal verschillende permutaties of arrangementen dat kan worden uitgevoerd met alle n elementen van een bepaalde set:

Pn = n! = n (n - 1) (n - 2)… (2) (1)

De uitdrukking n! het staat bekend als n faculteit en betekent het product van alle natuurlijke getallen die tussen het getal n en het getal één liggen, inclusief beide.

12 arrangementen van 2 verschillende figuren

Stel nu dat u het aantal permutaties of tweecijferige getallen wilt weten dat kan worden gevormd met de cijfers van het getal 2468.

Dit zouden in totaal 12 arrangementen zijn: 24, 26, 28, 42, 46, 48, 62, 64, 68, 82, 84, 86

Je hebt 4 opties om het eerste cijfer te selecteren, er blijven 3 cijfers over om het tweede te selecteren. Daarom wordt het aantal permutaties van de 4 cijfers twee aan twee genomen, aangeduid met 4P2, verkregen door het product van de selectie-opties in elke positie:

4P2 = 4 * 3 = 12 verschillende 2-cijferige getallen

Over het algemeen is het aantal verschillende permutaties of arrangementen dat kan worden uitgevoerd met r elementen van de n in totaal in een bepaalde set:

nPr = n (n - 1) (n - 2) …

De bovenstaande uitdrukking wordt afgekapt voordat n! Wordt afgespeeld. Om n te voltooien! daaruit zouden we moeten schrijven:

n! = n (n - 1) (n - 2) … (n - r) … (2) (1)

De factoren die we toevoegen, vertegenwoordigen op hun beurt een faculteit:

(n - r)… (2) (1) = (n - r)!

Dus,

n! = n (n - 1) (n - 2) … (n - r) … (2) (1) = n (n - 1) (n - 2) … (n - r)!

Vanaf hier

n! / (n - r)! = n (n - 1) (n - 2)… = nPr

Voorbeelden

voorbeeld 1

Hoeveel verschillende 5-lettercombinaties van letters kunnen worden geconstrueerd met de letters van het woord KEY?

We willen het aantal verschillende lettercombinaties van 5 letters vinden dat kan worden opgebouwd met de 5 letters van het woord KEY; dat wil zeggen, het aantal arrays van 5 letters dat alle letters omvat die beschikbaar zijn in het woord KEY.

Aantal 5 letterwoorden = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 verschillende 5-lettercombinaties.

Dit zijn: CLAVE, VELAC, LCAEV, VLEAC, ECVLAC… tot 120 verschillende lettercombinaties in totaal.

Voorbeeld 2

Je hebt 15 genummerde ballen en je wilt weten hoeveel verschillende groepen van 3 ballen kunnen worden gebouwd met de 15 genummerde ballen?

U wilt het aantal groepen van 3 ballen vinden dat gemaakt kan worden met de 15 genummerde ballen.

Aantal groepen van 3 ballen = 15P3 = 15! / (15 - 3)!

Aantal groepen van 3 ballen = 15 * 14 * 13 = 2730 groepen van 3 ballen

Opgeloste oefeningen

Oefening 1

Een fruitwinkel heeft een beursstand die bestaat uit een rij compartimenten in de inkomhal van het pand. In één dag verwerft de groenteman te koop: sinaasappels, bananen, ananas, peren en appels.

a) Op hoeveel verschillende manieren moet u de beursstand bestellen?

b) Op hoeveel verschillende manieren moet je de stand bestellen als je naast het genoemde fruit (5), op die dag mango's, perziken, aardbeien en druiven (4) hebt gekregen?

a) We willen het aantal verschillende manieren vinden om al het fruit in de weergaveregel te bestellen; dat wil zeggen, het aantal arrangementen van 5 fruitartikelen waarbij al het fruit dat op die dag te koop is, is betrokken.

Aantal standarrangementen = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Aantal standopstellingen = 120 manieren om de stand te presenteren

b) We willen het aantal verschillende manieren vinden om al het fruit in de weergaveregel te bestellen als er 4 extra items zijn toegevoegd; dat wil zeggen, het aantal arrangementen van 9 fruitartikelen waarbij al het fruit dat op die dag te koop is, is betrokken.

Aantal standarrangementen = P9 = 9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Aantal standopstellingen = 362.880 manieren om de stand te presenteren

Oefening 2

Een kleine eetgelegenheid heeft veel grond met voldoende ruimte om 6 voertuigen te parkeren.

a) Hoeveel verschillende manieren om de voertuigen op het perceel te bestellen kunnen worden geselecteerd?

b) Stel dat een aaneengesloten perceel grond wordt verworven waarvan de afmetingen het mogelijk maken om 10 voertuigen te parkeren, hoeveel verschillende vormen van voertuigopstelling kunnen nu worden geselecteerd?

a) We willen het aantal verschillende manieren vinden om de 6 voertuigen te bestellen die op het perceel kunnen worden gehuisvest.

Aantal opstellingen van de 6 voertuigen = P6 = 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Aantal opstellingen van de 6 voertuigen = 720 verschillende manieren om de 6 voertuigen op het perceel te bestellen.

b) We willen het aantal verschillende manieren vinden om de 10 voertuigen te bestellen die op het perceel kunnen worden gehuisvest na de uitbreiding van het perceel.

Aantal opstellingen van de 10 voertuigen = P10 = 10!

Aantal voertuigopstellingen = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Aantal opstellingen van de 10 voertuigen = 3.628.800 verschillende manieren om de 10 voertuigen op het perceel te bestellen.

Oefening 3

Een bloemist heeft bloemen van 6 verschillende kleuren om bloemenvlaggen te maken van landen die maar 3 kleuren hebben. Als bekend is dat de volgorde van kleuren belangrijk is in de vlaggen,

a) Hoeveel verschillende vlaggen van 3 kleuren kunnen worden gemaakt met de 6 beschikbare kleuren?

b) De verkoper koopt bloemen van 2 extra kleuren naast de 6 die hij al had, hoeveel verschillende vlaggen van 3 kleuren kunnen er nu gemaakt worden?

c) Aangezien u 8 kleuren heeft, besluit u uw assortiment vlaggen uit te breiden Hoeveel verschillende 4-kleuren vlaggen kunt u maken?

d) Hoeveel van 2 kleuren?

a) We willen het aantal verschillende vlaggen van 3 kleuren vinden dat gemaakt kan worden door een keuze te maken uit de 6 beschikbare kleuren.

Aantal 3-kleurenvlaggen = 6P3 = 6! / (6 - 3)!

Aantal 3-kleurenvlaggen = 6 * 5 * 4 = 120 vlaggen

b) U wilt het aantal verschillende vlaggen van 3 kleuren vinden dat gemaakt kan worden door een keuze te maken uit de 8 beschikbare kleuren.

Aantal 3-kleurenvlaggen = 8P3 = 8! / (8 - 3)!

Aantal 3-kleurenvlaggen = 8 * 7 * 6 = 336 vlaggen

c) Het aantal verschillende 4-kleurenvlaggen dat kan worden gemaakt door een keuze te maken uit de 8 beschikbare kleuren, moet worden berekend.

Aantal 4-kleurenvlaggen = 8P4 = 8! / (8 - 4)!

Aantal 4-kleurenvlaggen = 8 * 7 * 6 * 5 = 1680 vlaggen

d) U wilt het aantal verschillende 2-kleurige vlaggen bepalen dat gemaakt kan worden door een keuze te maken uit de 8 beschikbare kleuren.

Aantal 2-kleurenvlaggen = 8P2 = 8! / (8 - 2)!

Aantal 2-kleurenvlaggen = 8 * 7 = 56 vlaggen

Referenties

1. Boada, A. (2017). Gebruik van permutatie met herhaling als het aanleren van experimenten. Vivat Academia Magazine. Opgehaald van researchgate.net.
2. Canavos, G. (1988). Waarschijnlijkheid en statistieken. Toepassingen en methoden. McGraw-Hill / Interamericana de México SA de CV
3. Glas, G.; Stanley, J. (1996). Statistische methoden die niet worden toegepast op de sociale wetenschappen. Prentice Hall Hispanoamericana SA
4. Spiegel, M .; Stephens, L. (2008). Statistieken. Vierde ed. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
5. Walpole, R.; Myers, R.; Myers, S.; Ja, Ka. (2007). Waarschijnlijkheid en statistieken voor ingenieurs en wetenschappers. Achtste ed. Pearson Education International Prentice Hall.
6. Webster, A. (2000). Statistieken toegepast op het bedrijfsleven en de economie. Derde ed. McGraw-Hill / Interamericana SA
7. (2019). Permutatie. Opgehaald van en.wikipedia.org.