CIRCULAIRE PERMUTATIES: BEWIJS, VOORBEELDEN, OPGELOSTE OEFENINGEN - DUDAS - 2025

De cirkelvormige permutaties zijn verschillende soorten groeperingen van alle elementen van een set, wanneer ze in cirkels moeten worden gerangschikt. Bij dit type permutatie is de volgorde van belang en worden de elementen niet herhaald.

Stel dat u het aantal verschillende reeksen cijfers één tot en met vier wilt weten, waarbij u elk getal op een van de hoekpunten van een ruit plaatst. Dit zouden in totaal 6 arrangementen zijn:

Het moet niet worden verward dat de nummer één in alle gevallen als een vaste positie in de bovenste positie van de ruit staat. Circulaire permutaties worden niet veranderd door de rotatie van de array. De volgende zijn een enkele of dezelfde permutatie:

Demo en formules

In het voorbeeld van de verschillende 4-cijferige cirkelvormige arrays die zich op de hoekpunten van een ruit bevinden, kan het aantal arrays (6) als volgt worden gevonden:

1- Elk van de vier cijfers wordt als startpunt bij een van de hoekpunten genomen en gaat verder naar het volgende hoekpunt. (het maakt niet uit of het met de klok mee of tegen de klok in wordt gedraaid)

2- Er zijn 3 opties over om het tweede hoekpunt te selecteren, dan zijn er 2 opties om het derde hoekpunt te selecteren en er is natuurlijk maar één selectieoptie voor het vierde hoekpunt.

3- Aldus wordt het aantal cirkelvormige permutaties, aangeduid met (4 - 1) P (4 - 1), verkregen door het product van de selectieopties in elke positie:

(4 - 1) P (4 - 1) = 3 * 2 * 1 = 6 verschillende 4-cijferige cirkelvormige arrays.

Over het algemeen is het aantal circulaire permutaties dat kan worden bereikt met alle n elementen van een set:

(n - 1) P (n - 1) = (n - 1)! = (n - 1) (n - 2)… (2) (1)

Merk op dat (n - 1)! Het staat bekend als n faculteit en verkort het product van alle getallen van het getal (n - 1) tot en met het getal één.

Voorbeelden

voorbeeld 1

Op hoeveel verschillende manieren moeten 6 mensen aan een ronde tafel zitten?

U wilt het aantal verschillende manieren vinden waarop 6 personen rond een ronde tafel kunnen zitten.

Aantal manieren om te zitten = (6 - 1) P (6 - 1) = (6 - 1)!

Aantal manieren om te zitten = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 verschillende manieren

Voorbeeld 2

Op hoeveel verschillende manieren hebben 5 mensen om zich op de hoekpunten van een vijfhoek te plaatsen?

Er wordt gezocht naar het aantal manieren waarop 5 mensen op elk van de hoekpunten van een vijfhoek kunnen worden gelokaliseerd.

Aantal manieren om te worden gelokaliseerd = (5 - 1) P (5 - 1) = (5 - 1)!

Aantal manieren om te worden gevonden = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 verschillende manieren

Opgeloste oefeningen

- Oefening 1

Een juwelier verwerft 12 verschillende edelstenen om ze te plaatsen in de punten van de uren van een klok die hij aan het voorbereiden is namens het koninklijk huis van een Europees land.

a) Op hoeveel verschillende manieren moet hij de stenen op de klok rangschikken?

b) Hoeveel verschillende vormen heeft het als de steen die naar 12 uur gaat uniek is?

c) Hoeveel verschillende vormen als de steen op 12 uur uniek is en de stenen op de andere drie windstreken, 3, 6 en 9 uur; Zijn er drie specifieke stenen die kunnen worden uitgewisseld, en de rest van de uren wordt toegewezen aan de rest van de stenen?

Oplossingen

a) Er wordt gevraagd naar het aantal manieren waarop alle stenen op de omtrek van de klok kunnen worden gerangschikt; dat wil zeggen, het aantal circulaire arrangementen met alle beschikbare stenen.

Aantal arrangementen op de klok = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!

Aantal reparaties op de klok = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Aantal arrangementen op de klok = 39976800 verschillende vormen

b) Hij vraagt ​​zich af hoeveel verschillende manieren van ordenen er zijn, wetende dat de steen op de 12-uurshandgreep uniek en vast is; dat wil zeggen, het aantal cirkelvormige arrangementen met de resterende 11 stenen.

Aantal arrangementen op de klok = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!

Aantal fixes op de klok = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Aantal arrangementen op de klok = 3.628.800 verschillende vormen

c) Ten slotte wordt gezocht naar het aantal manieren om alle stenen te ordenen, behalve de steen van 12 uur die is bevestigd, de stenen van 3, 6 en 9 die 3 stenen hebben die aan elkaar moeten worden toegewezen; dat wil zeggen, 3! arrangement mogelijkheden, en het aantal cirkelvormige arrangementen met de overige 8 stenen.

Aantal fixes in de klok = 3! * = 3! * (8–1)!

Aantal arrangementen in de klok = (3 * 2 * 1) (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

Aantal arrangementen op de klok = 241920 verschillende vormen

- Oefening 2

De stuurgroep van een bedrijf bestaat uit 8 leden die vergaderen aan een ovale tafel.

a) Hoeveel verschillende arrangementen rond de tafel heeft de commissie?

b) Stel dat de voorzitter in een commissie-arrangement aan het hoofd van de tafel zit, hoeveel verschillende arrangementen heeft de rest van de commissie?

c) Stel dat de vice-president en de secretaris aan weerszijden van de president zitten in een commissie-arrangement, hoeveel verschillende arrangementen heeft de rest van de commissie?

Oplossingen

a) We willen het aantal verschillende manieren vinden om de 12 leden van de commissie rond de ovale tafel te rangschikken.

Aantal commissieregelingen = (12 - 1) P (12 - 1) = (12 - 1)!

Aantal commissieregelingen = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Aantal commissieregelingen = 39976800 verschillende formulieren

b) Omdat de commissievoorzitter zich op een vaste plaats bevindt, wordt gezocht naar het aantal manieren om de overige 11 commissieleden rond de ovale tafel te ordenen.

Aantal commissieregelingen = (11 - 1) P (11 - 1) = (11 - 1)!

Aantal commissieregelingen = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Aantal commissieregelingen = 3.628.800 verschillende formulieren

c) De president bevindt zich op een vaste positie en aan de zijkanten bevinden zich de vice-president en de secretaris met twee mogelijkheden: vice-president aan de rechterkant en secretaris aan de linkerkant of vice-president aan de linkerkant en secretaris aan de rechterkant. Dan wil je het aantal verschillende manieren vinden om de overige 9 leden van de commissie rond de ovale tafel te rangschikken en te vermenigvuldigen met de 2 vormen van arrangementen die de vice-president en de secretaris hebben.

Aantal commissieregelingen = 2 * = 2 *

Aantal commissieregelingen = 2 * (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)

Aantal commissieregelingen = 80640 verschillende vormen

Referenties

1. Boada, A. (2017). Gebruik van permutatie met herhaling als het aanleren van experimenten. Vivat Academia Magazine. Opgehaald van researchgate.net.
2. Canavos, G. (1988). Waarschijnlijkheid en statistieken. Toepassingen en methoden. McGraw-Hill / Interamericana de México SA de CV
3. Glas, G.; Stanley, J. (1996). Statistische methoden die niet worden toegepast op de sociale wetenschappen. Prentice Hall Hispanoamericana SA
4. Spiegel, M .; Stephens, L. (2008). Statistieken. Vierde ed. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
5. Walpole, R.; Myers, R.; Myers, S.; Ja, Ka. (2007). Waarschijnlijkheid en statistieken voor ingenieurs en wetenschappers. Achtste ed. Pearson Education International Prentice Hall.
6. Webster, A. (2000). Statistieken toegepast op het bedrijfsleven en de economie. Derde ed. McGraw-Hill / Interamericana SA
7. Wikipedia. (2019). Permutatie. Opgehaald van en.wikipedia.org.