POISSONVERDELING: FORMULES, VERGELIJKINGEN, MODEL, EIGENSCHAPPEN - DUDAS - 2025

De Poisson-verdeling is een discrete kansverdeling, waarmee het mogelijk is om de kans te kennen dat binnen een grote steekproefomvang en gedurende een bepaald interval een gebeurtenis met een kleine kans zal optreden.

Vaak kan de Poisson-verdeling worden gebruikt in plaats van de binominale verdeling, zolang aan de volgende voorwaarden wordt voldaan: grote steekproef en kleine kans.

Figuur 1. Grafiek van de Poisson-verdeling voor verschillende parameters. Bron: Wikimedia Commons.

Siméon-Denis Poisson (1781-1840) creëerde deze distributie die zijn naam draagt, erg handig als het gaat om onvoorspelbare gebeurtenissen. Poisson publiceerde zijn resultaten in 1837, een onderzoek naar de waarschijnlijkheid van onjuiste strafvonnissen.

Later pasten andere onderzoekers de verdeling in andere gebieden aan, bijvoorbeeld het aantal sterren dat in een bepaald volume van de ruimte te vinden was, of de kans dat een soldaat zou overlijden door de trap van een paard.

Formule en vergelijkingen

De wiskundige vorm van de Poisson-verdeling is als volgt:

- μ (ook wel aangeduid als λ) is het gemiddelde of de parameter van de verdeling

- Eulergetal: e = 2,71828

- De kans om y = k te verkrijgen is P

- k is het aantal successen 0, 1,2,3 …

- n is het aantal tests of evenementen (de steekproefomvang)

Discrete willekeurige variabelen zijn, zoals hun naam al aangeeft, afhankelijk van het toeval en nemen alleen discrete waarden aan: 0, 1, 2, 3, 4…, k.

Het gemiddelde van de verdeling wordt gegeven door:

De variantie σ, die de spreiding van de gegevens meet, is een andere belangrijke parameter. Voor de Poisson-verdeling is het:

σ = μ

Poisson stelde vast dat wanneer n → ∞ en p → 0, de gemiddelde μ - ook wel de verwachte waarde genoemd - neigt naar een constante:

-De beschouwde gebeurtenissen of gebeurtenissen zijn onafhankelijk van elkaar en komen willekeurig voor.

-De kans P dat een bepaalde gebeurtenis plaatsvindt gedurende een bepaalde tijdsperiode is erg klein: P → 0.

-De kans dat er meer dan één gebeurtenis plaatsvindt in het tijdsinterval is 0.

-De gemiddelde waarde benadert een constante gegeven door: μ = np (n is de steekproefomvang)

-Aangezien de spreiding σ gelijk is aan μ, naarmate deze grotere waarden aanneemt, wordt de variabiliteit ook groter.

-Evenementen moeten gelijkmatig worden verdeeld over het gebruikte tijdsinterval.

-De set van mogelijke waarden van de gebeurtenis y is: 0,1,2,3,4….

-De som van i-variabelen die een Poisson-verdeling volgen, is ook een andere Poisson-variabele. De gemiddelde waarde is de som van de gemiddelde waarden van deze variabelen.

Verschillen met de binominale verdeling

De Poisson-verdeling verschilt op de volgende belangrijke manieren van de binominale verdeling:

-De binominale verdeling wordt beïnvloed door zowel de steekproefomvang n als de kans P, maar de Poisson-verdeling wordt alleen beïnvloed door de gemiddelde μ.

-In een binominale verdeling zijn de mogelijke waarden van de willekeurige variabele y 0,1,2,…, N, terwijl er in de Poisson-verdeling geen bovengrens is voor deze waarden.

Voorbeelden

Poisson paste zijn beroemde distributie aanvankelijk toe op rechtszaken, maar op industrieel niveau was een van zijn vroegste toepassingen het brouwen van bier. Bij dit proces worden gistculturen gebruikt voor fermentatie.

Gist bestaat uit levende cellen, waarvan de populatie in de tijd varieert. Bij de productie van bier is het noodzakelijk om de benodigde hoeveelheid toe te voegen, daarom is het noodzakelijk om te weten hoeveel cellen er per volume-eenheid zijn.

Tijdens de Tweede Wereldoorlog werd de Poisson-distributie gebruikt om erachter te komen of de Duitsers daadwerkelijk vanuit Calais op Londen mikten, of gewoon willekeurig schoten. Dit was belangrijk voor de geallieerden om te bepalen hoe goed de technologie was die beschikbaar was voor de nazi's.

Praktische toepassingen

De toepassingen van de Poisson-verdeling verwijzen altijd naar tellingen in de tijd of tellingen in de ruimte. En aangezien de kans op voorkomen klein is, staat het ook bekend als de "wet van zeldzame gebeurtenissen".

Hier is een lijst met evenementen die in een van deze categorieën vallen:

-Registratie van de deeltjes in een radioactief verval, dat net als de groei van gistcellen een exponentiële functie is.

-Aantal bezoeken aan een bepaalde website.

-Aankomst van mensen aan een lijn om te betalen of bijgewoond te worden (wachtrijtheorie).

-Aantal auto's dat een bepaald punt op een weg passeert, gedurende een bepaald tijdsinterval.

Figuur 2. Het aantal auto's dat door een punt rijdt, volgt grofweg een Poisson-verdeling. Bron: Pixabay.

- Mutaties in een bepaalde DNA-keten na blootstelling aan straling.

-Aantal meteorieten met een diameter groter dan 1 m dat in een jaar is gevallen.

-Fouten per vierkante meter stof.

-Hoeveelheid bloedcellen in 1 kubieke centimeter.

-Bellen per minuut naar een telefooncentrale.

-Chocoladechips aanwezig in 1 kg cakebeslag.

-Aantal bomen besmet door een bepaalde parasiet in 1 hectare bos.

Merk op dat deze willekeurige variabelen het aantal keren vertegenwoordigen dat een gebeurtenis plaatsvindt gedurende een vaste tijdsperiode (oproepen per minuut naar de telefooncentrale) of een bepaald gebied in de ruimte (fabricagefouten per vierkante meter).

Deze gebeurtenissen zijn, zoals reeds is vastgesteld, onafhankelijk van de tijd die is verstreken sinds de laatste gebeurtenis.

De binominale verdeling benaderen met de Poisson-verdeling

De Poisson-verdeling is een goede benadering van de binominale verdeling zolang:

-De omvang van de steekproef is groot: n ≥ 100

-De kans p is klein: p ≤ 0,1

- μ is in de orde van: np ≤ 10

In dergelijke gevallen is de Poisson-verdeling een uitstekend hulpmiddel, aangezien de binominale verdeling in deze gevallen moeilijk toe te passen kan zijn.

Opgeloste oefeningen

Oefening 1

Een seismologische studie heeft vastgesteld dat er in de afgelopen 100 jaar 93 grote aardbevingen over de hele wereld zijn geweest, met ten minste 6,0 op de schaal van Richter -logaritmisch-. Stel dat de Poisson-verdeling in dit geval een geschikt model is. Vind:

a) Het gemiddelde aantal grote aardbevingen per jaar.

b) Als P (y) de kans is op aardbevingen tijdens een willekeurig gekozen jaar, zoek dan de volgende waarschijnlijkheden:

Het is behoorlijk minder dan P (2).

De resultaten zijn hieronder weergegeven:

P (0) = 0,395, P (1) = 0,367, P (2) = 0,171, P (3) = 0,0529, P (4) = 0,0123, P (5) = 0,00229, P (6) = 0,000355, P (7) = 0,0000471.

We zouden bijvoorbeeld kunnen zeggen dat er een kans van 39,5% is dat er in een bepaald jaar geen grote aardbeving zal plaatsvinden. Of dat er in dat jaar 5,29% van de 3 grote aardbevingen plaatsvinden.

Oplossing c)

c) De frequenties worden geanalyseerd, vermenigvuldigd met n = 100 jaar:

39,5; 36,7; 17,1; 5,29; 1,23; 0.229; 0,0355 en 0,00471.

Bijvoorbeeld:

- Een frequentie van 39,5 geeft aan dat er in 39,5 van de 100 jaar 0 grote aardbevingen plaatsvinden, we zouden kunnen zeggen dat dit vrij dicht in de buurt ligt van het werkelijke resultaat van 47 jaar zonder enige grote aardbeving.

Laten we een ander Poisson-resultaat vergelijken met de werkelijke resultaten:

- De verkregen waarde van 36,7 betekent dat er in een periode van 37 jaar 1 grote aardbeving is. Het daadwerkelijke resultaat is dat er in 31 jaar 1 grote aardbeving heeft plaatsgevonden, een goede match met het model.

- Er wordt 17,1 jaar verwacht met 2 grote aardbevingen en het is bekend dat er in 13 jaar, wat een kleine waarde is, inderdaad 2 grote aardbevingen waren.

Daarom is het Poisson-model voor dit geval acceptabel.

Oefening 2

Eén bedrijf schat dat het aantal componenten dat defect raakt voordat de 100 bedrijfsuren zijn bereikt, een Poisson-verdeling volgt. Als het gemiddelde aantal storingen in die tijd 8 is, zoek dan de volgende kansen:

a) Dat een onderdeel binnen 25 uur uitvalt.

b) Uitval van minder dan twee componenten, binnen 50 uur.

c) Ten minste drie componenten falen binnen 125 uur.

Oplossing voor)

a) Het is bekend dat het gemiddelde aantal storingen in 100 uur 8 is, daarom wordt in 25 uur een kwart van de storingen verwacht, dat wil zeggen 2 storingen. Dit wordt de parameter μ.

De kans dat 1 component faalt wordt aangevraagd, de willekeurige variabele is "componenten die voor 25 uur falen" en de waarde is y = 1. Door de kansfunctie in te vullen:

De vraag is echter de kans dat minder dan twee componenten binnen 50 uur falen, niet dat precies 2 componenten falen in 50 uur, daarom moeten we de kansen optellen dat:

- Geen enkele mislukking

- Alleen storing 1

De parameter μ van de verdeling is in dit geval:

μ = 8 + 2 = 10 storingen in 125 uur.

P (3 of meer componenten falen) = 1- P (0) - P (1) - P (2) =

Referenties

1. MathWorks. Poisson-verdeling. Hersteld van: es.mathworks.com
2. Mendenhall, W. 1981. Statistieken voor management en economie. 3e. editie. Grupo Hoofdartikel Iberoamérica.
3. Stat Trek. Leer jezelf statistieken. Poisson-distributie. Hersteld van: stattrek.com,
4. Triola, M. 2012. Elementaire statistieken. 11e. Ed. Pearson Education.
5. Wikipedia. Poisson-verdeling. Hersteld van: en.wikipedia.org