WAARSCHIJNLIJKHEIDSAXIOMA'S: TYPEN, UITLEG, VOORBEELDEN, OEFENINGEN - DUDAS - 2025

De waarschijnlijkheidsaxioma's zijn wiskundige proposities die verwijzen naar de kansrekening, die geen bewijs verdienen. De axioma's werden in 1933 vastgesteld door de Russische wiskundige Andrei Kolmogorov (1903-1987) in zijn Foundations of Probability Theory en legden de basis voor de wiskundige studie van waarschijnlijkheid.

Bij het uitvoeren van een bepaald willekeurig experiment ξ is de steekproefruimte E de verzameling van alle mogelijke resultaten van het experiment, ook wel events genoemd. Elke gebeurtenis wordt aangeduid als A en P (A) is de waarschijnlijkheid dat deze plaatsvindt. Toen stelde Kolmogorov vast dat:

Figuur 1. Met de waarschijnlijkheidsaxioma's kunnen we de kans berekenen om kansspelen zoals roulette te raken. Bron: Pixabay.

- Axioma 1 (niet-negativiteit) : de kans dat een gebeurtenis A plaatsvindt is altijd positief of nul, P (A) ≥0. Als de kans op een gebeurtenis 0 is, wordt dit een onmogelijke gebeurtenis genoemd.

- Axioma 2 (zekerheid) : telkens een gebeurtenis die tot E behoort, is de kans dat deze voorkomt 1, wat we kunnen uitdrukken als P (E) = 1. Dit staat bekend als een bepaalde gebeurtenis, want bij het uitvoeren van een experiment is er zeker een resultaat.

- Axioma 3 (toevoeging) : in het geval van twee of meer onverenigbare gebeurtenissen twee aan twee, genaamd A ₁ , A ₂ , A ₃ …, de kans dat de gebeurtenis A ₁ plus A ₂ plus A _{3 zal} plaatsvinden enzovoort achtereenvolgens is het de som van de waarschijnlijkheden dat elk afzonderlijk gebeurt.

Dit wordt uitgedrukt als: P (A ₁ AU ₂ AU ₃ U …) = P (A ₁ ) + P (A ₂ ) + P (A ₃ ) + …

Figuur 2. De opmerkelijke Russische wiskundige Andrei Kolmogorov (1903-1987), die de basis legde voor axiomatische waarschijnlijkheid. Bron: Wikimedia Commons.

Voorbeeld

De waarschijnlijkheidsaxioma's worden algemeen gebruikt in een groot aantal toepassingen. Bijvoorbeeld:

Een punaise of tack wordt in de lucht gegooid, en wanneer deze op de grond valt, is er de mogelijkheid om te landen met de punt omhoog (U) of met de punt omlaag (D) (we zullen geen andere mogelijkheden bekijken). De monsterruimte voor dit experiment bestaat uit deze gebeurtenissen, dan E = {U, D}.

Figuur 3. Bij het experiment van het overstag gaan zijn er twee gebeurtenissen met verschillende waarschijnlijkheid: landen met de punt naar boven of naar de grond gericht. Bron: Pixabay.

Door de axioma's toe te passen hebben we:

Als het even waarschijnlijk is om op of neer te landen, P (U) = P (D) = ½ (Axioma 1). De constructie en het ontwerp van de punaise kunnen er echter voor zorgen dat hij op de een of andere manier valt. Het kan bijvoorbeeld zijn dat P (U) = ¾ terwijl P (D) = ¼ (Axioma 1).

Merk op dat in beide gevallen de som van de kansen 1 oplevert. De axioma's geven echter niet aan hoe de kansen moeten worden toegewezen, althans niet volledig. Maar ze geven wel aan dat het getallen zijn tussen 0 en 1 en dat, zoals in dit geval, de som van alles 1 is.

Manieren om waarschijnlijkheid toe te wijzen

De waarschijnlijkheidsaxioma's zijn geen methode om de waarde van waarschijnlijkheid toe te kennen. Hiervoor zijn er drie opties die compatibel zijn met de axioma's:

Laplace's regel

Aan elke gebeurtenis wordt dezelfde kans van optreden toegewezen, waarna de kans van optreden wordt gedefinieerd als:

Wat is bijvoorbeeld de kans om een ​​aas te trekken uit een pak Franse kaarten? Het kaartspel heeft 52 kaarten, 13 van elke reeks en er zijn 4 kleuren. Elke kleur heeft 1 azen, dus in totaal zijn er 4 azen:

P (zoals) = 4/52 = 1/13

De regel van Laplace is beperkt tot eindige monsterruimten, waar elke gebeurtenis even waarschijnlijk is.

Relatieve frequentie

Hier moet het experiment herhaalbaar zijn, aangezien de methode gebaseerd is op het uitvoeren van een groot aantal herhalingen.

Laten we herhalingen maken van het experiment ξ, waarvan we vinden dat n het aantal keren is dat een bepaalde gebeurtenis A voorkomt, dan is de kans dat deze gebeurtenis plaatsvindt:

P (A) = lim _{ik → ∞} (n / ik)

Waar n / i de relatieve frequentie van een gebeurtenis is.

Het op deze manier definiëren van P (A) voldoet aan de axioma's van Kolmogorov, maar heeft het nadeel dat er veel tests moeten worden uitgevoerd om de waarschijnlijkheid geschikt te maken.

Subjectieve methode

Een persoon of een groep mensen kan naar eigen oordeel overeenkomen om waarschijnlijkheid aan een gebeurtenis toe te kennen. Deze methode heeft het nadeel dat verschillende mensen verschillende kansen aan dezelfde gebeurtenis kunnen toekennen.

Oefening opgelost

In het experiment waarbij u tegelijkertijd 3 eerlijke munten opgooit, moet u de waarschijnlijkheid van de beschreven gebeurtenissen verkrijgen:

a) 2 koppen en een staart.

b) 1 kop en twee staarten

c) 3 kruisen.

d) Minstens 1 gezicht.

Oplossing voor

Koppen worden aangeduid met C en staarten met X. Maar er zijn verschillende manieren om twee koppen en een staart te krijgen. De eerste twee munten kunnen bijvoorbeeld koppen landen en de derde kan muntstukken landen. Of de eerste kan hoofden vallen, de tweede staarten en de derde kop. En ten slotte kunnen de eerste staarten zijn en de resterende koppen.

Om de vragen te beantwoorden, is het noodzakelijk om alle mogelijkheden te kennen, die worden beschreven in een tool genaamd een boomdiagram of kansboom:

Figuur 4. Boomdiagram voor het gelijktijdig gooien van drie eerlijke munten. Bron: F. Zapata.

De kans dat een munt een kop zal zijn, is ½, hetzelfde geldt voor munt, aangezien de munt eerlijk is. In de rechterkolom staan ​​alle mogelijkheden die de toss heeft, dat wil zeggen de sample-ruimte.

Uit de monsterruimte worden de combinaties gekozen die reageren op de gevraagde gebeurtenis, aangezien de volgorde waarin de gezichten verschijnen niet belangrijk is. Er zijn drie gunstige gebeurtenissen: CCX, CXC en XCC. De kans dat elke gebeurtenis plaatsvindt, is:

P (CCX) = ½. ½. ½ = 1/8

Hetzelfde gebeurt voor de CXC- en XCC-evenementen, elk heeft een kans van 1/8 dat ze plaatsvinden. Daarom is de kans om precies 2 koppen te krijgen de som van de kansen van alle gunstige gebeurtenissen:

P (2-zijdig) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 = 0,375

Oplossing b

Het vinden van de kans dat er precies twee kruisen optreden is een probleem dat analoog is aan het vorige, er zijn ook drie gunstige gebeurtenissen uit de steekproefruimte gehaald: CXX, XCX en XXC. Dus:

P (2 kruisen) = 3/8 = 0,375

Oplossing c

Intuïtief weten we dat de kans om 3 staarten (of 3 koppen) te krijgen lager is. In dit geval is de gezochte gebeurtenis XXX, aan het einde van de rechterkolom, waarvan de kans is:

P (XXX) = ½. ½. ½ = 1/8 = 0,125.

Oplossing d

Er wordt gevraagd om minimaal 1 gezicht te verkrijgen, dit betekent dat er 3 gezichten, 2 gezichten of 1 gezicht naar buiten kunnen komen. De enige onverenigbare gebeurtenis hiermee is degene waarin 3 staarten naar buiten komen, waarvan de kans 0,125 is. Daarom is de gezochte kans:

P (minimaal 1 kop) = 1 - 0,125 = 0,875.

Referenties

1. Canavos, G. 1988. Waarschijnlijkheid en statistiek: toepassingen en methoden. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Waarschijnlijkheid en statistiek voor techniek en wetenschap. 8e. Editie. Cengage.
3. Lipschutz, S. 1991. Schaum Series: Probability. McGraw Hill.
4. Obregón, I. 1989. Kansrekening. Redactioneel Limusa.
5. Walpole, R. 2007. Waarschijnlijkheid en statistiek voor techniek en wetenschappen. Pearson.