ONMIDDELLIJKE SNELHEID: DEFINITIE, FORMULE, BEREKENING EN OEFENINGEN - FYSIEK - 2026

De momentane snelheid wordt gedefinieerd als de momentane verandering van de tijdverschuiving. Het is een concept dat grote precisie toevoegt aan de studie van beweging. En het is een vooruitgang ten opzichte van de gemiddelde snelheid, waarvan de informatie erg algemeen is.

Om de onmiddellijke snelheid te krijgen, kijken we naar een zo klein mogelijk tijdsinterval. Differentiaalrekening is het perfecte hulpmiddel om dit idee wiskundig uit te drukken.

De momentane snelheid toont de snelheid van de gsm op elk punt van zijn reis. Bron: Pixabay.

Het uitgangspunt is de gemiddelde snelheid:

Deze limiet staat bekend als een afgeleide. In de differentiaalrekening hebben we:

Zolang de beweging beperkt is tot een rechte lijn, kan de vectornotatie achterwege blijven.

Berekening van momentane snelheid: geometrische interpretatie

De volgende afbeelding toont de geometrische interpretatie van het afgeleide concept: het is de helling van de raaklijn aan de kromme x (t) vs. t op elk punt.

De momentane snelheid bij P is numeriek gelijk aan de helling van de raaklijn aan de kromme x vs. t op punt P. Bron: Bron: す じ に く シ チ ュ ー.

Je kunt je voorstellen hoe je de limiet kunt krijgen als punt Q beetje bij beetje dichter bij punt P komt. Er komt een moment dat beide punten zo dichtbij zijn dat je de ene niet van de andere kunt onderscheiden.

De lijn die ze verbindt, zal dan van secans (lijn die op twee punten snijdt) naar raaklijn gaan (lijn die de curve maar op één punt raakt). Om de momentane snelheid van een bewegend deeltje te vinden, zouden we daarom het volgende moeten hebben:

• De grafiek van de positie van het deeltje als functie van de tijd. Als we op elk moment de helling van de raaklijn aan de curve vinden, hebben we de momentane snelheid op elk punt dat het deeltje bezet.

O goed:

• De positiefunctie van het deeltje x (t), die is afgeleid om de snelheidsfunctie v (t) te verkrijgen, dan wordt deze functie op elk moment t geëvalueerd, voor het gemak. Aangenomen wordt dat de positiefunctie differentieerbaar is.

Enkele speciale gevallen bij het berekenen van de momentane snelheid

-De helling van de raaklijn aan de curve bij P is 0. Een nul-helling betekent dat de mobiel is gestopt en dat zijn snelheid natuurlijk 0 is.

-De helling van de raaklijn aan de curve bij P is groter dan 0. De snelheid is positief. In de bovenstaande grafiek betekent dit dat de mobiele telefoon zich van O af beweegt.

-De helling van de raaklijn aan de curve bij P is kleiner dan 0. De snelheid zou negatief zijn. In de bovenstaande grafiek zijn er geen dergelijke punten, maar in dit geval zou het deeltje O.

-De helling van de raaklijn aan de curve is constant op P en alle andere punten. In dit geval is de grafiek een rechte lijn en heeft de mobiele telefoon een uniforme rechtlijnige MRU-beweging (de snelheid is constant).

Over het algemeen is de functie v (t) ook een functie van de tijd, die op zijn beurt een afgeleide kan hebben. Wat als het niet mogelijk was om de afgeleiden van de functies x (t) en v (t) te vinden?

In het geval van x (t) kan het zijn dat de helling - de momentane snelheid - abrupt van teken verandert. Of dat het onmiddellijk van nul naar een andere waarde zou gaan.

Als dat zo is, zou de grafiek x (t) punten of hoeken weergeven op de plaatsen van plotselinge veranderingen. Heel anders dan het geval weergegeven in de vorige afbeelding, waarin de curve x (t) een vloeiende curve is, zonder punten, hoeken, discontinuïteiten of abrupte veranderingen.

De waarheid is dat voor echte mobiele telefoons de vloeiende lijnen degene zijn die het gedrag van het object het beste weergeven.

De beweging in het algemeen is vrij complex. De mobiele telefoons kunnen een tijdje worden gestopt, versnellen vanuit rust om snelheid te hebben en weg te bewegen van het startpunt, een tijdje op snelheid blijven, dan remmen om weer te stoppen, enzovoort.

Ze kunnen opnieuw beginnen en in dezelfde richting verder gaan. Ofwel het omgekeerde doen en terugkeren. Dit heet gevarieerde beweging in één dimensie.

Hier zijn enkele voorbeelden van het berekenen van de momentane snelheid om het gebruik van de gegeven definities te verduidelijken:

Opgeloste oefeningen met onmiddellijke snelheid

Oefening 1

Een deeltje beweegt langs een rechte lijn met de volgende bewegingswet:

Alle units zijn in het internationale systeem. Vind:

a) De positie van het deeltje op t = 3 seconden.

b) De gemiddelde snelheid in het interval tussen t = 0 s en t = 3 s.

c) De gemiddelde snelheid in het interval tussen t = 0 s en t = 3 s.

d) De momentane snelheid van het deeltje uit de vorige vraag, op t = 1 s.

Antwoorden

a) Om de positie van het deeltje te vinden, wordt de bewegingswet (positiefunctie) geëvalueerd op t = 3:

x (3) = (-4/3) .3 ³ + 2. 3 ² ₊ 6,3 - 10 m = -10 m

Het is geen probleem dat de positie negatief is. Het teken (-) geeft aan dat het deeltje links van de oorsprong O staat.

b) Bij de berekening van de gemiddelde snelheid zijn de eind- en beginposities van het deeltje vereist op de aangegeven tijdstippen: x (3) en x (0). De positie op t = 3 is x (3) en is bekend uit het vorige resultaat. De positie op t = 0 seconden is x (0) = -10 m.

Omdat de eindpositie gelijk is aan de beginpositie, wordt direct geconcludeerd dat de gemiddelde snelheid 0 is.

c) De gemiddelde snelheid is de verhouding tussen de afgelegde afstand en de afgelegde tijd. Nu is de afstand de module of de grootte van de verplaatsing, dus:

afstand = -x2 - x1- = --10 - (-10) - m = 20 m

Merk op dat de afgelegde afstand altijd positief is.

v _{m = 20 m / 3 s = 6,7 m / s}

d) Hier is het nodig om de eerste afgeleide van de positie in de tijd te vinden. Vervolgens wordt geëvalueerd voor t = 1 seconde.

X '(t) = -4 t ² + 4 t + 6

x '(1) = -4,1 ² + 4,1 + 6 m / s = 6 m / s

Oefening 2

Hieronder ziet u de grafiek van de positie van een gsm als functie van de tijd. Zoek de momentane snelheid op t = 2 seconden.

Grafiek van positie versus tijd voor een mobiel. Bron: zelf gemaakt.

Antwoord

Trek de raaklijn naar de curve op t = 2 seconden, zoek dan de helling op en neem twee willekeurige punten op de lijn.

Om de momentane snelheid op het aangegeven punt te berekenen, trekt u de raaklijn naar dat punt en zoekt u de helling. Bron: zelf gemaakt.

In dit voorbeeld nemen we twee punten die gemakkelijk kunnen worden gevisualiseerd, waarvan de coördinaten zijn (2 s, 10 m) en de snede met de verticale as (0 s, 7 m):

Referenties

1. Giancoli, D. Physics. Principes met toepassingen. 6 ^e editie. Prentice Hall. 22-25.
2. Resnick, R. (1999). Fysiek. Deel 1. Derde editie in het Spaans. Mexico. Compañía Redactioneel Continental SA de CV 21-22.
3. Serway, R., Jewett, J. (2008). Physics for Science and Engineering. Deel 1. 7 ^ma . Editie. Mexico. Cengage Learning Editors. 23-25.