- Kepler's wetten
- Waarom bewegen de planeten elliptisch rond de zon?
- De grootte van de lineaire snelheid van een planeet is niet constant
- Areolaire snelheid
- Oefening
- Antwoord op)
- Antwoord B)
De areolaire snelheid is het veegoppervlak per tijdseenheid en is constant. Het is specifiek voor elke planeet en komt voort uit de beschrijving van de tweede wet van Kepler in wiskundige vorm. In dit artikel leggen we uit wat het is en hoe het wordt berekend.
De hausse die de ontdekking van planeten buiten het zonnestelsel vertegenwoordigt, heeft de interesse in planetaire beweging opnieuw geactiveerd. Niets doet ons geloven dat deze exoplaneten andere wetten volgen dan die al bekend en geldig zijn in het zonnestelsel: de wetten van Kepler.
Johannes Kepler was de astronoom die zonder de hulp van de telescoop en met behulp van de observaties van zijn mentor Tycho Brahe een wiskundig model creëerde dat de beweging van de planeten rond de zon beschrijft.
Hij verliet dit model belichaamd in de drie wetten die zijn naam dragen en die nog steeds even geldig zijn als in 1609, toen hij de eerste twee vaststelde en in 1618, de datum waarop hij de derde uitsprak.
Kepler's wetten
In het huidige taalgebruik luiden de drie wetten van Kepler als volgt:
1. De banen van alle planeten zijn elliptisch en de zon staat in één focus.
2. De positievector van de zon naar een planeet beweegt in gelijke tijden over gelijke gebieden.
3. Het kwadraat van de omlooptijd van een planeet is evenredig met de kubus van de semi-hoofdas van de beschreven ellips.
Een planeet heeft een lineaire snelheid, net als elk bekend bewegend object. En er is nog meer: bij het schrijven van de tweede wet van Kepler in wiskundige vorm, ontstaat een nieuw concept genaamd areolaire snelheid, typisch voor elke planeet.
Waarom bewegen de planeten elliptisch rond de zon?
De aarde en de andere planeten bewegen rond de zon dankzij het feit dat het een kracht op hen uitoefent: de zwaartekracht. Hetzelfde gebeurt met elke andere ster en de planeten waaruit het systeem bestaat, als die er zijn.
Dit is een kracht van het type dat bekend staat als een centrale kracht. Gewicht is een centrale kracht die iedereen kent. Het object dat de centrale kracht uitoefent, of het nu de zon is of een verre ster, trekt de planeten naar het midden en ze bewegen in een gesloten curve.
In principe kan deze curve worden benaderd als een omtrek, net als Nicolás Copernicus, een Poolse astronoom die de heliocentrische theorie bedacht.
De verantwoordelijke kracht is de aantrekkingskracht. Deze kracht hangt rechtstreeks af van de massa van de ster en de planeet in kwestie en is omgekeerd evenredig met het kwadraat van de afstand die hen scheidt.
Het probleem is niet zo eenvoudig, omdat in een zonnestelsel alle elementen op deze manier op elkaar inwerken, waardoor de materie complexer wordt. Bovendien zijn het geen deeltjes, aangezien sterren en planeten meetbare afmetingen hebben.
Om deze reden is het centrale punt van de baan of het circuit dat door de planeten wordt afgelegd, niet precies gecentreerd rond de ster, maar op een punt dat bekend staat als het zwaartepunt van het zonneplanetenstelsel.
De resulterende baan is elliptisch. De volgende afbeelding laat het zien, met de aarde en de zon als voorbeeld:
Figuur 1. De baan van de aarde is elliptisch, met de zon in een van de brandpunten. Wanneer de aarde en de zon zich op hun maximale afstand bevinden, wordt gezegd dat de aarde zich in een aphelium bevindt. En als de afstand minimaal is, spreken we van perihelium.
Het aphelium is de verste positie op aarde van de zon, terwijl het perihelium het dichtstbijzijnde punt is. De ellips kan min of meer afgeplat zijn, afhankelijk van de kenmerken van het ster-planetenstelsel.
De waarden van het aphelium en het perihelium variëren jaarlijks, aangezien de andere planeten verstoringen veroorzaken. Voor andere planeten worden deze posities respectievelijk apoaster en periaster genoemd.
De grootte van de lineaire snelheid van een planeet is niet constant
Kepler ontdekte dat wanneer een planeet in een baan om de zon draait, deze tijdens zijn beweging gelijke delen in gelijke tijden uitveegt. Figuur 2 geeft grafisch de betekenis hiervan weer:
Figuur 2. De positievector van een planeet ten opzichte van de zon is r. Wanneer de planeet zijn baan beschrijft, maakt hij een boog van ellips Δs in een tijd Δt.
Wiskundig, dat A 1 gelijk is aan A 2 wordt uitgedrukt als volgt:
De afgelegde bogen Δs zijn klein, zodat elk gebied dat van een driehoek kan benaderen:
Omdat Δs = v Δ t, waarbij v de lineaire snelheid van de planeet op een bepaald punt is, hebben we door te substitueren:
En aangezien het tijdsinterval Δt hetzelfde is, krijgen we:
Omdat r 2 > r 1 , dan v 1 > v 2 , met andere woorden, de lineaire snelheid van een planeet is niet constant. In feite gaat de aarde sneller als ze zich in het perihelium bevindt dan wanneer ze zich in een aphelium bevindt.
Daarom is de lineaire snelheid van de aarde of van een willekeurige planeet rond de zon niet een grootte die dient om de beweging van die planeet te karakteriseren.
Areolaire snelheid
Met het volgende voorbeeld laten we zien hoe de areolaire snelheid berekend kan worden als enkele parameters van planetaire beweging bekend zijn:
Oefening
Volgens de wetten van Kepler beweegt een exo-planeet om zijn zon in een elliptische baan. Als het aan de periaster, de straal vector r 1 = 4 · 10 7 km, en als het zich in de apoaster is r 2 = 15 · 10 7 km. De lineaire snelheid op zijn periaster is v 1 = 1000 km / s.
Berekenen:
A) De grootte van de snelheid bij de apoastro.
B) De areolaire snelheid van de exo-planeet.
C) De lengte van de semi-hoofdas van de ellips.
Antwoord op)
De vergelijking wordt gebruikt:
waarin numerieke waarden worden vervangen.
Elke term wordt als volgt geïdentificeerd:
v 1 = snelheid in apoastro; v 2 = snelheid op de periaster; r 1 = afstand vanaf de apoaster,
r 2 = afstand tot de periaster.
Met deze waarden krijg je:
Antwoord B)
- Serway, R., Jewett, J. (2008). Physics for Science and Engineering. Deel 1. Mexico. Cengage Learning Editors. 367-372.
- Stern, D. (2005). Kepler's drie wetten van planetaire beweging. Opgehaald van pwg.gsfc.nasa.gov
- Opmerking: de voorgestelde oefening is overgenomen en gewijzigd van de volgende tekst in een McGrawHill-boek. Helaas is het een geïsoleerd hoofdstuk in pdf-formaat, zonder de titel of de auteur: mheducation.es/bcv/guide/capitulo/844817027X.pdf