HOEKSNELHEID: DEFINITIE, FORMULE, BEREKENING EN OEFENINGEN - FYSIEK - 2026

De hoeksnelheid is een maat voor de rotatiesnelheid en wordt gedefinieerd als de hoek die de positievector van het roterende object per tijdseenheid roteert. Het is een omvang die heel goed de beweging beschrijft van een veelvoud aan objecten die constant overal ronddraaien: cd's, autowielen, machines, de aarde en nog veel meer.

Een diagram van het «London eye» is te zien in de volgende afbeelding. Het vertegenwoordigt de beweging van een passagier vertegenwoordigd door punt P, dat het cirkelvormige pad volgt, genaamd c:

Schematische weergave van het cirkelvormige pad dat een passagier van het «London Eye» volgt. Bron: zelf gemaakt.

De passagier bezet positie P op moment t en de hoekpositie die overeenkomt met dat moment is ϕ.

Vanaf het moment t verstrijkt een tijdsperiode Δt. In deze periode is de nieuwe positie van de punctuele passagier P 'en is de hoekpositie met een hoek Δϕ vergroot.

Hoe wordt de hoeksnelheid berekend?

Voor roterende grootheden worden Griekse letters veel gebruikt om ze te onderscheiden van lineaire grootheden. Dus aanvankelijk wordt de gemiddelde hoeksnelheid ω _m gedefinieerd als de hoek die in een bepaalde tijdsperiode wordt afgelegd.

Dan vertegenwoordigt het quotiënt Δϕ / Δt de gemiddelde hoeksnelheid ω _m tussen de tijdstippen t en t + Δt.

Als je de hoeksnelheid juist op het moment t wilt berekenen , dan moet je de verhouding Δϕ / Δt berekenen als Δt ➡0:

Verband tussen lineaire en hoeksnelheid

De lineaire snelheid v, is het quotiënt tussen de afgelegde afstand en de tijd die nodig is om deze af te leggen.

In de bovenstaande afbeelding is de afgelegde boog Δs. Maar die boog is evenredig met de afgelegde hoek en de straal, waarbij aan de volgende relatie wordt voldaan, die geldig is zolang Δϕ wordt gemeten in radialen:

Δs = r ・ Δϕ

Als we de vorige uitdrukking delen door de tijdsverloop Δt en de limiet nemen als Δt ➡0, krijgen we:

v = r ・ ω

Uniforme roterende beweging

Afgebeeld is het beroemde 'London eye', een 135 meter hoog spinnewiel dat langzaam draait zodat mensen aan boord van de hutten aan de basis kunnen stappen en kunnen genieten van het landschap van Londen. Bron: Pixabay.

Een rotatiebeweging is uniform als op elk waargenomen moment de afgelegde hoek dezelfde is in dezelfde tijdsperiode.

Als de rotatie uniform is, dan valt de hoeksnelheid op elk moment samen met de gemiddelde hoeksnelheid.

Bovendien is de afgelegde hoek 2π (gelijk aan 360º) als er een volledige bocht is gemaakt. Daarom is in een uniforme rotatie de hoeksnelheid ω gerelateerd aan de periode T, door de volgende formule:

f = 1 / T

Dat wil zeggen, bij een uniforme rotatie is de hoeksnelheid gerelateerd aan de frequentie door:

ω = 2π ・ f

Problemen met hoeksnelheid opgelost

Oefening 1

De cabines van het grote spinnewiel dat bekend staat als de "London Eye" bewegen langzaam. De snelheid van de cabines is 26 cm / s en het wiel heeft een diameter van 135 m.

Bereken met deze gegevens:

i) De hoeksnelheid van het wiel

ii) De rotatiefrequentie

iii) De tijd die een hut nodig heeft om een ​​volledige bocht te maken.

Antwoorden:

i) De snelheid v in m / s is: v = 26 cm / s = 0,26 m / s.

De straal is de helft van de diameter: r = (135 m) / 2 = 67,5 m

v = r ・ ω => ω = v / r = (0,26 m / s) / (67,5 m) = 0,00385 rad / s

ii) ω = 2π ・ f => f = ω / 2π = (0,00385 rad / s) / (2π rad) = 6,13 x ^10-4 windingen / s

f = 6,13 x 10 ^ -4 omwentelingen / s = 0,0368 omwentelingen / min = 2,21 omwentelingen / uur.

iii) T = 1 / f = 1 / 2,21 ronde / uur = 0,45311 uur = 27 min 11 sec

Oefening 2

Een speelgoedauto rijdt op een cirkelvormige baan met een straal van 2 meter. Op 0 s is zijn hoekpositie 0 rad, maar na een tijd t wordt zijn hoekpositie gegeven door:

φ (t) = 2 ・ t

Bepalen:

i) De hoeksnelheid

ii) De lineaire snelheid op elk moment.

Antwoorden:

i) De hoeksnelheid is de afgeleide van de hoekpositie: ω = φ '(t) = 2.

Met andere woorden, de speelgoedauto heeft te allen tijde een constante hoeksnelheid gelijk aan 2 rad / s.

ii) De lineaire snelheid van de auto is: v = r ・ ω = 2 m ・ 2 rad / s = 4 m / s = 14,4 Km / h

Oefening 3

Dezelfde auto uit de vorige oefening begint te stoppen. Zijn hoekpositie als functie van de tijd wordt gegeven door de volgende uitdrukking:

φ (t) = 2 ・ t - 0,5 ・ t ²

Bepalen:

i) De hoeksnelheid op elk moment

ii) De lineaire snelheid op elk moment

iii) De tijd die nodig is om te stoppen vanaf het moment dat het begint te vertragen

iv) De afgelegde hoek

v) afgelegde afstand

Antwoorden:

i) De hoeksnelheid is de afgeleide van de hoekpositie: ω = φ '(t)

ω (t) = φ '(t) = (2 ・ t - 0,5 ・ t ² )' = 2 - t

ii) De lineaire snelheid van de auto op elk moment wordt gegeven door:

v (t) = r ・ ω (t) = 2 ・ (2 - t) = 4 - 2 t

iii) De tijd die nodig is om te stoppen vanaf het moment dat het begint te vertragen, wordt bepaald door het moment te kennen waarop de snelheid v (t) nul wordt.

v (t) = 4 - 2 t = 0 => t = 2

Dit betekent dat hij 2 seconden na het beginnen met remmen stopt.

iv) In de periode van 2 seconden vanaf het moment dat het begint te remmen tot het stopt, wordt een hoek gegeven door φ (2) afgelegd:

φ (2) = 2 ・ 2 - 0,5 ・ 2 ^ 2 = 4 - 2 = 2 rad = 2 x 180 / π = 114,6 graden

v) In de periode van 2 s vanaf het begin van het remmen tot de stop, wordt een afstand s afgelegd gegeven door:

s = r ・ φ = 2m ・ 2 rad = 4 m

Oefening 4

De wielen van een auto hebben een diameter van 80 cm. Als de auto 100 km / u rijdt. Zoek: i) de rotatiesnelheid van de wielen, ii) de rotatiefrequentie van de wielen, iii) het aantal omwentelingen dat het wiel maakt in een rit van 1 uur.

Antwoorden:

i) Allereerst gaan we de snelheid van de auto omrekenen van Km / h naar h / s

v = 100 km / u = (100 / 3,6) m / s = 27,78 m / s

De rotatiesnelheid van de wielen wordt bepaald door:

ω = v / r = (27,78 m / s) / (0,4 m) = 69,44 rad / s

ii) De rotatiefrequentie van de wielen wordt gegeven door:

f = ω / 2π = (69,44 rad / s) / (2π rad) = 11,05 draai / s

De rotatiefrequentie wordt meestal uitgedrukt in omwentelingen per minuut tpm

f = 11,05 omwentelingen / s = 11,05 omwentelingen / (1/60) min = 663,15 tpm

iii) Het aantal ronden dat het wiel aflegt in een rit van 1 uur wordt berekend in de wetenschap dat 1 uur = 60 min en dat de frequentie het aantal ronden N gedeeld door de tijd waarin deze N ronden worden gemaakt is.

f = N / t => N = f ・ t = 663,15 (beurten / min) x 60 min = 39788,7 beurten.

Referenties

1. Giancoli, D. Physics. Principes met toepassingen. 6e editie. Prentice Hall. 106-108.
2. Resnick, R. (1999). Fysiek. Deel 1. Derde editie in het Spaans. Mexico. Compañía Redactioneel Continental SA de CV 67-69.
3. Serway, R., Jewett, J. (2008). Physics for Science and Engineering. Deel 1. 7e. Editie. Mexico. Cengage Learning Editors. 84-85.
4. geogebra.org