NIET-COPLANAIRE VECTOREN: DEFINITIE, VOORWAARDEN, OEFENINGEN - FYSIEK - 2026

De niet - coplanaire vectoren zijn degene die niet hetzelfde vlak delen. Twee vrije vectoren en een punt definiëren een enkel vlak. Een derde vector kan dat vlak al dan niet delen, en als dat niet het geval is, zijn het niet-coplanaire vectoren.

Niet-coplanaire vectoren kunnen niet worden weergegeven in tweedimensionale ruimtes zoals een schoolbord of een vel papier, omdat sommige zich in de derde dimensie bevinden. Om ze correct weer te geven, moet je perspectief gebruiken.

Figuur 1. Coplanaire en niet-coplanaire vectoren. (Eigen uitwerking)

Als we naar figuur 1 kijken, bevinden alle getoonde objecten zich strikt in het vlak van het scherm, maar dankzij perspectief kunnen onze hersenen zich een vlak (P) voorstellen dat eruit komt.

Op dat vlak (P) staan ​​de vectoren r , s , u , terwijl de vectoren v en w niet in dat vlak liggen.

Daarom zijn de vectoren r , s , u coplanair of coplanair ten opzichte van elkaar omdat ze hetzelfde vlak (P) delen. Vectoren v en w delen geen vlak met een van de andere getoonde vectoren, daarom zijn ze niet coplanair.

Coplanaire vectoren en vergelijking van het vlak

Een vlak is uniek gedefinieerd als er drie punten zijn in een driedimensionale ruimte.

Stel dat die drie punten punt A, punt B en punt C zijn die het vlak (P) definiëren. Met deze punten is het mogelijk om twee vectoren AB = u en AC = v te construeren die door constructie coplanair zijn met het vlak (P).

Het kruisproduct (of kruisproduct) van deze twee vectoren resulteert in een derde vector loodrecht op hen en dus loodrecht op het vlak (P):

n = u X v => n ⊥ u en n ⊥ v => n ⊥ (P)

Elk ander punt dat tot het vlak (P) behoort, moet voldoen aan het feit dat de vector AQ loodrecht op de vector n staat ; Dit is hetzelfde als zeggen dat het puntproduct (of puntproduct) van n met AQ nul moet zijn:

n • AQ = 0 (*)

De vorige voorwaarde is gelijk aan te zeggen dat:

AQ • ( u X v ) = 0

Deze vergelijking zorgt ervoor dat punt Q tot vlak (P) behoort.

Cartesiaanse vergelijking van het vliegtuig

De bovenstaande vergelijking kan in cartesiaanse vorm worden geschreven. Om dit te doen, schrijven we de coördinaten van de punten A, Q en de componenten van de normaalvector n :

De componenten van AQ zijn dus:

De voorwaarde voor de vector AQ om zich in het vlak (P) te bevinden is de voorwaarde (*) die nu als volgt wordt geschreven:

Berekening van het puntproduct blijft:

Als het is ontwikkeld en herschikt, blijft het:

De vorige uitdrukking is de cartesische vergelijking van een vlak (P), als functie van de componenten van een vector loodrecht op (P) en de coördinaten van een punt A dat bij (P) hoort.

Voorwaarden voor drie vectoren om niet-coplanair te zijn

Zoals we in de vorige sectie hebben gezien, garandeert de voorwaarde AQ • ( u X v ) = 0 dat de vector AQ coplanair is met u en v .

Als we de vector AQ w noemen , kunnen we bevestigen dat:

w , u en v zijn coplanair, als en slechts als w • ( u X v ) = 0.

Niet-coplanariteitstoestand

Als het drievoudige product (of gemengd product) van drie vectoren verschilt van nul, zijn die drie vectoren niet coplanair.

Als w • ( u X v ) ≠ 0 dan zijn de vectoren u, v en w niet coplanair.

Als de Cartesische componenten van de vectoren u, v en w worden geïntroduceerd, kan de voorwaarde van niet-coplanariteit als volgt worden geschreven:

Het drievoudige product heeft een geometrische interpretatie en vertegenwoordigt het volume van het parallellepipedum gegenereerd door de drie niet-coplanaire vectoren.

Figuur 2. Drie niet-coplanaire vectoren definiëren een parallellepipedum waarvan het volume de module van het drievoudige product is. (Eigen uitwerking)

De reden is als volgt; Wanneer twee van de niet-coplanaire vectoren vectorieel worden vermenigvuldigd, wordt een vector verkregen waarvan de grootte het gebied is van het parallellogram dat ze genereren.

Als deze vector dan scalair wordt vermenigvuldigd met de derde niet-coplanaire vector, hebben we de projectie op een vector loodrecht op het vlak dat de eerste twee bepalen, vermenigvuldigd met het gebied dat ze bepalen.

Met andere woorden, we hebben de oppervlakte van het parallellogram gegenereerd door de eerste twee vermenigvuldigd met de hoogte van de derde vector.

Alternatieve toestand van niet-coplanariteit

Als je drie vectoren hebt en een ervan kan niet worden geschreven als een lineaire combinatie van de andere twee, dan zijn de drie vectoren niet-coplanair. Dat wil zeggen, drie vectoren u , v en w zijn niet coplanair als de voorwaarde:

α u + β v + γ w = 0

Er wordt pas aan voldaan als α = 0, β = 0 en γ = 0.

Opgeloste oefeningen

-Oefening 1

Er zijn drie vectoren

u = (-3, -6, 2); v = (4, 1, 0) en w = (-1, 2, z)

Merk op dat de z-component van de vector w onbekend is.

Zoek het bereik van waarden dat z kan aannemen, zodat de drie vectoren gegarandeerd niet hetzelfde vlak delen.

Oplossing

w • ( u X v ) = -3 (z - 0) + 6 (4 z - 0) + 2 (8 + 1) = -3z + 24z + 18 = 21z + 18

We stellen deze uitdrukking gelijk aan de waarde nul

21 z + 18 = 0

en we lossen z op

z = -18 / 21 = -6/7

Als de variabele z de waarde -6/7 zou hebben, zouden de drie vectoren coplanair zijn.

Dus de waarden van z die garanderen dat de vectoren niet coplanair zijn, zijn die in het volgende interval:

z ∈ (-∞, -6 / 7) U (-6/7, ∞)

-Oefening 2

Zoek het volume van het parallellepipedum weergegeven in de volgende afbeelding:

Oplossing

Om het volume van het parallellepipedum in de figuur te vinden, zullen de Cartesiaanse componenten van drie gelijktijdige niet-coplanaire vectoren aan de oorsprong van het coördinatensysteem worden bepaald. De eerste is de vector u van 4m en parallel aan de X-as:

u = (4, 0, 0) m

De tweede is de vector v in het XY-vlak van 3 m die 60º vormt met de X-as:

v = (3 * cos 60º, 3 * sin 60º, 0) = (1,5, 2,6, 0,0) m

En de derde is de vector w van 5m en waarvan de projectie in het XY-vlak 60 ° vormt met de X-as, bovendien vormt w 30 ° met de Z-as.

w = (5 * sin 30º * cos 60º, 5 * sin 30º * sin 60º, 5 * sin 30º)

Als de berekeningen eenmaal zijn uitgevoerd, hebben we: w = (1,25, 2,17, 2,5) m.

Referenties

1. Figueroa, D. Series: Physics for Sciences and Engineering. Deel 1. Kinematica. 31-68.
2. Fysiek. Module 8: Vectoren. Hersteld van: frtl.utn.edu.ar
3. Hibbeler, R. 2006. Mechanica voor ingenieurs. Statisch 6e editie. Continental Publishing Company.28-66.
4. McLean, W. Schaum Series. Mechanica voor ingenieurs: statica en dynamiek. 3e editie. McGraw Hill. 1-15.
5. Wikipedia. Vector. Hersteld van: es.wikipedia.org