De vrije vectoren zijn vectoren die volledig worden gespecificeerd door hun grootte, richting en betekenis, zonder dat ze een toepassingspunt of een bepaalde oorsprong hoeven aan te geven.
Omdat op deze manier oneindige vectoren kunnen worden getekend, is een vrije vector geen enkele entiteit, maar een reeks parallelle en identieke vectoren die onafhankelijk zijn van waar ze zijn.
Figuur 1. Diverse gratis vectoren. Bron: zelf gemaakt.
Laten we zeggen dat we verschillende vectoren van magnitude 3 verticaal naar boven gericht hebben, of van magnitude 5 en naar rechts neigen, zoals in figuur 1.
Geen van deze vectoren wordt op enig moment specifiek toegepast. Dan is elk van de blauwe of groene vectoren representatief voor hun respectievelijke groep, aangezien hun kenmerken - module, richting en gevoel - helemaal niet veranderen wanneer ze naar een andere plaats in het vliegtuig worden overgebracht.
Een vrije vector wordt in gedrukte tekst meestal aangegeven met een vetgedrukte kleine letter, bijvoorbeeld v. Of met een kleine letter en een pijl erboven als het handgeschreven tekst is .
Het voordeel van vrije vectoren is dat ze door het vlak of door de ruimte kunnen worden bewogen en hun eigenschappen behouden, aangezien elke vertegenwoordiger van de set even geldig is.
Daarom worden ze in de natuurkunde en mechanica veel gebruikt. Om bijvoorbeeld de lineaire snelheid aan te geven van een vaste stof die aan het vertalen is, is het niet nodig om een bepaald punt op het object te kiezen. De snelheidsvector gedraagt zich dus als een vrije vector.
Een ander voorbeeld van een vrije vector is het krachtenpaar. Een paar bestaat uit twee krachten van gelijke grootte en richting, maar van tegengestelde richtingen, uitgeoefend op verschillende punten op een vaste stof. Het effect van een koppel is niet om het object te verplaatsen, maar om een rotatie te veroorzaken dankzij het geproduceerde moment.
Figuur 2 toont een aantal krachten die op een stuur worden uitgeoefend. Door de krachten F 1 en F 2 wordt het koppel gecreëerd dat het vliegwiel rond zijn middelpunt en met de klok mee draait.
Figuur 2. Door een paar krachten op een stuurwiel te zetten, draait het met de klok mee. Bron: Bielasko.
U kunt enkele wijzigingen in het koppel aanbrengen en toch hetzelfde roterende effect krijgen, bijvoorbeeld door de kracht te vergroten, maar de onderlinge afstand te verkleinen. Of houd de kracht en afstand aan, maar pas het koppel toe op een ander paar punten op het stuur, dat wil zeggen, draai het koppel rond het midden.
Het moment van het paar of simpelweg koppel, is een vector waarvan de modulus Fd is en loodrecht op het vlak van het vliegwiel is gericht. In het conventionele voorbeeld heeft de rotatie met de klok mee een negatieve richting.
Eigenschappen en kenmerken
In tegenstelling tot de vrije vector v staan de vectoren AB en CD vast (zie figuur 3), aangezien ze een bepaald startpunt en aankomstpunt hebben. Maar aangezien ze met elkaar samenwerken, en op hun beurt met vector v , zijn ze representatief voor de vrije vector v .
Figuur 3. Gratis vectoren, teamlensvectoren en vaste vectoren. Bron: zelf gemaakt.
De belangrijkste eigenschappen van gratis vectoren zijn de volgende:
-Elke vector AB (zie figuur 2) is, zoals gezegd, representatief voor de vrije vector v .
-De module, de richting en de zin zijn hetzelfde in elke vertegenwoordiger van de vrije vector. In figuur 2 vertegenwoordigen vectoren AB en CD de vrije vector v en zijn ze teamlensing.
-Gezien een punt P in de ruimte, is het altijd mogelijk om een vertegenwoordiger van de vrije vector v te vinden waarvan de oorsprong in P ligt en deze vertegenwoordiger is uniek. Dit is de belangrijkste eigenschap van gratis vectoren en degene die ze zo veelzijdig maakt.
-Een nulvrije vector wordt aangeduid als 0 en is de verzameling van alle vectoren die grootte, richting en gevoel missen.
-Als vector AB de vrije vector v vertegenwoordigt , dan vertegenwoordigt vector BA de vrije vector - v .
-De notatie V 3 wordt gebruikt om de verzameling van alle vrije vectoren in de ruimte aan te duiden en V 2 om alle vrije vectoren in het vlak aan te duiden.
Opgeloste oefeningen
Met gratis vectoren kunnen de volgende bewerkingen worden uitgevoerd:
-Som
-Aftrekking
-Vermenigvuldiging van scalair door een vector
-Scalair product tussen twee vectoren.
-Crossproduct tussen twee vectoren
-Lineaire combinatie van vectoren
En meer.
-Oefening 1
Een leerling probeert van het ene punt aan de oever van een rivier naar het andere daar direct tegenover te zwemmen. Om dit te bereiken, zwemt het direct met een snelheid van 6 km / u, in een loodrechte richting, maar de stroming heeft een snelheid van 4 km / u die het afbuigt.
Bereken de resulterende snelheid van de zwemmer en hoeveel hij wordt afgebogen door de stroming.
Oplossing
De resulterende snelheid van de zwemmer is de vectorsom van zijn snelheid (ten opzichte van de rivier, verticaal naar boven getekend) en de snelheid van de rivier (van links naar rechts getekend), die wordt uitgevoerd zoals aangegeven in de onderstaande figuur:
De grootte van de resulterende snelheid komt overeen met de hypotenusa van de weergegeven rechthoekige driehoek, dus:
v = (6 2 + 4 2 ) ½ km / u = 7,2 km / u
De richting kan worden berekend door de hoek ten opzichte van de loodlijn op de kust:
α = arctg (4/6) = 33,7º of 56,3º ten opzichte van de kust.
Oefening 2
Zoek het moment van het krachtenpaar dat in de afbeelding wordt weergegeven:
Oplossing
Het moment wordt berekend door:
M = r x F
De eenheden van dit moment zijn lb-f.ft. Omdat het paar zich in het vlak van het scherm bevindt, is het moment er loodrecht op gericht, naar buiten of naar binnen.
Omdat het koppel in het voorbeeld de neiging heeft om het object waarop het wordt toegepast (wat niet in de afbeelding wordt getoond) met de klok mee te draaien, wordt dit moment beschouwd als wijzend in het scherm en met een negatief teken.
De grootte van het moment is M = Fdsen a, waarbij a de hoek is tussen de kracht en de vector r. Je moet een punt kiezen om het moment te berekenen, dat is een vrije vector. De oorsprong van het referentiesysteem wordt gekozen, daarom gaat r van O naar het punt van toepassing van elke kracht.
M 1 = M 2 = -Fdsen60º = -500. 20.sen 60º lb-f. ft = -8660,3 lb-f. voet
Het netto moment is de som van M 1 en M 2 : -17329,5 lb-f. voet.
Referenties
- Beardon, T. 2011. Een inleiding tot vectoren. Hersteld van: nrich.maths.org.
- Bedford, 2000. A. Technische mechanica: statica. Addison Wesley. 38-52.
- Figueroa, D. Series: Physics for Sciences and Engineering. Deel 1. Kinematica 31-68.
- Fysiek. Module 8: Vectoren. Hersteld van: frtl.utn.edu.ar
- Hibbeler, R. 2006. Mechanica voor ingenieurs. Statisch 6e editie. Continental Publishing Company. 15-53.
- Vector Toevoeging Calculator. Hersteld van: 1728.org
- Vectoren. Hersteld van: en.wikibooks.org