RESULTERENDE VECTOR: BEREKENING, VOORBEELDEN, OEFENINGEN - FYSIEK - 2026

De resulterende vector is degene die is verkregen door een bewerking met vectoren waarvan het resultaat ook een vector is. Normaal gesproken is deze bewerking de som van twee of meer vectoren, waarmee een vector wordt verkregen waarvan het effect equivalent is.

Op deze manier worden vectoren zoals de resulterende snelheid, versnelling of kracht verkregen. Bijvoorbeeld, wanneer verschillende krachten F ₁ , F ₂ , F ₃ ,… inwerken op een lichaam . de vectorsom van al deze krachten is gelijk aan de netto kracht (de resultante), die wiskundig als volgt wordt uitgedrukt:

F ₁ + F ₂ + F ₃ +… = F _R of F _N

Figuur 1. Het gewicht van de sneeuw wordt over het dak verdeeld en de werking ervan kan worden vervangen door een enkele resulterende kracht die op de juiste plaats wordt uitgeoefend. Bron: Pixabay.

De resulterende vector, of het nu krachten is of een andere vectorgrootte, wordt gevonden door de regels van vectoroptelling toe te passen. Aangezien de vectoren zowel richting en betekenis hebben als een numerieke waarde, is het niet voldoende om de modules toe te voegen om de resulterende vector te hebben.

Dit geldt alleen in het geval dat de betrokken vectoren in dezelfde richting zijn (zie voorbeelden). Anders is het noodzakelijk om vectorsom-methoden te gebruiken, die afhankelijk van het geval geometrisch of analytisch kunnen zijn.

Voorbeelden

Geometrische methoden voor het vinden van de resulterende vector zijn de traverse-methode en de parallellogram-methode.

Wat analytische methoden betreft, is er de componentenmethode, waarmee de vector die het resultaat is van elk systeem van vectoren kan worden gevonden, zolang we zijn Cartesiaanse componenten hebben.

Geometrische methoden om twee vectoren toe te voegen

Stel dat de vectoren u en v (we geven ze vetgedrukt aan om ze te onderscheiden van de scalairen). In figuur 2a) hebben we ze in het vliegtuig geplaatst. In figuur 2 b) is het zo vertaald naar vector v dat zijn oorsprong samenvalt met het einde van u . De resulterende vector gaat van de oorsprong van de eerste ( u ) naar de punt van de laatste ( v ):

Figuur 2. De resulterende vector uit de grafische som van vectoren. Bron: zelf gemaakt.

De resulterende figuur is in dit geval een driehoek (een driehoek is een driezijdige veelhoek). Als we twee vectoren in dezelfde richting hebben, is de procedure hetzelfde: plaats een van de vectoren na de andere en teken er een die van de oorsprong of staart van de eerste naar de punt of het einde van de laatste gaat.

Merk op dat de volgorde waarin deze procedure wordt uitgevoerd niet uitmaakt, aangezien de som van de vectoren commutatief is.

Merk ook op dat in dit geval de module (de lengte of grootte) van de resulterende vector de som is van de modules van de toegevoegde vectoren, in tegenstelling tot het vorige geval, waarin de module van de resulterende vector kleiner is dan de som van de deelnemer modules.

Parallellogram-methode

Deze methode is zeer geschikt als u twee vectoren moet optellen waarvan de oorsprongspunten bijvoorbeeld samenvallen met de oorsprong van een xy-coördinatensysteem. Stel dat dit het geval is voor onze vectoren u en v (figuur 3a):

Figuur 3. Som van twee vectoren met behulp van de parallellogrammethode met de resulterende vector in turkooisblauw. Bron: zelf gemaakt.

In figuur 3b) is een parallellogram geconstrueerd met behulp van stippellijnen evenwijdig aan u en v . De resulterende vector heeft zijn oorsprong bij O en zijn einde op het punt waar de stippellijnen elkaar snijden. Deze procedure is volledig gelijk aan die beschreven in de vorige sectie.

Opdrachten

-Oefening 1

Zoek de resulterende vector met behulp van de traverse-methode, uitgaande van de volgende vectoren.

Figuur 4. Vectoren om hun resultaat te vinden met behulp van de polygonale methode. Opgave 1. Bron: eigen uitwerking.

Oplossing

De traverse-methode is de eerste van de geziene methoden. Onthoud dat de som van vectoren commutatief is (de volgorde van de toevoegingen verandert de som niet), dus je kunt beginnen met een van de vectoren, bijvoorbeeld u (figuur 5a) of r (figuur 5b):

Figuur 5. Som van vectoren volgens de polygonale methode. Bron: zelf gemaakt.

De verkregen figuur is een veelhoek en de resulterende vector (in blauw) wordt R genoemd . Als u met een andere vector begint, kan de vorm die wordt gevormd anders zijn, zoals in het voorbeeld, maar de resulterende vector is hetzelfde.

Oefening 2

In de volgende afbeelding weten we dat de modules van de vectoren u en v respectievelijk u = 3 willekeurige eenheden en v = 1,8 willekeurige eenheden zijn. De hoek die u maakt met de positieve x-as is 45º, terwijl v 60º maakt met de y-as, zoals te zien is in de figuur. Zoek de resulterende vector, grootte en richting.

Oplossing

In het voorgaande gedeelte werd de resulterende vector gevonden door de parallellogrammethode toe te passen (in turkoois in de figuur).

Een gemakkelijke manier om de resulterende vector analytisch te vinden, is door de toegevoegde vectoren uit te drukken in termen van hun Cartesiaanse componenten, wat een gemakkelijke taak is als de modulus en hoek bekend zijn, zoals de vectoren in dit voorbeeld:

u _x = u. cos 45º = 3 x cos 45º = 2,12; u _y = u. sin 45º = 3x sin 45º = 2.12

v _x = v. sin 60º = 1,8 x sin 60º = 1,56; v _y = -v. cos 60º = -1,8 x cos 60º = - 0,9

De vectoren u en v zijn vectoren die tot het vlak behoren, en hebben daarom elk twee componenten. Vector u bevindt zich in het eerste kwadrant en zijn componenten zijn positief, terwijl vector v zich in het vierde kwadrant bevindt; zijn x-component is positief, maar zijn projectie op de verticale as valt op de negatieve y-as.

Berekening van de cartesiaanse componenten van de resulterende vector

De resulterende vector wordt gevonden door algebraïsch de respectievelijke x- en y-componenten toe te voegen om hun Cartesiaanse componenten te verkrijgen:

R _x = 2,12 + 1,56 = 3,68

R _y = 2,12 + (-0,9) = 1,22

Zodra de cartesische componenten zijn gespecificeerd, is de vector volledig bekend. De resulterende vector kan worden uitgedrukt met de notatie tussen haakjes:

R = <3,68; 1.22> willekeurige eenheden

De haakjesnotatie wordt gebruikt om een ​​vector te onderscheiden van een punt in het vlak (of in de ruimte). Een andere manier om de resulterende vector analytisch uit te drukken, is door de eenheidsvectoren i en j in het vlak ( i , j en k in de ruimte) te gebruiken:

R = 3,68 i + 1,22 j willekeurige eenheden

Omdat beide componenten van de resulterende vector positief zijn, behoort vector R tot het eerste kwadrant, dat al eerder grafisch is gezien.

Omvang en richting van de resulterende vector

Als we de cartesische componenten kennen, wordt de grootte van R berekend via de stelling van Pythagoras, aangezien de resulterende vector R , samen met zijn componenten R _x en R _, een rechthoekige driehoek vormt:

Omvang of module: R = (3,68 ² + 1,22 ² ) ^½ = 3,88

Richting q met de positieve x-as als referentie: q = arctan (R _y / R _x ) = arctg (1,22 / 3,68) = 18,3 º

Referenties

1. Vectoren en regels toevoegen. Teruggeplaatst van: newt.phys.unsw.edu.au
2. Figueroa, D. Series: Physics for Sciences and Engineering. Deel 1. Kinematica 31-68.
3. Fysiek. Module 8: Vectoren. Hersteld van: frtl.utn.edu.ar
4. Hibbeler, R. 2006. Mechanica voor ingenieurs. Statisch 6e editie. Continental Publishing Company. 15-53.
5. Vector Toevoeging Calculator. Opgehaald van: www.1728.org