DOORLOPENDE VARIABELE: KENMERKEN, VOORBEELDEN EN OEFENINGEN - FYSIEK - 2026

De continue variabele is een variabele die een oneindig aantal numerieke waarden tussen twee gegeven waarden kan aannemen, zelfs als die twee waarden willekeurig dicht bij elkaar liggen. Ze worden gebruikt om meetbare attributen te beschrijven; bijvoorbeeld lengte en gewicht. De waarden die een continue variabele aanneemt, kunnen rationale getallen, reële getallen of complexe getallen zijn, hoewel het laatste geval minder vaak voorkomt in statistieken.

Het belangrijkste kenmerk van continue variabelen is dat tussen twee rationele of reële waarden altijd een andere kan worden gevonden, en tussen die andere en de eerste een andere waarde kan worden gevonden, enzovoort, voor onbepaalde tijd.

Figuur 1. De curve vertegenwoordigt een continue verdeling en de balken een discrete. Bron: pixabay

Stel bijvoorbeeld dat het variabele gewicht in een groep waar de zwaarste 95 kg weegt en de laagste 48 kg weegt; dat zou het bereik van de variabele zijn en het aantal mogelijke waarden is oneindig.

Tussen 50,00 kg en 50,10 kg kan bijvoorbeeld 50,01 zijn. Maar tussen 50,00 en 50,01 kan de maat 50,005 zijn. Dat is een continue variabele. Aan de andere kant, als bij de mogelijke gewichtsmetingen een precisie van één decimaal zou worden vastgesteld, dan zou de gebruikte variabele discreet zijn.

Continue variabelen behoren tot de categorie van kwantitatieve variabelen, omdat er een numerieke waarde aan is gekoppeld. Met deze numerieke waarde is het mogelijk wiskundige bewerkingen uit te voeren variërend van rekenkundige tot oneindig kleine rekenmethoden.

Voorbeelden

De meeste variabelen in de natuurkunde zijn continue variabelen, waaronder we kunnen noemen: lengte, tijd, snelheid, versnelling, energie, temperatuur en andere.

Continue variabelen en discrete variabelen

In de statistiek kunnen verschillende soorten variabelen worden gedefinieerd, zowel kwalitatief als kwantitatief. Continue variabelen behoren tot de laatste categorie. Met hen is het mogelijk om rekenkundige en rekenbewerkingen uit te voeren.

Zo is de variabele h, die overeenkomt met mensen met een lengte tussen 1,50 m en 1,95 m, een continue variabele.

Laten we deze variabele met deze vergelijken: het aantal keren dat een toss naar voren komt, die we n zullen noemen.

De variabele n kan waarden aannemen tussen 0 en oneindig, maar n is geen continue variabele aangezien het de waarde 1.3 of 1.5 niet kan aannemen, omdat er tussen de waarden 1 en 2 geen andere is. Dit is een voorbeeld van een discrete variabele.

Oefening met continue variabelen

Beschouw het volgende voorbeeld: een machine maakt lucifersstokjes en verpakt ze in zijn doos. Er zijn twee statistische variabelen gedefinieerd:

De nominale wedstrijdlengte is 5,0 cm met een tolerantie van 0,1 cm. Het aantal lucifers per doos is 50 met een tolerantie van 3.

a) Geef het waardenbereik aan dat L en N kunnen aannemen.

b) Hoeveel waarden kan L aan?

c) Hoeveel waarden kan n aan?

Geef telkens aan of het een discrete of continue variabele is.

Oplossing

De waarden van L liggen in het bereik; dat wil zeggen, de waarde van L ligt in het interval en de variabele L kan tussen deze twee metingen oneindige waarden aannemen. Het is dan een continue variabele.

De waarde van variabele n ligt in het interval. De variabele n kan maar 6 mogelijke waarden aannemen in het tolerantie-interval, het is dan een discrete variabele.

Oefening van

Als de waarden van de variabele niet alleen continu zijn, maar ook een bepaalde kans hebben dat ze voorkomen, dan is het een continue willekeurige variabele. Het is erg belangrijk om te onderscheiden of de variabele discreet of continu is, aangezien de probabilistische modellen die van toepassing zijn op het ene en het andere verschillend zijn.

Een continue willekeurige variabele is volledig gedefinieerd wanneer de waarden die het kan aannemen, en de waarschijnlijkheid dat elk ervan zal plaatsvinden, bekend zijn.

-Oefen 1 van de kansen

De koppelaar maakt ze zo dat de lengte van de stokjes altijd tussen de waarden 4,9 cm en 5,1 cm ligt, en nul daarbuiten. Er is een kans om een ​​stok te krijgen die tussen de 5,00 en 5,05 cm meet, hoewel we er ook een kunnen extraheren van 5.0003 cm. Zijn deze waarden even waarschijnlijk?

Oplossing

Stel dat de kansdichtheid uniform is. De kansen om een ​​match met een bepaalde lengte te vinden, worden hieronder weergegeven:

-Dat een overeenkomst in het bereik is, heeft waarschijnlijkheid = 1 (of 100%), aangezien de machine geen overeenkomsten trekt buiten die waarden.

-Het vinden van een overeenkomst die tussen 4,9 en 5,0 ligt, heeft een kans = ½ = 0,5 (50%), aangezien dit de helft is van het lengtebereik.

-En de kans dat de wedstrijd een lengte heeft tussen 5,0 en 5,1 is ook 0,5 (50%)

- Het is bekend dat er geen matchsticks zijn met een lengte tussen 5,0 en 5,2. Waarschijnlijkheid: nul (0%).

Kans om een ​​tandenstoker binnen een bepaald bereik te vinden

Laten we nu kijken naar de volgende kansen P om stokken te verkrijgen met een lengte tussen l ₁ en l ₂ :

-P dat een wedstrijd een lengte heeft tussen 5,00 en 5,05, wordt aangeduid als P ():

-P dat de heuvel een lengte heeft tussen 5,00 en 5,01 is:

-P dat de heuvel een lengte heeft tussen 5.000 en 5.001 is zelfs nog minder:

Als we het interval blijven verkleinen om steeds dichter bij 5,00 te komen, is de kans dat een tandenstoker precies 5,00 cm is nul (0%). Wat we wel hebben, is de kans om een ​​match binnen een bepaald bereik te vinden.

Waarschijnlijkheid om meerdere tandenstokers binnen een bepaald bereik te vinden

Als de gebeurtenissen onafhankelijk zijn, is de kans dat twee tandenstokers zich binnen een bepaald bereik bevinden het product van hun kansen.

-De kans dat twee eetstokjes tussen 5,0 en 5,1 liggen is 0,5 * 0,5 = 0,25 (0,25%)

-De kans dat 50 tandenstokers tussen 5,0 en 5,1 liggen is (0,5) ^ 50 = 9 × 10 ^ -16, dat wil zeggen bijna nul.

-De kans dat 50 tandenstokers tussen 4,9 en 5,1 liggen is (1) ^ 50 = 1 (100%)

-Oefen 2 van kansen

In het vorige voorbeeld werd aangenomen dat de kans uniform is in het gegeven interval, maar dit is niet altijd het geval.

In het geval van de eigenlijke machine die de tandenstokers produceert, is de kans dat de tandenstoker op de middelste waarde staat groter dan bij een van de uiterste waarden. Vanuit wiskundig oogpunt wordt dit gemodelleerd met een functie f (x) die bekend staat als de kansdichtheid.

De kans dat de maat L tussen a en b ligt, wordt berekend met de bepaalde integraal van de functie f (x) tussen a en b.

Stel dat we als voorbeeld de functie f (x) willen vinden, die een uniforme verdeling vertegenwoordigt tussen de waarden 4.9 en 5.1 uit opgave 1.

Als de kansverdeling uniform is, dan is f (x) gelijk aan de constante c, die wordt bepaald door de integraal te nemen tussen 4.9 en 5.1 van c. Aangezien deze integraal de kans is, moet het resultaat 1 zijn.

Figuur 2. Uniforme kansdichtheid. (Eigen uitwerking)

Dit betekent dat c 1 / 0,2 = 5 waard is. Dat wil zeggen, de uniforme kansdichtheidsfunctie is f (x) = {5 als 4,9 ≤ x ≤ 5,1 en 0 buiten dit bereik. Een uniforme kansdichtheidsfunctie wordt getoond in Figuur 2.

Merk op hoe in intervallen van dezelfde breedte (bijvoorbeeld 0,02) de kans hetzelfde is in het midden als aan het einde van het bereik van de continue variabele L (tandenstokerlengte).

Een realistischer model zou een waarschijnlijkheidsdichtheidsfunctie zijn zoals de volgende:

Figuur 3. Niet-uniforme kansdichtheidsfunctie. (Eigen uitwerking)

In figuur 3 is te zien hoe de kans om tandenstokers te vinden tussen 4,99 en 5,01 (breedte 0,02) groter is dan die van tandenstokers tussen 4,90 en 4,92 (breedte 0,02)

Referenties

1. Dinov, Ivo. Discrete willekeurige variabelen en kansverdelingen. Opgehaald van: stat.ucla.edu
2. Discrete en continue willekeurige variabelen. Opgehaald van: ocw.mit.edu
3. Discrete willekeurige variabelen en kansverdelingen. Opgehaald van: homepage.divms.uiowa.edu
4. H. Pishro. Inleiding tot waarschijnlijkheid. Hersteld van: waarschijnlijkheid course.com
5. Mendenhall, W. 1978. Statistieken voor management en economie. Grupo Hoofdartikel Iberoamericana. 103-106.
6. Willekeurige variabelen, problemen en waarschijnlijkheidsmodellen. Hersteld van: ugr.es.
7. Wikipedia. Continu variabele. Opgehaald van wikipedia.com
8. Wikipedia. Statistieken variabele. Opgehaald van wikipedia.com.