DRIEHOEKEN: GESCHIEDENIS, ELEMENTEN, CLASSIFICATIE, EIGENSCHAPPEN - WETENSCHAP - 2026

De driehoeken zijn platte en gesloten geometrische figuren, bestaande uit drie zijden. Een driehoek wordt bepaald door drie lijnen die twee aan twee snijden en drie hoeken met elkaar vormen. De driehoekige vorm, vol symboliek, is aanwezig in talloze objecten en als bouwelement.

De oorsprong van de driehoek is verloren gegaan in de geschiedenis. Uit het archeologische bewijs is bekend dat de primitieve mensheid het goed kende, aangezien de archeologische overblijfselen bevestigen dat het werd gebruikt in gereedschappen en wapens.

Figuur 1. Driehoeken. Bron: Publicdomainpictures.

Het is ook duidelijk dat de oude Egyptenaren een gedegen kennis bezaten van geometrie en in het bijzonder van de driehoekige vorm. Ze kwamen tot uiting in de architectonische elementen van de monumentale gebouwen.

In de Rhind-papyrus zijn formules voor de berekening van gebieden van driehoeken en trapezoïden, evenals enkele volumes en andere concepten van rudimentaire trigonometrie.

Van hun kant is bekend dat de Babyloniërs in staat waren om de oppervlakte van de driehoek en andere geometrische figuren te berekenen, die ze gebruikten voor praktische doeleinden, zoals landverdelingen. Ze waren ook goed op de hoogte van veel eigenschappen van driehoeken.

Het waren echter de oude Grieken die veel van de geometrische concepten die tegenwoordig heersen, hebben gesystematiseerd, hoewel veel van deze kennis niet exclusief was, aangezien het zeker werd gedeeld met deze andere oude beschavingen.

Driehoek elementen

De elementen van elke driehoek worden aangegeven in de volgende afbeelding. Er zijn drie: hoekpunten, zijden en hoeken.

Figuur 2. Notatie van driehoeken en hun elementen. Bron: Wikimedia Commons, gewijzigd door F. Zapata

-Vertices : zijn de snijpunten van de lijnen waarvan de segmenten de driehoek bepalen. In de bovenstaande afbeelding snijdt bijvoorbeeld de lijn L _AC die het segment AC bevat, de lijn L _AB die het segment AB bevat precies op punt A.

- Zijden : tussen elk paar hoekpunten wordt een lijnstuk getekend dat één zijde van de driehoek vormt. Dit segment kan worden aangeduid met de eindletters of door een specifieke letter te gebruiken om het te noemen. In het voorbeeld van figuur 2 wordt zijde AB ook wel "c" genoemd.

- Hoeken : tussen elke zijde met een gemeenschappelijk hoekpunt ontstaat een hoek waarvan het hoekpunt samenvalt met die van de driehoek. Over het algemeen wordt de hoek aangegeven met een Griekse letter, zoals aan het begin vermeld.

Om een ​​bepaalde driehoek met een bepaalde vorm en grootte te bouwen, hoeft u alleen maar een van de volgende gegevenssets te hebben:

-De drie zijden, vrij duidelijk in het geval van een driehoek.

-Twee zijden en de hoek ertussen, en onmiddellijk wordt de overgebleven zijde getekend.

-Twee (interne) hoeken en de zijde ertussen. Bij uitbreiding worden de twee ontbrekende zijden getekend en is de driehoek klaar.

Notatie

Over het algemeen worden in driehoeksnotatie de volgende conventies gebruikt: hoekpunten worden aangegeven door Latijnse hoofdletters, zijkanten door Latijnse kleine letters en hoeken door Griekse letters (zie figuur 2).

Op deze manier wordt de driehoek genoemd naar zijn hoekpunten. De driehoek aan de linkerkant in figuur 2 is bijvoorbeeld driehoek ABC en die aan de rechterkant is driehoek A'B'C '.

Het is ook mogelijk om andere notaties te gebruiken; de hoek α in figuur 2 wordt bijvoorbeeld aangeduid als BAC. Merk op dat de letter van het hoekpunt in het midden staat en dat de letters tegen de klok in worden geschreven.

Andere keren wordt een caret gebruikt om de hoek aan te duiden:

α = ∠A

Soorten driehoeken

Er zijn verschillende criteria voor het classificeren van driehoeken. Het meest gebruikelijke is om ze te classificeren volgens de maat van hun zijden of volgens de maat van hun hoeken. Afhankelijk van de grootte van hun zijden, kunnen de driehoeken zijn: schalen, gelijkbenig of gelijkzijdig:

-Scaleno : de drie kanten zijn verschillend.

-Isósceles : het heeft twee gelijke kanten en een verschillende kant.

-Equilátero : de drie zijden zijn gelijk.

Figuur 3. Classificatie van driehoeken aan de zijkanten. Bron: F. Zapata

Volgens de maat van hun hoeken worden de driehoeken als volgt genoemd:

- Obstructie , als een van de interne hoeken groter is dan 90º.

- Acute hoek , wanneer de drie interne hoeken van de driehoek acuut zijn, dat wil zeggen minder dan 90º

- Rechthoek , voor het geval een van de interne hoeken 90º waard is. De zijden die 90º vormen worden benen genoemd en de zijde tegenover de rechte hoek is de hypotenusa.

Figuur 4. Classificatie van driehoeken volgens hun interne hoeken. Bron: F. Zapata.

Congruentie van driehoeken

Wanneer twee driehoeken dezelfde vorm hebben en dezelfde grootte hebben, wordt gezegd dat ze congruent zijn. Natuurlijk is congruentie gerelateerd aan gelijkheid, dus waarom spreken we in de meetkunde over "twee congruente driehoeken" in plaats van "twee gelijke driehoeken"?

Welnu, het verdient de voorkeur om de term "congruentie" te gebruiken om vast te houden aan de waarheid, aangezien twee driehoeken dezelfde vorm en grootte kunnen hebben, maar anders in het vlak georiënteerd zijn (zie figuur 3). Vanuit het oogpunt van geometrie zouden ze niet langer strikt hetzelfde zijn.

Figuur 5. Congruente driehoeken, maar niet noodzakelijk gelijk, aangezien hun oriëntatie in het vlak anders is. Bron: F. Zapata.

Congruentiecriteria

Twee driehoeken zijn congruent als een van de volgende situaties zich voordoet:

-De drie zijden meten hetzelfde (nogmaals, dit is het duidelijkst).

-Ze hebben twee identieke zijden en met dezelfde hoek ertussen.

-Beide hebben twee identieke interne hoeken en de zijde tussen deze hoeken meet hetzelfde.

Zoals te zien is, gaat het erom dat de twee driehoeken voldoen aan de noodzakelijke voorwaarden, zodat wanneer ze worden gebouwd, hun vorm en grootte precies hetzelfde zijn.

De congruentiecriteria zijn zeer bruikbaar, aangezien in de praktijk ontelbare stukken en mechanische onderdelen in serie moeten worden vervaardigd, zodanig dat hun afmetingen en vorm exact hetzelfde zijn.

Overeenkomsten van driehoeken

Een driehoek lijkt op een andere als ze dezelfde vorm hebben, ook al hebben ze verschillende afmetingen. Om ervoor te zorgen dat de vorm hetzelfde is, is het vereist dat de interne hoeken dezelfde waarde hebben en dat de zijkanten proportioneel zijn.

Figuur 6. Twee gelijkaardige driehoeken: hun afmetingen verschillen maar hun verhoudingen zijn hetzelfde. Bron: F. Zapata.

De driehoeken in figuur 2 zijn ook vergelijkbaar, net als die in figuur 6. Op deze manier:

Wat de zijkanten betreft, gelden de volgende overeenkomstenverhoudingen:

Eigendommen

De fundamentele eigenschappen van driehoeken zijn als volgt:

-De som van de interne hoeken van elke driehoek is altijd 180º.

-Voor elke driehoek is de som van de externe hoeken gelijk aan 360 °.

- Een uitwendige hoek van een driehoek is gelijk aan de som van de twee binnenhoeken die niet aan die hoek grenzen.

Stellingen

Thales 'eerste stelling

Ze worden toegeschreven aan de Griekse filosoof en wiskundige Thales van Miletus, die verschillende stellingen met betrekking tot meetkunde ontwikkelde. De eerste stelt het volgende:

Figuur 7. De stelling van Thales. Bron: F. Zapata.

Met andere woorden:

a / a´ = b / b´ = c / c´

De eerste stelling van Thales is van toepassing op een driehoek, we hebben bijvoorbeeld de blauwe driehoek ABC aan de linkerkant, die wordt doorgesneden door de rode parallellen aan de rechterkant:

Figuur 8. De stelling van Thales en soortgelijke driehoeken.

De violette driehoek AB'C 'is vergelijkbaar met de blauwe driehoek ABC, daarom kan volgens de stelling van Thales het volgende worden geschreven:

AB´ / AC´ = AB / AC

En het is in overeenstemming met wat eerder werd uitgelegd in het segment van de gelijkenis van driehoeken. Overigens kunnen parallelle lijnen ook verticaal of parallel aan de hypotenusa zijn en soortgelijke driehoeken worden op dezelfde manier verkregen.

Thales 'tweede stelling

Deze stelling verwijst ook naar een driehoek en een cirkel met middelpunt O, zoals hieronder weergegeven. In deze figuur is AC een diameter van de omtrek en is B een punt erop, waarbij B verschilt van A en B.

Thales 'tweede stelling stelt dat:

Figuur 9. De tweede stelling van Thales. Bron: Wikimedia Commons. Inductieve belasting.

De stelling van Pythagoras

Dit is een van de beroemdste stellingen in de geschiedenis. Het is te danken aan de Griekse wiskundige Pythagoras van Samos (569 - 475 v.Chr.) En is van toepassing op een rechthoekige driehoek. Zegt het:

Als we de blauwe driehoek in figuur 8 als voorbeeld nemen, of de paarse driehoek, aangezien beide rechthoeken zijn, dan kan worden gesteld dat:

AC ² = AB ² + BC ² (blauwe driehoek)

AC´ ² = AB´ ² + BC´ ² (paarse driehoek)

De oppervlakte van een driehoek

De oppervlakte van de driehoek wordt gegeven door het product van de basis a en de hoogte h, gedeeld door 2. En door trigonometrie kan deze hoogte worden geschreven als h = b sinθ.

Figuur 10. Oppervlakte van de driehoek. Bron: Wikimedia Commons.

Voorbeelden van driehoeken

voorbeeld 1

Er wordt gezegd dat Thales met zijn eerste stelling de hoogte van de Grote Piramide in Egypte, een van de 7 wonderen van de antieke wereld, heeft kunnen meten door de schaduw te meten die deze op de grond projecteerde en die werd geprojecteerd door een in de grond gedreven paal.

Dit is de schets van de procedure die wordt gevolgd door Tales:

Figuur 11. Schema om de hoogte van de Grote Piramide te meten door gelijkenis van driehoeken. Bron: Wikimedia Commons. Dake

Thales nam terecht aan dat de zonnestralen parallel schijnen. Met dit in gedachten stelde hij zich de grote rechthoekige driehoek aan de rechterkant voor.

Daar is D de hoogte van de piramide en C is de afstand boven de grond gemeten vanaf het midden tot de schaduw die de piramide op de woestijnbodem werpt. Het is misschien omslachtig om C te meten, maar het is zeker gemakkelijker dan het meten van de hoogte van de piramide.

Aan de linkerkant is de kleine driehoek, met poten A en B, waarbij A de hoogte is van de paal die verticaal in de grond is gedreven en B de schaduw is die hij werpt. Beide lengtes zijn meetbaar, evenals C (C is gelijk aan de lengte van de schaduw + de halve lengte van de piramide).

Dus door gelijkenis van driehoeken:

A / B = D / C

En de hoogte van de Grote Piramide blijkt te zijn: D = C. (A / B)

Voorbeeld 2

De spanten in de civiele bouw zijn constructies van dunne rechte staven van hout of metaal die door elkaar zijn gekruist, die in veel gebouwen als ondersteuning worden gebruikt. Ze worden ook wel trossen, trossen of trossen genoemd.

In hen zijn de driehoeken altijd aanwezig, omdat de staven met elkaar zijn verbonden op punten die knooppunten worden genoemd en die kunnen worden bevestigd of gearticuleerd.

Figuur 12. De driehoek is aanwezig in het frame van deze brug. Bron: PxHere.

Voorbeeld 3

De methode die bekend staat als triangulatie maakt het mogelijk om de locatie van ontoegankelijke punten te bepalen door andere afstanden te kennen die gemakkelijker te meten zijn, op voorwaarde dat er een driehoek wordt gevormd die de gewenste locatie tussen de hoekpunten omvat.

In de volgende afbeelding willen we bijvoorbeeld weten waar het schip zich in de zee bevindt, aangeduid als B.

Figuur 13. Triangulatieschema om het schip te lokaliseren. Bron: Wikimedia Commons. Colette

Eerst wordt de afstand tussen twee punten aan de kust gemeten, die in de figuur A en C zijn. Vervolgens moeten de hoeken α en β worden bepaald met behulp van een theodoliet, een apparaat dat wordt gebruikt om verticale en horizontale hoeken te meten.

Met al deze informatie wordt een driehoek gebouwd waarvan het bovenste hoekpunt het schip is. Het zou blijven om de hoek γ te berekenen met behulp van de eigenschappen van de driehoeken en de afstanden AB en CB met behulp van trigonometrie, om de positie van het schip in de zee te bepalen.

Opdrachten

Oefening 1

In de getoonde afbeelding zijn de zonnestralen parallel. Op deze manier werpt de 5 meter hoge boom een ​​schaduw van 6 meter op de grond. Tegelijkertijd is de schaduw van het gebouw 40 meter. Volg de eerste stelling van Thales en zoek de hoogte van het gebouw.

Figuur 14. Schema voor de opgeloste oefening 1. Bron: F. Zapata.

Oplossing

De rode driehoek heeft zijden van respectievelijk 5 en 6 meter, terwijl de blauwe een hoogte H heeft - de hoogte van het gebouw - en een basis van 40 meter. Beide driehoeken zijn vergelijkbaar, daarom:

Oefening 2

U moet de horizontale afstand tussen twee punten A en B weten, maar ze bevinden zich op een zeer oneffen ondergrond.

Ongeveer in het midden (P _m ) van genoemd terrein valt een prominente plaats op van 1,75 meter hoog. Als het meetlint 26 meter lengte aangeeft, gemeten van A tot het prominente punt, en 27 meter van B tot hetzelfde punt, zoek dan de afstand AB.

Figuur 15. Schema voor de opgeloste oefening 2. Bron: Jiménez, R. Mathematics II. Geometrie en trigonometrie.

Oplossing

De stelling van Pythagoras wordt toegepast op een van de twee rechthoekige driehoeken in de figuur. Te beginnen met degene aan de linkerkant:

Hypotenusa = c = 26 meter

Hoogte = a = 1,75 meter

AP _m = (26 ² - 1,75 ² ) ^1/2 = 25,94 m

Breng nu Pythagoras aan in de driehoek aan de rechterkant, dit keer c = 27 meter, a = 1,75 meter. Met deze waarden:

BP _m = (27 ² - 1,75 ² ) ^1/2 = 26,94 m

De afstand AB wordt gevonden door deze resultaten toe te voegen:

AB = 25,94 m + 26,94 m = 52,88 m.

Referenties

1. Baldor, JA 1973. Vliegtuig- en ruimtegeometrie. Centraal-Amerikaanse culturele.
2. Barredo, D. De geometrie van de driehoek. Hersteld van: ficus.pntic.mec.es.
3. Jiménez, R. 2010. Wiskunde II. Geometrie en trigonometrie. Tweede druk. Pearson.
4. Wentworth, G. Vliegtuiggeometrie. Hersteld van: gutenberg.org.
5. Wikipedia. Driehoek. Hersteld van: es. wikipedia.org.