SCHAALDRIEHOEK: KENMERKEN, FORMULE EN GEBIEDEN, BEREKENING - WISKUNDE - 2026

Een scalenedriehoek is een veelhoek met drie zijden, die allemaal verschillende afmetingen of lengtes hebben; om die reden krijgt het de naam scalene, wat in het Latijn klimmen betekent.

Driehoeken zijn polygonen die als de eenvoudigste in geometrie worden beschouwd, omdat ze bestaan ​​uit drie zijden, drie hoeken en drie hoekpunten. In het geval van de scalenedriehoek, door alle zijden verschillend te hebben, betekent dit dat de drie hoeken dat ook zijn.

Kenmerken van schaaldriehoeken

Scalene driehoeken zijn eenvoudige polygonen omdat geen van hun zijden of hoeken dezelfde maat heeft, in tegenstelling tot gelijkbenige en gelijkzijdige driehoeken.

Omdat al hun zijden en hoeken verschillende afmetingen hebben, worden deze driehoeken beschouwd als onregelmatige convexe polygonen.

Op basis van de amplitude van de interne hoeken worden schaaldriehoeken geclassificeerd als:

• Scalene rechthoekige driehoek : alle zijden zijn verschillend. Een van de hoeken is juist (90 ^of ) en de andere zijn scherp en met verschillende maten.
• Stompe scalenedriehoek : alle zijden zijn verschillend en een van de hoeken is stomp (> 90 ^of ).
• Scalene acute driehoek : alle zijden zijn verschillend. Alle hoeken zijn scherp (<90 ^of ) met verschillende maten.

Een ander kenmerk van schaaldriehoeken is dat ze vanwege de incongruentie van hun zijden en hoeken geen symmetrieas hebben.

Componenten

De mediaan : het is een lijn die begint vanaf het middelpunt van één zijde en het tegenoverliggende hoekpunt bereikt. De drie medianen ontmoeten elkaar op een punt dat het zwaartepunt of zwaartepunt wordt genoemd.

De bissectrice : het is een straal die elke hoek in twee gelijke hoeken verdeelt. De bissectoren van een driehoek komen samen op een punt dat de incenter wordt genoemd.

De middelloodlijn : het is een segment loodrecht op de zijkant van de driehoek, die zijn oorsprong in het midden ervan heeft. Er zijn drie middelloodlijnen in een driehoek en ze ontmoeten elkaar op een punt dat circumcenter wordt genoemd.

De hoogte : het is de lijn die van het hoekpunt naar de tegenoverliggende zijde gaat en ook deze lijn staat loodrecht op die zijde. Alle driehoeken hebben drie hoogtes die samenvallen op een punt dat het orthocentrum wordt genoemd.

Eigendommen

Schaaldriehoeken worden gedefinieerd of geïdentificeerd omdat ze verschillende eigenschappen hebben die hen vertegenwoordigen, afkomstig van de stellingen die zijn voorgesteld door grote wiskundigen. Zij zijn:

Interne hoeken

De som van de binnenhoeken is altijd gelijk aan 180 ^° .

Som van de zijkanten

De som van de maten van twee zijden moet altijd groter zijn dan de maat van de derde zijde, a + b> c.

Incongruente kanten

Alle zijden van schaaldriehoeken hebben verschillende afmetingen of lengtes; dat wil zeggen, ze zijn ongerijmd.

Onjuiste hoeken

Omdat alle zijden van de scalenedriehoek verschillend zijn, zullen de hoeken dat ook zijn. De som van de interne hoeken zal echter altijd gelijk zijn aan 180 °, en in sommige gevallen kan een van de hoeken stomp of juist zijn, terwijl in andere alle hoeken scherp zijn.

Hoogte, mediaan, bissectrice en middelloodlijn zijn niet toevallig

Zoals elke driehoek heeft scalene verschillende lijnsegmenten waaruit het bestaat, zoals: hoogte, mediaan, middelloodlijn en middelloodlijn.

Vanwege de specificiteit van de zijkanten, zal in dit type driehoek geen van deze lijnen samenvallen in één.

Orthocenter, barycenter, incenter en circumcenter zijn geen toeval

Aangezien de hoogte, mediaan, bissectrice en middelloodlijn worden weergegeven door verschillende lijnsegmenten, zullen in een schaaldriehoek de ontmoetingspunten - het orthocentrum, de incenter en de circumcenter - op verschillende punten worden gevonden (ze vallen niet samen).

Afhankelijk van of de driehoek acuut, rechts of ongelijk is, heeft het orthocentrum verschillende locaties:

naar. Als de driehoek acuut is, bevindt het orthocentrum zich binnen de driehoek.

b. Als de driehoek goed is, valt het orthocentrum samen met de top van de rechterkant.

c. Als de driehoek stomp is, bevindt het orthocentrum zich aan de buitenkant van de driehoek.

Relatieve hoogtes

Hoogtes zijn relatief ten opzichte van de zijkanten.

In het geval van de schaaldriehoek zullen deze hoogtes verschillende afmetingen hebben. Elke driehoek heeft drie relatieve hoogtes en de formule van Heron wordt gebruikt om ze te berekenen.

Hoe de omtrek berekenen?

De omtrek van een veelhoek wordt berekend door de zijkanten op te tellen.

Omdat in dit geval de schaaldriehoek al zijn zijden heeft met verschillende afmetingen, zal de omtrek zijn:

P = kant a + kant b + kant c.

Hoe de oppervlakte berekenen?

De oppervlakte van de driehoeken wordt altijd berekend met dezelfde formule, waarbij de basistijd vermenigvuldigd wordt met de hoogte en gedeeld door twee:

Gebied = (basis _* h) ÷ 2

In sommige gevallen is de hoogte van de scalenedriehoek niet bekend, maar er is een formule die werd voorgesteld door de wiskundige Herón, om de oppervlakte te berekenen door de maat van de drie zijden van een driehoek te kennen.

Waar:

• a, b en c vertegenwoordigen de zijden van de driehoek.
• sp, komt overeen met de semiperimeter van de driehoek, dat wil zeggen de helft van de omtrek:

sp = (a + b + c) ÷ 2

In het geval dat u slechts de maat heeft van twee van de zijden van de driehoek en de hoek die ertussen wordt gevormd, kan de oppervlakte worden berekend door de trigonometrische verhoudingen toe te passen. Dus je moet:

Gebied = (zijde _* h) ÷ 2

Waarbij de hoogte (h) het product is van één zijde en de sinus van de tegenoverliggende hoek. Voor elke zijde is het gebied bijvoorbeeld:

• Gebied = (b _* c _* sin A) ÷ 2
• Gebied = (a _* c _* sin B) ÷ 2.
• Gebied = (a _* b _* sin C) ÷ 2

Hoe de hoogte berekenen?

Omdat alle zijden van de scalenedriehoek verschillend zijn, is het niet mogelijk om de hoogte te berekenen met de stelling van Pythagoras.

Met de formule van Heron, die is gebaseerd op de afmetingen van de drie zijden van een driehoek, kan de oppervlakte worden berekend.

Hoogte kan worden gewist uit de algemene formule van het gebied:

De zijde wordt vervangen door de maat van zijde a, b of c.

Een andere manier om de hoogte te berekenen wanneer de waarde van een van de hoeken bekend is, is door de trigonometrische verhoudingen toe te passen, waarbij de hoogte een poot van de driehoek zal vertegenwoordigen.

Als bijvoorbeeld de hoek tegenover de hoogte bekend is, wordt deze bepaald door de sinus:

Hoe de zijkanten berekenen?

Als je de maat hebt van twee zijden en de hoek er tegenover, is het mogelijk om de derde zijde te bepalen door de cosinusstelling toe te passen.

In een driehoek AB wordt bijvoorbeeld de hoogte ten opzichte van segment AC uitgezet. Op deze manier wordt de driehoek verdeeld in twee rechthoekige driehoeken.

Om zijde c (segment AB) te berekenen, past u de stelling van Pythagoras toe voor elke driehoek:

• Voor de blauwe driehoek hebben we:

c ² = h ² + m ²

Aangezien m = b - n, vervangen we:

c ² = h ² + b ² (b - n) ²

c ² = h ² + b ² - 2 miljard + n ² .

• Voor de roze driehoek moet je:

h ² = een ² - n ²

Het is vervangen in de vorige vergelijking:

c ² = een ² - n ² + b ² - 2bn + n ²

c ² = een ² + b ² - 2bn.

Wetende dat n = a _* cos C, wordt het vervangen in de vorige vergelijking en wordt de waarde van zijde c verkregen:

c ² = een ² + b ² - 2b _* een _* cos C.

Volgens de cosinusregel kunnen de zijden worden berekend als:

• een ² = b ² + c ² - 2b _* c _* cos A.
• b ² = een ² + c ² - 2a _* c _* cos B.
• c ² = een ² + b ² - 2b _* een _* cos C.

Er zijn gevallen waarin de afmetingen van de zijden van de driehoek niet bekend zijn, maar hun hoogte en de hoeken gevormd bij de hoekpunten. Om in deze gevallen het gebied te bepalen, is het nodig om de trigonometrische verhoudingen toe te passen.

Als we de hoek van een van de hoekpunten kennen, worden de benen geïdentificeerd en wordt de bijbehorende trigonometrische verhouding gebruikt:

Het been AB zal bijvoorbeeld tegenover hoek C staan, maar grenzend aan hoek A. Afhankelijk van de zijde of poot die overeenkomt met de hoogte, wordt de andere kant vrijgemaakt om de waarde hiervan te verkrijgen.

Opdrachten

Eerste oefening

Bereken de oppervlakte en de hoogte van de ongelijksoortige driehoek ABC, wetende dat de zijden zijn:

a = 8 cm.

b = 12 cm.

c = 16 cm.

Oplossing

Als gegevens worden de afmetingen van de drie zijden van de schaaldriehoek gegeven.

Omdat de hoogtewaarde niet beschikbaar is, kan het gebied worden bepaald door de formule van Heron toe te passen.

Eerst wordt de semiperimeter berekend:

sp = (a + b + c) ÷ 2

sp = (8 cm + 12 cm + 16 cm) ÷ 2

sp = 36 cm ÷ 2

sp = 18 cm.

Nu worden de waarden vervangen in de formule van Heron:

Als u het gebied kent, kan de hoogte ten opzichte van zijde b worden berekend. Van de algemene formule, deze opruimen, hebben we:

Gebied = (zijde _* h) ÷ 2

46, 47 cm ² = (12 cm _* h) ÷ 2

h = (2 _* 46,47 cm ² ) ÷ 12 cm

h = 92,94 cm ² ÷ 12 cm

h = 7,75 cm.

Tweede oefening

Gegeven de schaaldriehoek ABC, waarvan de afmetingen zijn:

• Segment AB = 25 m.
• Segment BC = 15 m.

Bij top B wordt een hoek van 50º gevormd. Bereken de hoogte ten opzichte van zijde c, omtrek en oppervlakte van die driehoek.

Oplossing

In dit geval hebben we de afmetingen van twee zijden. Om de hoogte te bepalen, is het nodig om de maat van de derde zijde te berekenen.

Omdat de hoek tegenover de gegeven zijden wordt gegeven, is het mogelijk om de cosinusregel toe te passen om de maat van zijde AC (b) te bepalen:

b ² = een ² + c ² - 2a _* c _* cos B

Waar:

a = BC = 15 m.

c = AB = 25 m.

b = AC.

B = 50 ^o .

De gegevens worden vervangen:

b ² = (15) ² + (25) ² - 2 _* (15) _* (25) _* cos 50

b ² = (225) + (625) - (750) _* 0,6427

b ² = (225) + (625) - (482.025)

b ² = 367,985

b = √367.985

b = 19,18 m.

Omdat we de waarde van de drie zijden al hebben, wordt de omtrek van die driehoek berekend:

P = kant a + kant b + kant c

P = 15 m + 25 m + 19, 18 m

P = 59,18 m

Nu is het mogelijk om het gebied te bepalen door de formule van Heron toe te passen, maar eerst moet de semiperimeter worden berekend:

sp = P ÷ 2

sp = 59,18 m ÷ 2

sp = 29,59 m.

De afmetingen van de zijkanten en de semiperimeter worden vervangen door de formule van Heron:

Als u eindelijk het gebied kent, kan de hoogte ten opzichte van zijde c worden berekend. Van de algemene formule, om deze te wissen, moet u:

Gebied = (zijde _* h) ÷ 2

143,63 m ² = (25 m _* uur) ÷ 2

h = (2 _* 143,63 m ² ) ÷ 25 m

h = 287,3 m ² ÷ 25 m

h = 11,5 m.

Derde oefening

In de schaaldriehoek ABC is zijde b 40 cm, de zijde c is 22 cm en de top A, wordt een hoek 90 gevormd ^of . Bereken de oppervlakte van die driehoek.

Oplossing

In dit geval worden de maten van twee zijden van de schaaldriehoek ABC gegeven, evenals de hoek die wordt gevormd bij het hoekpunt A.

Om het gebied te bepalen, is het niet nodig om de maat van zijde a te berekenen, omdat via de trigonometrische verhoudingen de hoek wordt gebruikt om het te vinden.

Omdat de hoek tegenover de hoogte bekend is, wordt deze bepaald door het product van één zijde en de sinus van de hoek.

Vervanging in de gebiedsformule die we hebben:

• Gebied = (zijde _* h) ÷ 2
• h = c _* sin A

Gebied = (b _* c _* sin A) ÷ 2

Gebied = (40 cm _* 22 cm _* sin 90) ÷ 2

Gebied = (40 cm _* 22 cm _* 1) ÷ 2

Gebied = 880 cm ² ÷ 2

Oppervlak = 440 cm ² .

Referenties

1. Álvaro Rendón, AR (2004). Technische tekening: activiteitennotitieboekje.
2. Ángel Ruiz, HB (2006). Geometrieën. CR-technologie.
3. Angel, AR (2007). Elementaire algebra. Pearson Education,.
4. Baldor, A. (1941). Algebra. Havana: Cultuur.
5. Barbosa, JL (2006). Vliegtuig Euclidische Geometrie. Rio de Janeiro,.
6. Coxeter, H. (1971). Fundamentals of geometry. Mexico: Limusa-Wiley.
7. Daniel C. Alexander, GM (2014). Elementaire meetkunde voor studenten. Cengage leren.
8. Harpe, P. d. (2000). Onderwerpen in geometrische groepentheorie. University of Chicago Press.