TRAJECT IN DE NATUURKUNDE: KENMERKEN, TYPEN, VOORBEELDEN EN OEFENINGEN - FYSIEK - 2026

Het traject in de natuurkunde is de curve die een mobiel beschrijft terwijl deze tijdens zijn beweging door opeenvolgende punten gaat. Omdat het vele varianten kan hebben, zullen ook de trajecten die de gsm kan volgen ook.

Om van de ene plaats naar de andere te komen, kan een persoon verschillende paden en verschillende manieren nemen: te voet door de trottoirs in straten en lanen, of met de auto of motor aankomen op een snelweg. Tijdens een wandeling door het bos kan de wandelaar een gecompliceerd pad volgen dat bochten omvat, in niveau omhoog of omlaag gaat en zelfs meerdere keren door hetzelfde punt gaat.

Figuur 1. Door de eindpunten van elke positievector te verenigen, wordt het pad dat het deeltje volgt, verkregen. Bron: Algarabia

Als de punten waar de mobiel doorheen reist een rechte lijn volgen, zal het traject rechtlijnig zijn. Dit is het eenvoudigste pad, aangezien het eendimensionaal is. Het specificeren van de positie vereist een enkele coördinaat.

Maar de mobiel kan een kromlijnig pad volgen, zowel gesloten als open. In deze gevallen vereist het volgen van de positie twee of drie coördinaten. Dit zijn bewegingen in respectievelijk het vliegtuig en in de ruimte. Dit heeft te maken met schakels: het beperken van materiële bewegingsomstandigheden. Voorbeelden zijn:

- De banen die de planeten rond de zon beschrijven, zijn gesloten banen in de vorm van een ellips. Hoewel ze in sommige gevallen kunnen worden benaderd als een cirkel, zoals in het geval van de aarde.

- De bal die de keeper in een doelschop trapt, volgt een parabolisch traject.

- Een vogel tijdens de vlucht beschrijft kromlijnige banen in de ruimte, omdat hij niet alleen in een vliegtuig beweegt, maar ook naar believen in niveau omhoog of omlaag kan gaan.

Het traject in de natuurkunde kan wiskundig worden uitgedrukt wanneer de positie van de mobiel op elk moment bekend is. Laat r de positievector zijn, die op zijn beurt x-, y- en z-coördinaten heeft in het meest algemene geval van een driedimensionale beweging. Met kennis van de functie r (t) wordt het traject volledig bepaald.

Soorten

In algemene termen kan het traject een nogal gecompliceerde curve zijn, vooral als je het wiskundig wilt uitdrukken. Om deze reden begint het met de eenvoudigste modellen, waarbij de mobiele telefoons in een rechte lijn of in een vliegtuig reizen, wat de vloer kan zijn of een andere geschikte:

Bewegingen in één, twee en drie dimensies

De meest bestudeerde trajecten zijn:

- Rechtlijnig , bij reizen op een rechte horizontale, verticale of hellende lijn. Een bal die verticaal naar boven wordt gegooid, volgt dit pad, of een object dat van een helling naar beneden glijdt, volgt. Het zijn eendimensionale bewegingen, waarbij een enkele coördinaat voldoende is om hun positie volledig te bepalen.

- Parabolisch , waarbij de mobiel een paraboolboog beschrijft. Het komt vaak voor, omdat elk object dat schuin wordt geworpen onder invloed van de zwaartekracht (een projectiel) dit traject volgt. Om de positie van de mobiel te specificeren, moet je twee coördinaten opgeven: x en y.

- Cirkelvormig , treedt op wanneer het bewegende deeltje een cirkel volgt. Het komt ook veel voor in de natuur en in de dagelijkse praktijk. Veel alledaagse voorwerpen volgen een cirkelvormig pad, zoals banden, machineonderdelen en satellieten in een baan om een ​​paar voorbeelden te geven.

- Elliptisch , het object beweegt volgens een ellips. Zoals aan het begin werd gezegd, is dit het pad dat de planeten volgen die in een baan om de zon draaien.

- Hyperbolische , astronomische objecten onder invloed van een centrale kracht (zwaartekracht), kunnen elliptische (gesloten) of hyperbolische (open) banen volgen, die minder frequent zijn dan de eerste.

- rechte of spiraalvormige beweging, als van een vogel in een opgaande warmtestroom.

- Slinger of slinger , de mobiel beschrijft een boog in heen en weer bewegingen.

Voorbeelden

De trajecten die in het vorige gedeelte zijn beschreven, zijn erg handig om snel een idee te krijgen van hoe een object beweegt. In ieder geval moet worden verduidelijkt dat het traject van een mobiel afhangt van de locatie van de waarnemer. Dit betekent dat dezelfde gebeurtenis op verschillende manieren kan worden gezien, afhankelijk van waar elke persoon zich bevindt.

Een meisje trapt bijvoorbeeld met een constante snelheid en gooit een bal naar boven. Ze merkt op dat de bal een rechtlijnig pad beschrijft.

Voor een waarnemer die op de weg staat en hem ziet passeren, zal de bal echter een parabolische beweging hebben. Voor hem werd de bal aanvankelijk met een schuine snelheid gegooid, als gevolg van de snelheid waarmee de hand van het meisje omhoog ging plus de snelheid van de fiets.

Figuur 2. Deze animatie toont de verticale worp van een bal gemaakt door een meisje op een fiets, zoals zij het ziet (rechtlijnig traject) en zoals gezien door een waarnemer (parabolisch traject). (Opgesteld door F. Zapata).

Pad van een mobiel op expliciete, impliciete en parametrische manier

- Expliciete , directe specificatie van de curve of locus gegeven door de vergelijking y (x)

- Impliciet , waarin een curve wordt uitgedrukt als f (x, y, z) = 0

- Parametrisch , op deze manier worden de coördinaten x, y en z gegeven als functie van een parameter die in het algemeen wordt gekozen als tijd t. In dit geval bestaat het traject uit de functies: x (t), y (t) en z (t).

Vervolgens worden twee trajecten die uitgebreid zijn bestudeerd in de kinematica gedetailleerd: het parabolische traject en het cirkelvormige traject.

Schuine lancering in de leegte

Een voorwerp (het projectiel) wordt onder een hoek a met de horizontaal geworpen en met beginsnelheid v _o zoals weergegeven in de figuur. Er wordt geen rekening gehouden met luchtweerstand. De beweging kan worden behandeld als twee onafhankelijke en gelijktijdige bewegingen: de ene horizontaal met constante snelheid en de andere verticaal onder invloed van de zwaartekracht.

Deze vergelijkingen zijn de parametrische vergelijkingen van projectiellancering. Zoals hierboven uitgelegd, hebben ze een gemeenschappelijke parameter t, namelijk tijd.

Het volgende is te zien in de rechthoekige driehoek in de afbeelding:

Figuur 3. Parabolische baan gevolgd door een projectiel, waarin de componenten van de snelheidsvector worden weergegeven. H is de maximale hoogte en R is het maximale horizontale bereik. Bron: Ayush12gupta

Het vervangen van deze vergelijkingen die de lanceerhoek bevatten in de parametervergelijkingen resulteert:

Vergelijking van het parabolische pad

De expliciete vergelijking van het pad wordt gevonden door t op te lossen uit de vergelijking voor x (t) en in de vergelijking te substitueren voor y (t). Om algebraïsch werk te vergemakkelijken, kan worden aangenomen dat de oorsprong (0,0) zich op het startpunt bevindt en dus x _o = y _o = 0.

Dit is de vergelijking van het pad in expliciete vorm.

Rond pad

Een cirkelvormig pad wordt gegeven door:

Figuur 4. Een deeltje beweegt in een cirkelvormig pad in het vliegtuig. Bron: gewijzigd door F. Zapata van Wikimedia Commons.

Hier vertegenwoordigen x _of yy _o het midden van de omtrek beschreven door de mobiel en is R de straal. P (x, y) is een punt op het pad. Uit de gearceerde rechthoekige driehoek (figuur 3) is te zien dat:

De parameter is in dit geval de slaghoek θ, de hoekverplaatsing genoemd. In het specifieke geval dat de hoeksnelheid ω (hoek geveegd per tijdseenheid) constant is, kan worden gesteld dat:

Waar θ _o de aanvankelijke hoekpositie is van het deeltje, dat, indien genomen als 0, reduceert tot:

In dat geval keert de tijd terug naar de parametervergelijkingen als:

De eenheidsvectoren i en j zijn erg handig voor het schrijven van de positiefunctie van een object r (t). Ze geven de richtingen respectievelijk op de x-as en op de y-as aan. In zijn termen is de positie van een deeltje dat een uniforme cirkelbeweging beschrijft:

r (t) = R.cos ω t ik + R. sin ω t j

Opgeloste oefeningen

Opgeloste oefening 1

Een kanon kan een kogel afvuren met een snelheid van 200 m / s en een hoek van 40º ten opzichte van de horizontaal. Als de worp op een vlakke ondergrond is en de luchtweerstand wordt verwaarloosd, zoek dan:

a) De vergelijking van het pad y (x) ..

b) De parametervergelijkingen x (t) en y (t).

c) Het horizontale bereik en de tijd dat het projectiel in de lucht blijft hangen.

d) De hoogte waarop het projectiel is wanneer x = 12.000 m

Oplossing voor)

a) Om het traject te vinden, worden de waarden gegeven in de vergelijking y (x) van de vorige sectie vervangen:

Oplossing b)

b) Het startpunt wordt gekozen aan de oorsprong van het coördinatensysteem (0,0):

Oplossing c)

c) Om de tijd te vinden dat het projectiel in de lucht blijft, laat y (t) = 0, waarbij de lancering op een vlakke ondergrond plaatsvindt:

Het maximale horizontale bereik wordt gevonden door deze waarde in x (t) te vervangen:

Een andere manier om x _max direct te vinden , is door y = 0 in te stellen in de vergelijking van het pad:

Er is een klein verschil door het afronden van de decimalen.

Oplossing d)

d) Om de hoogte te vinden wanneer x = 12000 m, wordt deze waarde direct in de vergelijking van het pad vervangen:

Oefening opgelost 2

De positiefunctie van een object wordt gegeven door:

r (t) = 3t ik + (4-5t ² ) j m

Vind:

a) De vergelijking voor het pad. Welke curve is het?

b) De beginpositie en de positie wanneer t = 2 s.

c) De verplaatsing gemaakt na t = 2 s.

Oplossing

a) De positiefunctie is gegeven in termen van de eenheidsvectoren i en j , die respectievelijk de richting in de x- en y-as bepalen, dus:

De vergelijking van het pad y (x) wordt gevonden door t uit x (t) op te lossen en in y (t) te substitueren:

b) De beginpositie is: r (2) = 4 j m; de positie op t = 2 s is r (2) = 6 i -16 j m

c) De verplaatsing D r is het aftrekken van de twee positievectoren:

Oefening opgelost 3

De aarde heeft een straal R = 6300 km en het is bekend dat de rotatieperiode van zijn beweging om zijn as één dag is. Vind:

a) De vergelijking van het traject van een punt op het aardoppervlak en zijn positiefunctie.

b) De snelheid en versnelling van dat punt.

Oplossing voor)

a) De positiefunctie voor elk punt in een cirkelvormige baan is:

r (t) = R.cos ω t ik + R. sin ω t j

We hebben de straal van de aarde R, maar niet de hoeksnelheid ω, maar het kan worden berekend uit de periode, wetende dat het voor cirkelvormige bewegingen geldig is om te zeggen dat:

De periode van het uurwerk is: 1 dag = 24 uur = 1440 minuten = 86400 seconden, dus:

Vervanging in de positiefunctie:

r (t) = R.cos ω t i + R. sin ω t j = 6300 (cos 0.000023148t i + sin 0.000023148t j ) Km

Het pad in parametrische vorm is:

Oplossing b)

b) Voor cirkelvormige bewegingen is de grootte van de lineaire snelheid v van een punt gerelateerd aan de hoeksnelheid w door:

Zelfs als het een beweging is met een constante snelheid van 145,8 m / s, is er een versnelling die naar het midden van de cirkelbaan wijst, die verantwoordelijk is voor het in rotatie houden van het punt. Het is de centripetale versnelling bij _c , gegeven door:

Referenties

1. Giancoli, D. Physics. (2006). Principes met toepassingen. 6 ^e Prentice Hall. 22-25.
2. Kirkpatrick, L. 2007. Natuurkunde: een blik op de wereld. 6 ^ta Bewerken afgekort. Cengage leren. 23 - 27.
3. Resnick, R. (1999). Fysiek. Deel 1. Derde editie in het Spaans. Mexico. Compañía Redactioneel Continental SA de CV 21-22.
4. Rex, A. (2011). Fundamentals of Physics. Pearson. 33 - 36
5. Sears, Zemansky. (2016). Universitaire natuurkunde met moderne natuurkunde. 14 ^e . Ed. Deel 1. 50 - 53.
6. Serway, R., Jewett, J. (2008). Physics for Science and Engineering. Deel 1. 7 ^ma . Editie. Mexico. Cengage Learning Editors. 23-25.
7. Serway, R., Vulle, C. (2011). Fundamentals of Physics. 9 ^nvt Ed. Cengage Learning. 43 - 55.
8. Wilson, J. (2011). Natuurkunde 10. Pearson Education. 133-149.