RECHTER TRAPEZIUM: EIGENSCHAPPEN, RELATIES EN FORMULES, VOORBEELDEN - WISKUNDE - 2026

Een rechter trapezium is een platte figuur met vier zijden, zodanig dat er twee evenwijdig aan elkaar zijn, bases genoemd en ook een van de andere zijden loodrecht op de bases staat.

Om deze reden zijn twee van de interne hoeken juist, dat wil zeggen, ze meten 90 °. Vandaar de naam "rechthoek" die aan de figuur wordt gegeven. De volgende afbeelding van een rechter trapezium verduidelijkt deze kenmerken:

Trapeziumvormige elementen

De elementen van de trapezium zijn:

-Bases

-Vertices

-Hoogte

-Interne hoeken

-Middenbasis

-Diagonalen

We gaan deze elementen uitdiepen met behulp van figuren 1 en 2:

Figuur 1. Een rechter trapezium, gekenmerkt door twee inwendige hoeken van 90º: A en B. Bron: F. Zapata.

De zijkanten van de rechter trapezium worden aangeduid met kleine letters a, b, c en d. De hoeken van de figuur of hoekpunten zijn aangegeven in hoofdletters. Ten slotte worden de interne hoeken uitgedrukt in Griekse letters.

Volgens de definitie zijn de bases van dit trapezium de zijden a en b, die zoals waargenomen evenwijdig zijn en ook verschillende lengtes hebben.

De zijde loodrecht op beide bases is zijde c aan de linkerkant, wat de hoogte h van de trapezium is. En tenslotte is er zijde d, die de scherpe hoek α vormt met zijde a.

De som van de binnenhoeken van een vierhoek is 360º. Het is gemakkelijk te zien dat de ontbrekende hoek C in de figuur 180 - α is.

De middenbasis is het segment dat de middelpunten van de niet-parallelle zijden verbindt (segment EF in figuur 2).

Figuur 2. De elementen van de rechter trapezium. Bron: F. Zapata.

En tot slot zijn er de diagonalen d ₁ en d ₂ , de segmenten die de tegenoverliggende hoekpunten samenvoegen en die elkaar snijden in punt O (zie figuur 2).

Relaties en formules

Trapezium hoogte h

Omtrek P

Het is de maat van de contour en wordt berekend door de zijkanten op te tellen:

Zijde d wordt uitgedrukt in termen van de hoogte of zijde c door de stelling van Pythagoras:

Vervangen in de perimeter:

Middelste basis

Het is de halve som van de basen:

Soms wordt de gemiddelde basis als volgt uitgedrukt:

Oppervlakte

Het oppervlak A van de trapezium is het product van de gemiddelde basis maal de hoogte:

Diagonalen, zijkanten en hoeken

In figuur 2 verschijnen verschillende driehoeken, zowel rechts als niet-rechts. De stelling van Pythagoras kan worden toegepast op degenen die rechthoekige driehoeken zijn en op degenen die dat niet zijn, de cosinus- en sinusstellingen.

Op deze manier worden relaties gevonden tussen de zijkanten en tussen de zijkanten en interne hoeken van de trapezium.

CPA-driehoek

Het is een rechthoek, de poten zijn gelijk en zijn b waard, terwijl de hypotenusa de diagonaal d _{1 is} , dus:

DAB-driehoek

Het is ook een rechthoek, de benen zijn a en c (of ook wel ayh) en de hypotenusa is d ₂ , zodat:

CDA-driehoek

Omdat deze driehoek geen rechthoekige driehoek is, wordt hierop de cosinusstelling toegepast, of ook de sinusstelling.

Volgens de cosinusstelling:

CDP-driehoek

Deze driehoek is een rechthoekige driehoek en met zijn zijden zijn de trigonometrische verhoudingen van de hoek α geconstrueerd:

Maar de zijkant PD = a - b, dus:

Je hebt ook:

CBD driehoek

In deze driehoek hebben we de hoek waarvan het hoekpunt bij C is. Het is niet gemarkeerd in de figuur, maar aan het begin werd benadrukt dat het 180 - α is. Deze driehoek is geen rechthoekige driehoek, dus de cosinusstelling of de sinusstelling kan worden toegepast.

Nu kan eenvoudig worden aangetoond dat:

De cosinusstelling toepassen:

Voorbeelden van rechter trapezoïden

Trapezoïden en in het bijzonder rechter trapezoïden komen aan veel kanten voor, en soms niet altijd in tastbare vorm. Hier hebben we verschillende voorbeelden:

Het trapezium als designelement

Geometrische figuren zijn rijk aan de architectuur van veel gebouwen, zoals deze kerk in New York, die een structuur toont in de vorm van een rechthoekige trapezium.

Evenzo komt de trapeziumvorm veel voor bij het ontwerp van containers, containers, messen (cutter of exact), platen en grafisch ontwerp.

Figuur 3. Engel in een rechthoekige trapezium in een kerk in New York. Bron: David Goehring via Flickr.

Trapeziumvormige golfgenerator

Elektrische signalen kunnen niet alleen vierkant, sinusvormig of driehoekig zijn. Er zijn ook trapeziumvormige signalen die in veel circuits nuttig zijn. In figuur 4 is er een trapeziumvormig signaal dat is samengesteld uit twee rechter trapezoïden. Tussen hen vormen ze een enkele gelijkbenige trapezium.

Figuur 4. Een trapeziumvormig signaal. Bron: Wikimedia Commons.

Bij numerieke berekening

Om in numerieke vorm de definitieve integraal van de functie f (x) tussen a en b te berekenen, wordt de trapeziumregel gebruikt om het gebied onder de grafiek van f (x) te benaderen. In de volgende afbeelding wordt aan de linkerkant de integraal benaderd met een enkele rechter trapezium.

Een betere benadering is die in de rechter figuur, met meerdere rechter trapeziums.

Figuur 5. Een bepaalde integraal tussen a en b is niets anders dan het gebied onder de curve f (x) tussen deze waarden. Een rechter trapezium kan dienen als een eerste benadering voor een dergelijk gebied, maar hoe meer trapeziums er worden gebruikt, hoe beter de benadering. Bron: Wikimedia Commons.

Balk met trapeziumvormige belasting

Krachten zijn niet altijd geconcentreerd op een enkel punt, aangezien de lichamen waarop ze werken aanzienlijke afmetingen hebben. Dat is het geval bij een brug waarover continu voertuigen circuleren, het water van een zwembad op de verticale wanden daarvan of een dak waarop water of sneeuw zich ophoopt.

Om deze reden worden krachten verdeeld per eenheid van lengte, oppervlakte of volume, afhankelijk van het lichaam waarop ze inwerken.

In het geval van een balk kan een kracht verdeeld per lengte-eenheid verschillende distributies hebben, bijvoorbeeld de rechter trapezium die hieronder wordt weergegeven:

Figuur 6. Belastingen op een balk. Bron: Bedford, A. 1996. Statisch. Addison Wesley Interamericana.

In werkelijkheid komen verdelingen niet altijd overeen met reguliere geometrische vormen zoals deze, maar ze kunnen in veel gevallen een goede benadering zijn.

Als educatief en leermiddel

Geometrisch gevormde blokken en afbeeldingen, inclusief trapeziums, zijn erg behulpzaam om kinderen vanaf jonge leeftijd kennis te laten maken met de fascinerende wereld van de geometrie.

Figuur 7. Blokken met eenvoudige geometrische vormen. Hoeveel juiste trapezoïden zijn er verborgen in de blokken? Bron: Wikimedia Commons.

Opgeloste oefeningen

- Oefening 1

In de rechter trapezium in figuur 1 is de grotere basis 50 cm en de kleinere basis gelijk aan 30 cm, ook is bekend dat de schuine zijde 35 cm is. Vind:

a) Hoek α

b) Hoogte

c) Omtrek

d) Gemiddelde basis

e) Gebied

f) Diagonalen

Oplossing voor

De afschriftgegevens worden als volgt samengevat:

a = grotere basis = 50 cm

b = kleinere basis = 30 cm

d = schuine zijde = 35 cm

Om de hoek α te vinden, gaan we naar de formules en vergelijkingen om te zien welke het beste past bij de verstrekte gegevens. De gezochte hoek wordt gevonden in verschillende van de geanalyseerde driehoeken, bijvoorbeeld het CDP.

Daar hebben we deze formule, die het onbekende bevat en ook de gegevens die we kennen:

Dus:

Het wist h:

d ₁ ² = 2 x (30 cm) ² = 1800 cm ²

d ₁ = √1800 cm ² = 42,42 cm

En voor de diagonaal d ₂ :

Referenties

1. Baldor, A. 2004. Vlak- en ruimtegeometrie met trigonometrie. Culturele publicaties.
2. Bedford, A. 1996. Statics. Addison Wesley Interamericana.
3. Jr. geometrie. 2014. Polygonen. Van Lulu Press, Inc.
4. OnlineMSchool. Rechthoekige trapezium. Hersteld van: es.onlinemschool.com.
5. Automatische probleemoplosser voor geometrie. De trapeze. Hersteld van: scuolaelettrica.it
6. Wikipedia. Trapezium (geometrie). Hersteld van: es.wikipedia.org.